6.4零指数幂与负整数指数幂(1)
初中数学零指数幂与负整指数幂教案
初中数学零指数幂与负整指数幂教案一、教学目标1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念。
2.掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则。
3.能够运用零指数幂和负整数指数幂解决实际问题。
二、教学内容1.零指数幂的定义及运算法则2.负整数指数幂的定义及运算法则3.零指数幂和负整数指数幂的应用三、教学重点与难点1.教学重点：零指数幂和负整数指数幂的定义及运算法则。
2.教学难点：零指数幂和负整数指数幂的灵活应用。
四、教学过程1.导入利用生活中的实例，如手机电池的容量、电脑内存等，引导学生思考指数的概念。
提问：同学们，你们知道什么是指数吗？指数有什么作用？2.探索新知零指数幂的定义引导学生回顾指数的基本概念，如a^2、a^3等。
提问：当指数为0时，a^0等于多少？学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^0=1（a≠0）。
负整数指数幂的定义引导学生回顾分数指数幂的概念，如a^(1/2)、a^(1/3)等。
提问：当指数为-1时，a^(-1)等于多少？学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^(-1)=1/a（a≠0）。
零指数幂和负整数指数幂的运算法则引导学生利用已知的指数运算法则，如a^m×a^n=a^(m+n)，来探究零指数幂和负整数指数幂的运算法则。
学生通过自主探究和小组讨论得出结论：a^m×a^n=a^(m+n)，a^0=1，a^(-n)=1/a^n（a≠0）。
3.巩固练习学生完成课本上的练习题，教师逐一讲解。
教师提供一些生活中的实际问题，让学生运用零指数幂和负整数指数幂进行解答。
4.应用拓展引导学生思考：如何运用零指数幂和负整数指数幂解决实际问题？学生分组讨论，提出各种应用场景，如计算器编程、物理公式推导等。
教师选取一些具有代表性的问题，让学生现场解答。
学生分享自己的学习心得，反思在学习过程中遇到的问题。
五、课后作业1.完成课本上的练习题。
2.收集生活中的实例，运用零指数幂和负整数指数幂进行解答。
零指数幂与负整数指数幂
a0 1(a 0)
2、 负整数指数幂的意义.
an 1 (a 0, n是正整数) an
课本97页练习1题 99页练习2题 103页习题1、2题
谢谢聆听，再见！
除法的意义：
52
55
52 55
1 53
103 107 103 1
发现：
53
1 53
104
1 104
107 104
a3 a5 a35 a 2 (a 0)
a3 a5 a3 1 (a 0) a5 a2
a2
1 a2
规定：
ap1 apFra bibliotek(a0,
p为正整数）
任何不等于零的数的－p （n为正整数）次幂，
等于这个数的p 次幂的倒数.
例3 计算：
43
(1)3
(0.2)2
课本99页第2题 例4计算：( 1 )3
2
22 10 2
1.若代数式3x 1 3有意义， 求x的取值范围;
2 、若 2x 1
8
，则x=____,若
x1 1 ，则x=___,
10
若 10x 0.0001，则x=___.
小结：谈谈本节课的收获？
年级：七年级 学科名称：数学
授课学校： 授课教师：
一 、复习提问
1．回忆正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法：
am an amn (m,n是正整数)；
（2）幂的乘方：
(a m )n a mn (m,n是正整数)；
（3）积的乘方：
(ab)n a nbn (n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：
1.计算（：1）(100 20 ) (10 20 ) (2)103 100 105
零指数幂与负整数指数幂
1 化简(x－1)2·x3的结果是( )
A．x5 C．x
B．x4 1
D. x
2 下列运算正确的是( A．a6÷a2＝a3 C．2－3＝－6
)
B．(ab2)2＝ab4
D.
1 3
1＝－3
知2－练
3 下列各式的计算中，不正确的个数是( )
①100÷10－1＝10；
②10－4×(2×7)0＝1 000；
九、要点梳理（课文回放）。
作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了 《蒙娜 丽莎》 画像， 具体介 绍了___ ______ _，___ ______ _，特 别详细 描写了 蒙娜丽 莎的___ ______ _和___ ______ _，以 及她___ ______ _、___ ______ _和___ ______ _；最 后用精 炼而饱 含激情 的语言 告诉大 家，蒙 娜丽莎 给人带 来了心 灵的震 撼，留 下了永 不磨灭 的印象 。 综合能力日日新
第8章 整式的乘法与因式分解
8.1 幂的运算
第5课时 零指数幂与负 整数指数幂
1 课堂讲解 零指数幂
负整数指数幂
2 课时流程 整数指数幂的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
一种液体每升含有1014个有害细菌，为了试验某 种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀 菌荆可以杀死1016个此种细菌．要将1升液体中的有 害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴?你是怎样 计算的?
3 若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围
是( )
A．x＞3
B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2
D．x＜2
知识点 3 整数指数幂的性质
例4 计算：x2·x3÷x－4＝____x_9 ___． 导引：x2·x3÷x－4＝x2＋3－(－4)＝x9.
第14讲：同底数幂的除法、零指数幂与负整数指数幂
第14讲：同底数幂的除法、零指数幂与负整数指数幂一、本讲知识标签同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.负整数指数幂：a-n=n a 1( a ≠0,n 为正整数）即：任何不为零的-n （n 为正整数）次幂等于这个数n 次幂的倒数要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.二、范例分析例1.已知，求的值．【分析】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．解：由已知，得，即，，，解得，，．所以． 也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.【变式】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． （3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由题意，知．∴ ． ∴ ，解得．a m n ，m n >()010.a a =≠312326834m n ax y x y x y ÷=(2)n m n a +-m n a 、、312326834m n ax y x y x y ÷=31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=12a =39m =2812n +=12a =3m =2n =22(2)(23212)(4)16n m n a +-=⨯+-=-=m n a 、、1227327m m -÷=m 1020a =1105b =293a b ÷23m =24n =322m n -312(3)327m m -÷=3(1)2333m m --=3323m m --=6m =（2）由已知，得，即．由已知，得．∴ ，即．∴ ∴． （3）由已知，得．由已知，得．∴ ．例2.已知2a=3,4b=6,8c=12,a 、b 、c 的关系.【分析】本题逆用幂的运算规律,同底数幂乘除的规律,巧妙地将3用2a 代替将6用22b 代换,化成2的幂,从而找出a 、b 、c 之间的关系.解:因为8c=12,所以(23)c=2×6,又因为4b=6,所以23c=2×4b=2×22b=22b+1,所以3c=2b+1因为4b=6,所以22b=2×3,又因为2a=3,所以22b=2×2a=2a+1,所以2b=a+1,所以3c-1=a+1,所以a-4b+3c=0.三、训练提高（一）选择题:1.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ）A ．（a3﹣a ）÷a=a2B ．（a3）2=a5C ．a3+a2=a5D ．a3÷a3=12.化简11)(--+y x 为（ ） A 、y x +1 B 、y x 1+ C.、1+xy y D 、1+xy x 3.已知P=,那么P 、Q 的大小关系是( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定（二）填空题:4. 计算.5.（2015春•成都校级月考）（﹣a6b7）÷= ． 1020a =22(10)20a =210400a =1105b =211025b =221101040025a b ÷=÷2241010a b -=224a b -=22222493333381a b a b a b -÷=÷===23m =3227m =24n =2216n =32322722216m n m n -=÷=9999909911,99Q =()()34432322396332x y x y x y x y x y xy -+÷=-+-6.若整数x 、y 、z 满足,则x=_______,y=_______,z=________.(三) 解答题:7.先化简，再求值：，其中＝－5．8.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，12=-x ，2=y ，求22007)(y cd x b a --++ 的值.（4分）9.若2010=a ， 1510-=b ，求b a 239÷的值.10.已知,求整数x.11.阅读下列材料：关于x 的方程：121212111,;222,;333,;x c x c x x c cx c x c x x c cx c x c x x c c +=+==+=+==+=+==的解是的解是的解是 …请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程(0)m m x c m x c +=+≠与它们的关系，猜想它的解是什么？并加以验证.12.请你来计算：若1＋x ＋x2＋x3＝0，求x ＋x2＋x3＋…＋x2012的值．91016()()()28915x y x ⨯⨯=()()()23242622532a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦a 2(1)1x x +-=。
数学零指数幂与负整数指数幂课件华东师大版
01
实例1
计算2^(-3)的值。
02
03
04
解
2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8。
实例2
计算(1/2)^(-2) + (1/4)^(-1) 的值。
解
(1/2)^(-2) + (1/4)^(-1) = 4 + 4 = 8。
04
CATALOGUE
零指数幂与负整数指数幂的应用
整 数指数幂的定义。
能够运用零指数幂与 负整数指数幂解决实 际问题。
掌握零指数幂与负整 数指数幂的运算规则 。
02
CATALOGUE
零指数幂
定义与性质
总结词
零指数幂的定义是任何非零数的0次方等于1，即a^0=1（a≠0）。它具有几个重 要的性质，包括任何非零数的0次幂等于1、0的0次幂未定义、负数的0次幂未定 义等。
详细描述
在数学中，零指数幂的定义是指任何非零数的0次方等于1。这意味着无论一个数 a是多少（只要a≠0），a的0次幂都是1。这个定义是数学中指数运算的基础规则 之一。此外，需要注意的是，0的0次幂和负数的0次幂在数学中都是未定义的。
计算方法
总结词
计算零指数幂的方法是根据定义，任何非零数的0次方都是1 。因此，可以直接得出结果，无需进行复杂的运算。
人口增长模型
利用指数函数描述人口增长，其 中零指数幂表示人口基期数据， 负整数指数幂表示过去某一时刻 的人口数据。
放射性物质衰变
放射性物质的衰变过程可以用负 整数指数幂表示，描述放射性物 质随时间衰减的规律。
在数学证明中的应用
幂的性质证明
利用零指数幂和负整数指数幂的性质 ，可以证明幂的性质，如同底数幂的 乘法法则等。
数学八年级下册《零指数幂与负整数指数幂》课件
4.计算：－22＋(－
1 2
)－2＋(2016－π)0－|2－
1 2
π|.
解：－22＋(－
1 2
)－2＋(2016－π)0－|2－
1 π|
2
＝－4＋4＋1－2＋ 1 π
2
＝ 1π－1.
2
1.零指数幂：当a≠0时，a0=1.
整数 指数幂
2.负整数指数幂：当n是正整数时，
a－n=
1 an
(a≠0).
amn
a0n
中m=0，那么就会有 a0 1 .
an an
总结归纳
an a1n（a 0，n是正整数）.
由于
1 （1）n， an a
因此 an （1）（n a 0，n是正整数）.
a
特别地， a1 1（a 0）. a
典例精析 例3 计算：
（1）23 ;
（2）104 ;
（3）（ 2）2. 3
例2：若(x－1)x＋1＝1，求x的值． 解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1； ②当x－1＝1，x＝2时，原式＝13＝1； ③x－1＝－1，x＝0时，0＋1＝1不是偶数．故舍去． 故x＝－1或2.
方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零 的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶 次幂等于1，即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0； 考虑底数等于1或－1.
105
1 100000
（ 1 ）6 2
64
（3）3 64 4 27
2.把下列各式写成分式的形式：
（1）x 3 ;
（2）-5x2 y3.
解:（1）原式=
1 x3
;
（2）原式=
-
5y3 x2
4零指数幂与负整指数幂(1)
三、例题
例1 计算：用小数或分数分别表示下列各数：
练习：用小数或分数表示下列各数：
（1） （2） （3）
（4） （5）4.2 （6）
四、课堂小结
师生互相交流本节课的内容以及应用和需要注意的问题。
五、布置作业
必做题：课本 P32 随堂练习 1
〖处理方法：〗
教师可以鼓励学生自己发现零指数幂和负整数幂的特点，并运用自己的语言进行描述，同时需引导学生尽可能地与数的除法类比。
教学难点及处理 方法
〖教学难点：〗
零指数幂和负整数幂的总结及运用，零指数幂和负指数幂的意义。
〖处理方法：〗
负整数指数幂的教学，可让学生经历： 想一想——猜一猜的过程，既增加兴趣又加深印象。
学情分析
学生在前面已经学习过三种幂的运算，具备了一定运算基础，为本节内容的展开提供了可能。
教学过程
教
学
过
程
教师活动
学生活动
一、情境引入
活动内容：想一想：
10000=104， 16=24
1000=10（）， 8=2（）
100=10（）， 4=2（）
10=10（）， 2=2（）
学生自己填空，并找出规律
调动学生探索热情和积极性
课 题
零指数幂与负整指数幂
授课日期
3月4日
教 法
尝试练习法，讨论法，归纳法
课 型
新授课
学 法
小组合作交流探索
课 时
1课时
教学准备
多媒体课件
教
情
分
析
三维目标及处理 方法
〖知识与技能目标：〗
零指数幂与负整数指数幂练习题
6.4 零指数幂与负整数指数幂练习题一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．（π﹣3.14）0没有意义B ．任何数的0次幂都等于1C ．a 2•（2a ）3＝8a 6D ．若（x +4）0＝1，则x ≠﹣42．若（a +2）0＝1，则a 的取值正确的是（ ）A ．a ＞﹣2B ．a ＝﹣2C ．a ＜﹣2D ．a ≠﹣23．若（x ﹣2）x ＝1，则x 只能取（ ）A ．x ≥2B ．x ＝0C ．x ＝2D ．x ＝0或x ＝34.如果（x ﹣）0有意义，那么x 的取值范围是（ ）A ．x ＞B ．x ＜C ．x ＝D ．x ≠ 5.等式（x +4）0＝1成立的条件是（ ）A ．x 为有理数B ．x ≠0C ．x ≠4D ．x ≠﹣4 6.计算（）0的结果是（ ）A ． B ．3C ．0D ．1 7.三个数20，3﹣2，（﹣3）﹣1中，负数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8.在（﹣1）2023，|﹣1|3，﹣（﹣1）18，3﹣3这四个有理数中，负数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、20×（）﹣1＝（ ）A ．﹣2 B ．C ．2D ． 10、20230×2﹣1等于（ ）A ．107B ．0C ．D ．﹣2022 11、计算的结果是（ ）A ．﹣9 B ． C ． D ．9 12、计算2﹣1的结果是（ ）A ．B ．﹣C ．﹣2D ．2 13、下列运算正确的是（ ）A ．a 5+a 5＝a 10B ．a 6×a 4＝a 24C ．a 0÷a ﹣1＝aD ．a 4﹣a 4＝a 0 14、计算（20231）﹣1所得结果是 （ ）A ．2023 B ．20231 C ．-20231 D ．﹣2023 15、若a ＝0.32，b ＝﹣3﹣2，c ＝（﹣）﹣2，d ＝（﹣）0，则（ ）A ．a ＜b ＜c ＜dB ．b ＜a ＜d ＜cC ．a ＜d ＜c ＜bD ．c ＜a ＜d ＜b二、填空题1、当x 满足 时，（x ﹣2）0有意义，且（x ﹣2）0＝ ．2、（π﹣2021）0﹣|﹣3|＝ ．3、当 时，（x ﹣4）0＝1．4、（2022﹣π）0的值为 ．5、计算：+20210＝ ． 6、计算：2﹣2﹣（3.14﹣π）0＝ ．7、计算：（﹣）﹣1+（π﹣3）0＝ ．8、计算：﹣3﹣2+（﹣）0的结果是 ． 9、计算：＝ ． 10、计算：＝ ． 11、如果a ，b ，c 是整数，且a c ＝b ，那么我们规定一种记号（a ，b ）＝c ，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣2，﹣）＝ ．12、若实数m ，n 满足|m ﹣2|+（n ﹣2022）2＝0，则m ﹣1+n 0＝ ．三、解答题1、计算：（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）0．2、计算：1012312023332---÷-+⨯）（）（）（π．3、计算：102120231-----）（4、计算：（﹣）﹣1×（﹣2）2﹣（1﹣2）2023．5、．6、计算：．。
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6.4零指数幂与负整数指数幂（1）
学习目标：1.使学生理解a 0的意义，并掌握a 0＝1(a ≠0)；
2.使学生理解a -n （n 是正整数）的意义，并掌握a -n ＝2
a 1（a ≠0，n 是正整数）； 3.使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用 重点：幂与负整数指数幂；
难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件．
一：问题引入：
问题1 同底数幂的除法公式a m ÷a n ＝a m -n 时，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m ＝n 或m ＞n 时，情况怎样呢？
二、探究归纳
活动一：探究被除数指数等于除数指数的情况：
计算52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0)的得数
仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷52= =
103÷103＝ =
a 5÷a 5＝ =
概括 由此，我们规定：
50＝1，100＝1，a 0＝1(a ≠0)．
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1．
注 零的零次幂没有意义．
活动二：探究被除数指数小于除数的指数的情况
计算52÷55，103÷107 得数
一方面：利用同底幂除法计算
52÷52＝ ＝ ，
103÷103＝ =
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
52÷52=
103÷103=
概括 由此启发，我们规定
一般地，我们规定
a 0=1 （a ≠0，n 是正整数）．
这就是说，任何不等于零的数的-n （n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数． 议一议：某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8
个……你能由此说明20=1的合理性吗？
通过细胞分裂的实例，进一步体会规定的合理性，由21=2，22=4，…从而可以知道，当细胞
没有分裂时，即有20=1
例1 用小数表示下列各数：
(1) 10-3； (2)70×8-2 （3）1.6×10-4
三、实践应用
1.判断正误：
(1) a 6÷a 2＝a 3； (2)(-a )3÷(-a )2＝a ；
(3)a 6÷a 2＝a 4； (4)a 3÷a ＝a 4；
(5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2；
(7)a 5÷a 4＝0； (8)54÷54＝0；
(9)x 3n ÷x n ＝x 2n ； (10)x 3n ÷x n ＝x 3．
2.在括号内填写各式成立的条件：
(1)x 0＝1； ( )(2)(x -3)0＝1； (
)(3)(a -b )0＝1； ( ) (4)a 3·a 0＝a 3； ( )(5)(a n )0＝a n ·0； (
)(6)(a 2-b 2)0＝1． ( ) 3.计算
①()0123456 ②810÷810 ③25- ④39÷103
4.若3-a a =1,则a 等于（ ）
A 、1，0
B 、1，3
C 、1，-1
D 、1，-1，3
5.计算：
2
-21-⎪⎭⎫
⎝⎛。