线性分析法
线性电路分析的基本方法
叠加性
在线性电路中，当有两 个或两个以上的激励同 时作用时，其响应等于 各个激励单独作用时响
应的叠加。
齐次性
在线性电路中，当激励 增大或减小时，其响应 也按相同比例增大或减
小。
无源性与有源性
线性电路中的元件可以 是无源的（如电阻、电 感和电容），也可以是
有源的（如电源）。
线性元件与非线性元件
线性元件
06
非线性电路分析方法简介
非线性元件特性描述
伏安特性
非线性元件的电压与电流之间的关系是非线性的，这种关系可以用伏安特性曲 线来描述。伏安特性曲线可以直观地反映元件的非线性特性，如二极管的指数 特性和晶体管的平方特性等。
电阻、电导与阻抗
对于非线性元件，其电阻、电导和阻抗等参数不再是常数，而是随电压或电流 的变化而变化。这些参数的变化规律可以通过实验测定，并用数学表达式进行 描述。
响应类型
与一阶RC电路类似，一阶RL电路也可能产生指数增长 、指数衰减或振荡响应。
时间常数
描述一阶RL电路响应速度的物理量，等于电感与电阻的 比值（τ = L/R）。时间常数越大，响应速度越慢。
二阶RLC串联电路响应
01 02
二阶RLC串联电路
包含一个电阻、一个电感和一个电容的串联电路。当电路受到激励时， 电感、电容和电阻共同作用，产生一个复杂的随时间变化的电压或电流 响应。
频率响应概念及特点
频率响应定义
描述电路对不同频率信号的传递能力，通常以幅 度和相位响应表示。
频率特性
包括幅频特性和相频特性，反映电路对不同频率 信号的放大、衰减和相位移动情况。
影响因素
电路元件参数、拓扑结构以及信号源和负载阻抗 等。
滤波器类型与性能指标
线性范围及检测限
线性与范围 (linearity and range) 之老阳三干创作分析方法的线性是在给定范围内获取与样品中供试物浓度成正比的试验结果的能力.换句话说,就是供试物浓度的变动与试验结果(或测得的响应信号)成线性关系.所谓线性范围是指利用一种方法取得精密度、准确度均符合要求的试验结果,而且成线性的供试物浓度的变动范围,其最年夜量与最小量之间的间隔,可用mg／L ~ mg／L、 ug／ml ~ ug／ml等暗示.线性与范围简直定可用作图法(响应值Y／浓度X)或计算回归方程(Y＝a+bX)来研究建立.测定样品时所有生物药物分析方法都必需同时作标准曲线.每次作标准曲线时,方法应与分析方法考核时完全一致.标准浓度应包括一定梯度的5-8个浓度(非线性者如免疫分析可适当增加),每个浓度只需测定一次(免疫分析可测定两次并取均值)；标准曲线应覆盖样品可能的浓度范围,对含量测定要求一般浓度上限为样品最高浓度的120％,下限为样品最低浓度的80％ (但应高于LOQ)；目前仍广泛采纳相关系数(r)暗示标准曲线的线性度、并控制r≥0.9900.对比品的LOQ必需包括在线性范围.线性范围是指与检测器响应信号成线性关系的样品的含量范围. 一般情况下,标准曲线的最低和最高值是包括在线性范围内的,而且分歧人做的标准曲线,他所取的最低和最高值也不会都相同,打个比如来说,A做5个点的标准曲线,所选择的标准样品的浓度分别为:1,5,10,15,20,那么最低最高值分别为1和20,而对这种要检测的物质来说,它的线性范围可能是10E5,要远年夜于制作标准曲线所选择的浓度范围.通常在建立一个新方法的时候可以通过文献查到一些物质的线性范围,而实际工作中,要确切知道某种物质的线性范围需要性可能也不年夜.S/N=3时的浓度是检测限,也就是峰高约在基线噪音高的3倍,注入液相色谱仪的对比品百分浓度％. S/N=10是定量限,也就是峰高约在基线噪音高的10倍时,注入液相色谱仪的对比品量. 首先,配制一个较低浓度的对比品溶液,注入液相色谱仪,观察其峰高比基线噪音高几多倍（假设X倍）,将该溶液稀释到X/3倍,基本即为该物质的检测限,将该溶液稀释到X/10倍,基本即为该物质的定量限.具体把持时,就是把一定浓度的溶液不竭稀释,直到S/N=3.一般就是用眼来估计了,不外也可以计算出来,好像是用标准曲线计算的,具体公式你可以查一下书.Detection Limit\Limit of Detection\DL\LOD检出限DL是一种比值,用%或ppm暗示,即是最低检出浓度与样品溶液浓度（通常是一个固定的限度值）的比值,因此只有在满足最低检出浓度和最低检出量的同时才华够做出检出限.它主要适用于杂质测定中的杂质限度检查项目的方法验证,即你通过这个验证证明你的方法能够检出足够低的杂质,就是说,如果你作出的检测限（最低检测浓度）比限度好高,那是万万不成的.检测限不单要低于限度,最好远远小于杂质限度.根据分析方法是采纳非仪器分析还是仪器分析可用几种方法来确定检测限度,除下面所列的方法外其他的方法也可能被接受.6． 1 根据直观评价直观评价可以用于非仪器分析方法,也可用于仪器分析方法.检测限度的测定是通过对一系列已知浓度分析物的样品进行分析,并以能准确测得被分析物的最小量来建立.【通过进样年夜量分歧浓度的溶液,证明你所说的检测限是最低的,通常费力不讨好,可是却是无奈的情况下最好的法子.6．2根据信噪比该方法仪适用于呈现基线噪音的分析方法.信噪比的测定是通过比力含已知低浓度被分析物的样品与空白样品的测试信号,确定被分析物可被确切地检测的最小浓度,当信噪比在3：1或2：1时的检测限度通常被接受.【此法经常使用：即观察图谱,保证图谱中信号峰强度同一段平缓的噪音峰强度的平均值约为3：1即可.】δ/S δ：响应值的标准差 S：校正曲线的斜率斜率S可从被分析物的校正曲线来估算,δ的值可由多种途径估算.如：6．3．1 根据空白的标准差通过几份空白样品的分析,然后计算其响应值的标准差,测出分析布景响应值的年夜小.6．3．2 根据校正曲线通过对含有DL范围内被分析物样品的分析来研究其标准曲线,回归线的剩余标难差或回归线的y轴截距标准差都可作为标准差.6．4 申报数据必需同时提供检测限度和测定检测限度的方法.如果见是根据直观评估或信噪比得来的,应提供相关的一些色谱图. 如通过计算或外推法获得检测限度的估算值,可对一系列接近或即是检测限度样品的逐个分析来论证这一估算值. 【上述资料引致ICHQ2B,建议诸位阅读英文原文,恐翻译不到位引起歧义】检测限是一种限度检验效能指标,它既反映方法与仪器的灵敏度和噪音的年夜小,也标明样品经处置后空白(本底)值的高低.要根据采纳的方法来确定检测限.当用仪器分析方法时,可用已知浓度的样品与空白试验对比,记录测得的被测药物信号强度S与噪音(或布景信号)强度N,以能到达S／N＝2或S／N＝3时的样品最低药浓为LOD；也可通过屡次空白试验,求得其布景响应的标准差,将三倍空白标准差(即3δ空或3S空)作为检测限的估计值.为使计算获得的LOD值与实际测得的LOD值一致,可应用校正系数来校正,然后依之制备相应检测限浓度的样品,反复测试来确定LOD.如用非仪器分析方法时,即通过已知浓度的样品分析来确定可检出的最低水平作为检测限.另外,实际工作中以下几个概念是经常混淆的：1,最低检测浓度2,最低检出量3,检出限1,最低检出浓度：满足最低检测限要求时,进样供试品溶液的浓度,罕见单元：微克/毫升,纳克/毫升,克/毫升【浓度单元】.2,最低检出量：最低检出量=最低检出浓度 X 进样量,罕见单元：微克,纳克【重量单元】.3,最低检出限：检出限DL是一种比值,用%或ppm暗示,即是最低检出浓度与样品溶液浓度（通常是一个固定的限度值）的比值,因此只有在满足最低检出浓度和最低检出量的同时才华够做出检出限.。
线性判别分析
介绍
线性判别分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)，也 叫做Fisher线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD)， 是模式识别的经典算法，1936年由Ronald Fisher首次提出， 并在1996年由Belhumeur引入模式识别和人工智能领域。
LDA
对于N(N>2)分类的问题，就可以直接写出以下的结论：
这同样是一个求特征值的问题，求出的第i大的特征向量，即为 对应的Wi。
LDA在人脸识别中的应用
要应用方法
K-L变换 奇异值分解 基于主成分分析 Fisher线性判别方法
主要应用方法
K-L变换
为了得到彩色人脸图像的主分量特征灰度图像,可以采用Ohta[3]等人提 出的最优基来模拟K-L变换方法,从而得到新的包含了彩色图像的绝大多 数特征信息的主分量特征图像.
LDA
LDA与PCA(主成分分析)都是常用的降维技术。PCA主要是从 特征的协方差角度，去找到比较好的投影方式。LDA更多的是 考虑了标注，即希望投影后不同类别之间数据点的距离更大， 同一类别的数据点更紧凑。
下面给出一个例子，说明LDA的目标：
可以看到两个类别，一个绿色类别，一个红色类别。左图是两个 类别的原始数据，现在要求将数据从二维降维到一维。直接投影 到x1轴或者x2轴，不同类别之间 会有重复，导致分类效果下降。 右图映射到的直线就是用LDA方法计算得到的，可以看到，红色 类别和绿色类别在映射之后之间的距离是最大的，而且每个类别 内 部点的离散程度是最小的（或者说聚集程度是最大的）。
LDA
假设用来区分二分类的直线（投影函数)为： LDA分类的一个目标是使得不同类别之间的距离越远越好，同 一类别之中的距离越近越好，所以我们需要定义几个关键的值:
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis，LDA）
线性判别分析（LinearDiscriminantAnalysis，LDA）⼀、LDA的基本思想线性判别式分析(Linear Discriminant Analysis, LDA)，也叫做Fisher线性判别(Fisher Linear Discriminant ,FLD)，是模式识别的经典算法，它是在1996年由Belhumeur引⼊模式识别和⼈⼯智能领域的。
线性鉴别分析的基本思想是将⾼维的模式样本投影到最佳鉴别⽮量空间，以达到抽取分类信息和压缩特征空间维数的效果，投影后保证模式样本在新的⼦空间有最⼤的类间距离和最⼩的类内距离，即模式在该空间中有最佳的可分离性。
如下图所⽰，根据肤⾊和⿐⼦⾼低将⼈分为⽩⼈和⿊⼈，样本中⽩⼈的⿐⼦⾼低和⽪肤颜⾊主要集中A组区域，⿊⼈的⿐⼦⾼低和⽪肤颜⾊主要集中在B组区域，很显然A组合B组在空间上明显分离的，将A组和B组上的点都投影到直线L上，分别落在直线L的不同区域，这样就线性的将⿊⼈和⽩⼈分开了。
⼀旦有未知样本需要区分，只需将⽪肤颜⾊和⿐⼦⾼低代⼊直线L的⽅程，即可判断出未知样本的所属的分类。
因此，LDA的关键步骤是选择合适的投影⽅向，即建⽴合适的线性判别函数（⾮线性不是本⽂的重点）。
⼆、LDA的计算过程1、代数表⽰的计算过程设已知两个总体A和B，在A、B两总体分别提出m个特征，然后从A、B两总体中分别抽取出、个样本，得到A、B两总体的样本数据如下：和假设存在这样的线性函数（投影平⾯），可以将A、B两类样本投影到该平⾯上，使得A、B两样本在该直线上的投影满⾜以下两点：（1）两类样本的中⼼距离最远；（2）同⼀样本内的所有投影距离最近。
我们将该线性函数表达如下：将A总体的第个样本点投影到平⾯上得到投影点，即A总体的样本在平⾯投影的重⼼为其中同理可以得到B在平⾯上的投影点以及B总体样本在平⾯投影的重⼼为其中按照Fisher的思想，不同总体A、B的投影点应尽量分开，⽤数学表达式表⽰为，⽽同⼀总体的投影点的距离应尽可能的⼩，⽤数学表达式表⽰为，，合并得到求从⽽使得得到最⼤值，分别对进⾏求导即可，详细步骤不表。
MSA试题集(答案结束)
一．选择填空(每题5分):1．测量系统是用来对被测赋值的( ABCDEF )的集合。
A.操作者B.量具C.设备D.软件E.操作程序F.环境2．测量过程的分别有( ABCDF )五个输入要素，输出则为测量值。
A.操作者B.量具C.产品D.测量方法E.操作程序F.环境3．数据的类型分为( AB )数据。
A.计量型B.计数型C.破坏型4．MSA评审的二个阶段分别为( BC )阶段。
A.数据收集B. 分析C. 改进5．调整轴的图纸尺寸为25±0.05，测得的过程变差为0.05，最合适的量具应选用( D )量具A.分辨力0.02的游标卡尺B.分辨力为0.01的千分尺C.分辨力0.01的游标卡尺D.分辨力为0.001的千分尺6．测量系统的宽度误差包括( DE )A.偏倚B.稳定性C.线性D.重复性E.再现性7．测量系统的位置误差包括( ABC )A.偏倚B.稳定性C.线性D.重复性E.再现性8．以下哪种原因可能导致测量结果的变差（ABCD ）A.零件的变差B.测量人内部变差C.测量仪器的变差D.测量环境导致的变差9．以下属于测量设备的计量特性的有（ABC ）A.分辨力B.最大允许误差C.测量范围D.重量E.长度10．在测量系统分析中，评价一个人使用一件测量设备，对同一零件的某一个特性进行多次测量下的变差，称为（ A ）A.重复性B.偏倚C.稳定性D.线性E.再现性11．以下描述错误的是（ B ）A.零件的真值永远无法得到，只能无限与之接近B.数显卡尺的准确度是0.02mm；C.产品控制理论关注的是零件是否在指定的范围内D.过程控制理论关注的是过程变差是否稳定并可接受12．以下公式错误的是（B）A.测量系统的偏倚＝测量值－真值（或约定真值）B. ndc(区别分类数)＝1.41*(PV/GRR)C.CTV（总变差）2＝EV（测量设备的变差）2＋PV(零件的变差)2D.GRR(测量系统变差)2＝EV(测量设备的变差)2＋AV（评价人的变差）213．重复性是由( A )个评价人，采用同一种测量仪器，多次测量同一零件的同一特性时获得的测量变差。
线性盈亏平衡分析方法
立志当早，存高远线性盈亏平衡分析方法1、图解法图解法主要是通过绘制盈亏平衡图的方法来分析产量、成本和盈利的关系，找出盈亏平衡点。
2、数学计算方法数学计算方法是根据已知的数据，用代数方法进行盈亏平衡分析。
它所涉及的关键变量有四个，即产销量、产品单价、成本和税收。
其中成本又分为固定成本和变动成本。
这四个变量的关系如下：销售净收入产（销）量=------------------------ 产品单价+单位产品税金销售成本=固定成本总额+产销量×产品单位变动成本=固定成本总数+变动成本总额销售税金=销售收入×税率=销售量×产品单价×税率销售净收入=产（销）量×(产品单价-单位产品税金) 根据以上变量之间的关系，可以用代数法进行盈亏平衡分析。
假设条件可知：S=Q·（P-T）C=F+VQ 式中：S 为正常年份销售净收入，C 为正常年份生产总成本，Q 为正常年份产品产量，P 为单位产品销售价格，F 为年固定成本，V 为单位可变成本，T 为单位产品税金。
按照收支平衡的定义，S 应该等于C：S=C 或Q（P-T）=F+VQF 得Q=---------- ---P-V-T 据以上基本公式，可得出用各种不同参数表示的盈亏平衡点：（1）以产（销）量表示的盈亏平衡点BEPQ：FBEPQ=---------------- P-V-T 以产（销）量表示的盈亏平衡点，表明企业不发生亏损时所必须达到的最低限度的产品产（销）量。
一个拟建项目如果具有较小的、以实物产量表示的盈亏平衡点，说明该项目只要达到较低的产（销）量就可以保本，也表明该项目可以经受产品生产规模变动的较大的风险。
要使项目获得较小的BEPQ 值，就必须降低固定成本，降低单位产品可变成本、单位产品税金或相应提高销售单价。
（2）以生产能力利用率表示的盈亏平衡点BEPR：FBEPR=-------------/Q×100%P-V-TF=-------------------×100%（P-V-T）·Q 以生产能力表示的盈亏平衡点，表明项目不亏损时必须达到的最低限度的生产能力。
线性判别分析(Linear Discriminant Analysis)
1. 问题之前我们讨论的PCA、ICA也好，对样本数据来言，可以是没有类别标签y的。
回想我们做回归时，如果特征太多，那么会产生不相关特征引入、过度拟合等问题。
我们可以使用PCA 来降维，但PCA没有将类别标签考虑进去，属于无监督的。
比如回到上次提出的文档中含有“learn”和“study”的问题，使用PCA后，也许可以将这两个特征合并为一个，降了维度。
但假设我们的类别标签y是判断这篇文章的topic是不是有关学习方面的。
那么这两个特征对y几乎没什么影响，完全可以去除。
再举一个例子，假设我们对一张100*100像素的图片做人脸识别，每个像素是一个特征，那么会有10000个特征，而对应的类别标签y仅仅是0/1值，1代表是人脸。
这么多特征不仅训练复杂，而且不必要特征对结果会带来不可预知的影响，但我们想得到降维后的一些最佳特征（与y关系最密切的），怎么办呢？2. 线性判别分析（二类情况）回顾我们之前的logistic回归方法，给定m个n维特征的训练样例（i从1到m），每个对应一个类标签。
我们就是要学习出参数，使得（g 是sigmoid函数）。
现在只考虑二值分类情况，也就是y=1或者y=0。
为了方便表示，我们先换符号重新定义问题，给定特征为d维的N个样例，，其中有个样例属于类别，另外个样例属于类别。
现在我们觉得原始特征数太多，想将d维特征降到只有一维，而又要保证类别能够“清晰”地反映在低维数据上，也就是这一维就能决定每个样例的类别。
我们将这个最佳的向量称为w（d维），那么样例x（d维）到w上的投影可以用下式来计算这里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直线上的点到原点的距离。
当x是二维的，我们就是要找一条直线（方向为w）来做投影，然后寻找最能使样本点分离的直线。
如下图：从直观上来看，右图比较好，可以很好地将不同类别的样本点分离。
接下来我们从定量的角度来找到这个最佳的w。
首先我们寻找每类样例的均值（中心点），这里i只有两个由于x到w投影后的样本点均值为由此可知，投影后的的均值也就是样本中心点的投影。
(完整版)线性分析与非线性分析的区别
线性分析在结构方面就是指应力应变曲线刚开始的弹性部分，也就是没有达到应力屈服点的结构分析非线性分析包括状态非线性，几何非线性，以及材料非线性，状态非线性比如就是钓鱼竿，几何比如就是物体的大变形，材料比如就是塑性材料属性。
2．非线性行为的原因引起结构非线性的原因很多，主要可分为以下3种类型。
（1）状态变化（包括接触）许多普通结构表现出一种与状态相关的非线性行为。
例如，一根只能拉伸的电缆可能是松弛的，也可能是绷紧的；轴承套可能是接触的，也可能是不接触的；冻土可能是冻结的，也可能是融化的。
这些系统的刚度由于系统状态的改变而突然变化。
状态改变或许和载荷直接有关（如在电缆情况中），也可能是由某种外部原因引起的（如在冻土中的紊乱热力学条件）。
接触是一种很普遍的非线性行为，接触是状态变化非线性类型中一个特殊而重要的子集。
（2）几何非线性结构如果经受大变形，其变化的几何形状可能会引起结构的非线性响应。
如图5.2所示的钓鱼杆，在轻微的载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断弯曲导致动力臂明显减少，致使杆在较高载荷下刚度不断增加。
（3）材料非线性非线性的应力-应变关系是结构非线性的常见原因。
许多因素可以影响材料的应力-应变性质，包括加载历史（如在弹-塑性响应状况下）、环境状况（如温度）、加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）等。
3．非线性结构分析中应注意的问题（1）牛顿-拉普森方法ANSYS程序的方程求解器可以通过计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程来表示，需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。
一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量。
可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。
在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前，程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。
遗憾的是，纯粹的增量近似不可避免地随着每一个载荷增量积累误差，最终导种结果失去平衡，如图5.3a所示。
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x4 + x5 x4 ≥ 100 2x4 + x5 ≥ 100 + 3x5 ≥ 100
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§3 套裁下料问题
• 用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下 料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 • 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号 比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会 多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用 等于号，这一方案就不是可行解了。
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§4 配料问题
• 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使 用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
为：
管 理
j =1
p j v j 可得有关蒸汽压力的约束条件：
7.5x11 − 7.0 x12 − 13.0 x13 + 8.0 x14 ≥ 0
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§4 配料问题
综上所述，得该问题的数学模型为：
m ax
x11 + x12 + x13 + x14
x 21 + x 22 + x 23 + x 24 ≥ 250000 x + x ≤ 380000 21 11 x12 + x 22 ≤ 265200 ≤ 408100 x13 + x 23 x + x ≤ 130100 14 24 2.85 x11 − 1.42 x12 + 4.27 x13 − 18.49 x14 ≥ 0 2.85 x 21 − 1.42 x 22 + 4.27 x 23 − 18.49 x 24 ≥ 0 16.5 x11 − 2 x12 − 4 x13 + 17 x14 ≥ 0 7.5 x − 7 x − 13 x + 8 x ≥ 0 21 22 23 24 x ij ≥ 0, ( i = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4)
所需售货员人数 28 15 24 25 19 31 28
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§1 人力资源分配的问题
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息 的人数,这样我们建立如下的数学模型。 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 目标函数： Min 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
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§1 人力资源分配的问题
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000 6x1 + 3x1 +
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
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§3 套裁下料问题
m的圆钢 例4．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 100套钢架 各 一根。已知原料每根长7.4 m， 应如何下料，可使所用原料最省？ 一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？
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§2 生产计划的问题
解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种 产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两 种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 产品甲全部自制的利润 产品甲铸造外协，其余自制的利润 产品乙全部自制的利润 产品乙铸造外协，其余自制的利润 产品丙的利润 =23-(3+2+3)=15 =23-(5+2+3)=13 =18-(5+1+2)=10 =18-(6+1+2)=9 =16-(4+3+2)=7
目标函数： Min
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§1 人力资源分配的问题
例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统 计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人 员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。 问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？
时间 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
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§4 配料问题
例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来 定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有 1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽 油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产 量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既 满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最 高？
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
管
理
运
筹
学
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§2 生产计划的问题
通过以上分析,可建立如下的数学模型:
目标函数： 约束条件：
Max
15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
管
理
运
筹
学
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§3 套裁下料问题
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们 建立如下的数学模型。 目标函数： Min 约束条件： s.t.
x1 + x2 + x3 + x1 + 2x2 + 2x3 + 3x1 + x2 + 2x3 x1,x2,x3,x4,x5 ≥
表 4 --6 表 4 7 ---
标准汽油 1 2 3 4
辛烷数 107.5 93.0 87.0 108.0
蒸汽压力(g/cm2) 蒸汽压力 7.11×10-2 × 11.38 ×10-2 5.69×10-2 × 28.45 ×10-2 蒸汽压力(g/cm2) 蒸汽压力
库存量(L) 库存量 380000 265200 408100 130100 产量需求
约束条件： 约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)