专题突破(五) 四边形的有关计算
专题突破5 开放探究题
3 3 ＋ ＝ ， －2 3k＋b＝0， ＝ k＝ 10 ， ∴ 3 解得 9 ＋ ＝ 2 k＋b＝4， b＝9. ＝5
3 3 9 ∴直线 AC 的解析式为 y＝ 10 x＋5. ＝ ＋
·新课标
专题突破五
(3)存在．设抛物线顶点为 N(0,6)，在 Rt△AON 中，易得 AN 存在． 存在 ， △ 点为圆心， ＝ ＝4 3，于是以 A 点为圆心，AB＝4 3为半径作圆与抛物线在 x 轴 ， 为半径作圆与抛物线在 上方一定有交点 Q，连接 AQ，再作∠QAB 平分线 AP 交抛物线于 ， ，再作∠ P，连接 BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ ≌△ABP. ， 、 ，此时由“边角边”易得△ ≌△
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专题突破五
7．[2011·漳州 如图 Z5－2，∠B＝∠D，请在不添加辅助线 ． 漳州]如图 漳州 － ， ＝ ， 的情况下，添加一个适当的条件， ≌△ADE 并证明． 并证明． 的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ ≌△ (1)添加的条件是 添加的条件是___________； 添加的条件是 ； (2)证明：△ABC≌△ 证明： ≌△ADE. 证明 ≌△
·新课标
专题突破五
6．[2011·贵阳 在三个整式 x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x 中，请 ． 贵阳]在三个整式 贵阳 ， ＋ ， 你从中任意选择两个，将其中一个作为分子， 你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组 成一个分式，并将这个分式进行化简， 成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当 x＝2 时分式的值． ＝ 时分式的值．
图 Z5－1 －
[解析 由于该图中出现三个正方形和本身是直角三角形，所以很容 解析] 由于该图中出现三个正方形和本身是直角三角形， 解析 易发现里面所有的直角三角形都是相似的， 的长， 易发现里面所有的直角三角形都是相似的，为此要求 x 的长，可考 x－3 － DF EF 3 虑用相似来求， 易得△ ∽△IGH， 虑用相似来求， 易得△DEF∽△ ∽△ ， 所以 IH ＝GH， 4 ＝ 即 ， x－4 － 解得 x＝7. ＝
四边形面积计算公式
四边形面积计算公式四边形是几何学中的一个基本概念，它由四条边和四个角组成。
四边形可以分为不规则四边形和规则四边形两种类型。
在计算四边形的面积时，需要根据已知的条件，应用适当的公式来进行求解。
计算不规则四边形的面积不规则四边形指的是边长和内角均不相等的四边形。
要计算不规则四边形的面积，我们可以利用矢量法或者分割成三角形进行面积求解。
使用矢量法计算不规则四边形的面积：对于任意不规则四边形 ABCD，可以将它分为两个三角形 ABC 和ACD。
首先，我们需要计算向量 AB 和向量 AD 的叉乘结果，得到向量的模长S1，那么不规则四边形的面积就可以表示为 S = |S1|。
使用分割成三角形进行面积求解：将不规则四边形 ABCD 分割为两个三角形 ABC 和 ACD。
则不规则四边形 ABCD 的面积可以表示为 S = SABC + SACD 。
其中，SABC 和 SACD 分别是三角形 ABC 和 ACD 的面积。
计算规则四边形的面积规则四边形指的是边长相等且内角相等的四边形，包括矩形、正方形、菱形等。
对于规则四边形，我们可以利用其特有的性质来计算面积。
计算矩形的面积：矩形是一种具有两对对边相等且内角均为90°的四边形。
对于一个矩形，它的面积可以通过两个相邻边的长度直接相乘而得到，即 S = a * b，其中 a 和 b 分别表示相邻边的长度。
计算正方形的面积：正方形是一种具有四条边长度相等且内角均为90°的四边形。
对于一个正方形，它的面积可以通过边长的平方来计算，即 S = a^2，其中 a 表示边长。
计算菱形的面积：菱形是一种具有四条边长度相等且相邻内角均为90°的四边形。
对于一个菱形，它的面积可以通过对角线的乘积再除以2来计算，即S = (d1 * d2) / 2，其中 d1 和 d2 分别表示两条对角线的长度。
综上所述，四边形的面积计算公式具体如下：- 对于不规则四边形：- 使用矢量法计算面积：S = |AB × AD|- 使用分割成三角形进行面积求解：S = SABC + SACD- 对于规则四边形：- 矩形的面积：S = a * b- 正方形的面积：S = a^2- 菱形的面积：S = (d1 * d2) / 2通过以上公式，我们可以计算出各种类型的四边形的面积。
四边形的性质及计算练习解析
四边形的性质及计算练习解析四边形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和计算方法。
本文将详细介绍四边形的性质，并通过一系列计算练习来解析四边形相关的问题。
一、四边形的性质1. 对角线：四边形的对角线是相邻顶点之间的线段。
任意四边形有两条对角线，可分为两组：一组是相交于一点的非垂直对角线，另一组是不相交的垂直对角线。
2. 对顶角：四边形的对顶角是相对的内角，连接相邻边的射线夹角称为对顶角。
对顶角的和为180度。
3. 平行四边形：具有两对平行边的四边形称为平行四边形。
平行四边形的对边相等，对角线互相平分。
4. 矩形：具有四个直角的平行四边形称为矩形。
矩形的对边相等，对角线相等。
5. 正方形：具有四个相等边和四个直角的矩形称为正方形。
正方形的对边相等，对角线相等且相互垂直。
6. 菱形：具有四个相等边的平行四边形称为菱形。
菱形的对边相等，对角线相互垂直且互相平分。
二、四边形的计算练习解析1. 计算四边形的面积：四边形的面积可以通过不同的方法进行计算，取决于已知条件。
以下是常见的计算方法：- 根据高和底边长计算：面积 = 高 ×底边长- 根据对角线和夹角计算：面积 = 0.5 ×对角线1 ×对角线2 × sin(夹角)- 根据边长计算（仅适用于特殊四边形）：面积 = 0.5 ×边长1 ×边长2 × sin(对角线夹角)2. 计算四边形的周长：四边形的周长是四个边长的总和，可根据已知条件直接相加得出。
3. 解析四边形的角度问题：根据四边形的性质和已知条件，可以解析出四边形中各个角度的度数。
- 矩形的角度：矩形的四个角均为直角，每个角度为90度。
- 正方形的角度：正方形的四个角均为直角，每个角度为90度。
- 菱形的角度：菱形的对角线相互垂直，可以根据已知的夹角推导出其余角的度数。
- 平行四边形的角度：平行四边形的对角线互相平分，对边角度相等。
四边形的计算
四边形的计算四边形是一种有四条边和四个内角的几何形状。
在数学中，我们可以计算四边形的各种属性和特征，如周长、面积、对角线长度等。
本文将探讨四边形的计算方法，并介绍一些常见的四边形类型及其特点。
1. 周长计算四边形的周长可以通过将四条边的长度相加得到。
假设四边形的四条边分别为a、b、c和d，则四边形的周长P等于：P = a + b + c + d2. 面积计算四边形的面积可以根据其类型使用不同的计算方法，下面分别介绍常见四边形的面积计算方法。
矩形的面积计算：矩形是一种具有相对平行的对边和相等的内角的四边形。
矩形的面积A等于其长度和宽度的乘积。
A = 长 ×宽正方形的面积计算：正方形是一种具有相等边长和直角的矩形。
正方形的面积A等于其边长的平方。
A = 边长 ×边长平行四边形的面积计算：平行四边形是一种具有平行对边的四边形。
平行四边形的面积A 可以通过底边和高的乘积得到。
A = 底边 ×高梯形的面积计算：梯形是一种具有一对平行边和两条非平行边的四边形。
梯形的面积A可以通过上底、下底和高的乘积再除以2得到。
A = (上底 + 下底) ×高 / 23. 对角线计算对角线是指连接四边形的两个非相邻顶点的直线段。
不同类型的四边形对角线的长度计算方式不同，下面分别介绍常见四边形的对角线计算方法。
矩形的对角线计算：矩形的对角线两两相等且互相垂直。
可以使用勾股定理计算矩形的对角线长度。
设矩形的宽度为w，长度为l，则对角线的长度d可以通过下面的公式计算：d = √(w² + l²)正方形的对角线计算：正方形的对角线长度等于边长的√2倍。
d = 边长× √2平行四边形的对角线计算：平行四边形的对角线长度可以通过三角函数和两对边的长度求解。
设平行四边形的两对边长分别为a和b，夹角为θ，则对角线的长度d可以通过下面的公式计算：d = √(a² + b² - 2abcosθ)梯形的对角线计算：梯形的对角线长度无固定公式，需要已知梯形的边长和角度才能计算。
四边形的有关计算绝对经典
四边形的有关计算1．如图Z5－1，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF .(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.图Z5－12．如图Z5－2，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD. (1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．图Z5－23．如图Z5－3，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF .(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．图Z5－34．如图Z5－4，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC ＝90°，∠CED ＝45°，∠DCE ＝30°，DE ＝2，BE ＝2 2.求CD 的长和四边形ABCD 的面积．图Z5－4一、以特殊平行四边形为背景图形1．如图Z5－4，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC 沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G.(1)画出△DEC平移后的三角形；(2)若BC＝2 5，BD＝6，CE＝3，求AG的长．图Z5－52．如图Z5－6，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．图Z5－63．如图Z5－7，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．图Z5－74．如图Z5－8，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且DE ＝12AC ，连接CE ，OE ，连接AE 交OD 于点F . (1)求证：OE ＝CD ；(2)若菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，求AE 的长．图Z5－85．如图Z5－9，在四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥A C.(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长．图Z5－9二、以一般四边形为背景图形1．如图Z5－10，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝2 3，以AC 为边在△ABC 的外部作等边三角形ACD ，连接BD. (1)求四边形ABCD 的面积； (2)求BD 的长．图Z5－102．如图Z5－11，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．图Z5－113．如图Z5－12，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC ＝45°，求BC的长．图Z5－124．已知：如图Z5－13，BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3＋3，CD＝2 3.(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长．图Z5－13三、以三角形为背景图形1．如图Z5－14，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF ∥AC.(1)求证：BE＝AF；(2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求DE的长及四边形ADEF的面积．图Z5－142．如图Z5－15，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．图Z5－153．如图Z5－16，已知：在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD 交AC于点E，AE＝4，EC＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)若tan B＝3，求线段AB的长．图Z5－164．已知：如图Z5－17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B.(1)请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；(2)求BC′的长．图Z5－17。
2022年高考考点完全题数学(文)专题突破练习题 专题突破练5 立体几何的综合问题 Word版含答案
专题突破练(5) 立体几何的综合问题 一、选择题1．已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则“a ∥b ”是“α∥β ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 D解析 “a ∥b ”不能得出“α∥β”，反之由“α∥β”也得不出“a ∥b ”．故选D.2.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，A 1A ＝AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5， 若规定正视方向垂直平面ACC 1A 1，则此三棱柱的侧视图的面积为( )A.455B ．2 5C ．4D ．2答案 A解析 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，∴AB ⊥BC .作BD ⊥AC 于D ，则BD 为侧视图的宽，且BD ＝2×15＝255，∴侧视图的面积为S ＝2×255＝455.3．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 如图，既与AB 共面也与CC 1共面的棱有CD 、BC 、BB 1、AA 1、C 1D 1，共5条．4．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四周体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四周体A ′BCD 的体积为13答案 B解析 ∵AB ＝AD ＝1，BD ＝2，∴AB ⊥AD . ∴A ′B ⊥A ′D .∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ， ∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°.5. 如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC答案 B解析由AP⊥PB，AP⊥PC可推出AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，故排解A；由平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC 可推出BC⊥平面APC，∴AP⊥BC，故排解C；由AP⊥平面PBC可推出AP⊥BC，故排解D，选B.6．如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么明显所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ＝12×23＝4.7．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD 的最大值是( )A．6 B．7C．8 D．9答案 C解析由题意知42＝AB2＋AC2＋AD2，S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝12(AB·AC＋AC·AD＋AD·AB)≤12⎣⎢⎡12AB2＋AC2＋12AC2＋AD2＋⎦⎥⎤12AD2＋AB2＝12(AB2＋AC2＋AD2)＝8.8．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的全部内接圆柱中，表面积的最大值是( )A．22πR2 B.94πR2C.83πR2 D.52πR2答案 B解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相像三角形的比例关系，得PO13R＝xR，则PO1＝3x，圆柱的高为3R－3x，所以圆柱的表面积为S＝2πx2＋2πx·(3R－3x)＝－4πx2＋6πRx，则当x＝34R 时，S取最大值，S max＝94πR2.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N 分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足MQ→＝λMN→的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 本题可以转化为在MN 上找点Q 使OQ 綊PD 1，可知只有Q 点与M ，N 重合时满足条件，所以选C. 10．四棱锥M －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，若|MA |＋|MB |＝10，则三棱锥A －BCM 的体积的最大值是( )A ．16B ．20C ．24D ．28答案 C解析 ∵三棱锥A －BCM 体积＝三棱锥M －ABC 的体积，又正方形ABCD 的边长为6，S △ABC ＝12×6×6＝18，又空间一动点M 满足|MA |＋|MB |＝10，M 点的轨迹是椭球，当|MA |＝|MB |时，M 点到AB 距离最大，h ＝52－32＝4，∴三棱锥M －ABC 的体积的最大值为V ＝13S △ABC h ＝13×18×4＝24，∴三棱锥A －BCM 体积的最大值为24，故答案为C.11．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入的直径为1的球的个数( ) A ．64 B ．66 C ．68 D ．70答案 B解析 依据球体的特点，最多应当是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层连续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)，故答案为B.12．如图所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M ，N ，设BM ＝x ，x ∈，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；②当且仅当x ＝12时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长L ＝f (x )，x ∈是单调函数； ④四棱锥C ′－MENF 的体积V ＝h (x )为常函数．以上命题中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④答案 C解析 ①连接BD ，B ′D ′，则由正方体的性质可知EF ⊥平面BDD ′B ′，所以平面MENF ⊥平面BDD ′B ′，所以①正确．②连接MN ，由于EF ⊥平面BDD ′B ′，所以EF ⊥MN ，四边形MENF 的对角线EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即x ＝12时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，所以②正确．③由于EF ⊥MN ，所以四边形MENF 是菱形．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，EM 的长度由大变小，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，EM 的长度由小变大，所以函数L ＝f (x )不单调，所以③错误．④连接C ′E ，C ′M ，C ′N ，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以C ′EF 为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥．由于三角形C′EF的面积是常数．M，N到平面C′EF的距离是常数，所以四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题，选C.二、填空题13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于________．答案10 5解析连接AD1，AP，则∠AD1P就是所求的角．设AB＝2，则AP＝D1P＝5，AD1＝22，∴cos∠AD1P＝10 5.14.如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．答案6π解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.15. 如图，有一圆柱开口容器(下表面封闭)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是________．答案π2＋9解析由于圆柱的侧面开放图为矩形(如图所示)，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程应为AQ＋PQ，设点E与点A关于直线CD对称，由于两点之间线段最短，所以Q为PE与CD的交点时有最小值，即最小值为EP＝π2＋9.16．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若与D1B平行的平面截正方体所得的截面面积为S，则S的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎪⎫0，6a22解析 如图，过D 1B 的平面为BMD 1N ，其中M ，N 分别是AA 1，CC 1的中点，由于BD 1＝3a ，MN ＝AC ＝2a ，AC ⊥BD 1，即MN ⊥D 1B ，所以过D 1B 与M ，N 的截面的面积为S ＝12AC ·BD ＝62a 2，因此S 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，6a 22.三、解答题17．在边长为4的菱形ABCD 中，∠DCB ＝60°，点E ，F 分别是边CD 和CB 的中点，AC 交BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABD ，得到如图所示的五棱锥P －ABFED .(1)求证：BD ⊥PA ；(2)求点D 到平面PBF 的距离．解 (1)证明：由于四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 由于EF 为△BCD 的中位线，所以EF ∥BD ， 故AC ⊥EF ，即翻折后PO ⊥EF .由于平面PEF ⊥平面ABD ，平面PEF ∩平面ABD ＝EF ，PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABD . 由于BD ⊂平面ABD ，所以PO ⊥BD .又AO ⊥BD ，AO ∩PO ＝O ，AO ⊂平面APO ，PO ⊂平面APO ，所以BD ⊥平面APO . 由于AP ⊂平面APO ，所以BD ⊥PA .(2)连接PC ，由于四边形ABCD 为菱形，且∠DCB ＝60°，故∠ADC ＝120°，AD ＝4，AC ＝43，BD ＝4， S △BDF ＝12S △BDC ＝12×12×4×23＝23，OP ＝14AC ＝ 3.由于PF ＝BF ＝FC ，故△BPC 为直角三角形，∠BPC ＝90°，PC ＝OC 2＋OP 2＝6，PB ＝BC 2－PC 2＝10，S △PBF ＝12S △BPC ＝12×12PB ·PC ＝152. 由于V D －PBF ＝V P －BDF ，所以13h D ·S △PBF ＝13OP ·S △BDF ，所以h D ＝OP ·S △BDF S △PBF ＝3×23152＝4155. 故点D 到平面PBF 的距离为4155.18．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：AB ∥EF ；(2)若PA ＝AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明：AF ⊥平面PCD ；(3)在(2)的条件下，线段PB 上是否存在点M ，使得EM ⊥平面PCD ？(直接给出结论，不需要说明理由) 解 (1)证明：由于底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD . 又由于AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ∥平面PCD .又由于A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF ∩平面PCD ＝EF ，所以AB ∥EF . (2)证明：在正方形ABCD 中，CD ⊥AD .又由于平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面PAD . 又由于AF ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AF .由(1)知AB ∥EF ，又由于AB ∥CD ，所以CD ∥EF . 由点E 是棱PC 的中点，可知点F 是棱PD 的中点．在△PAD 中，由于PA ＝AD ，所以AF ⊥PD ，又由于PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD . (3)不存在．19．一个多面体的直观图和三视图如下：(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点) (1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A －CDEF 的体积．解 (1)证明：由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由于M ，N 分别是AF ，BC 中点，则NG ∥CF ，∵MG ∥AB ，又∵AB ∥EF ，∴MG ∥EF ，∴面MNG ∥面CDEF ，∴MN ∥面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE －BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥面DCEF ，且AH ＝2， ∴V A －CDEF ＝13S CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.20. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AB ＝3，CD ＝2，PD ＝AD ＝5，E 是PD 上一点．(1)若PB ∥平面ACE ，求PE ED的值；(2)若E 是PD 中点，过点E 作平面α∥平面PBC ，平面α与棱PA 交于F ，求三棱锥P －CEF 的体积． 解 (1)连接BD 交AC 于O ，在△PBD 中，过O 作OE ∥BP 交PD 于E ，∵OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE ，∵AB ＝3，CD ＝2，∴AB CD ＝BO DO ＝PE ED ＝32.(2)过E 作EM ∥PC 交CD 于M ，过M 作MN ∥BC 交AB 于N ， 则平面EMN 即为平面α，则平面α与平面PAB 的交线与PB 平行，即过N 作NF ∥PB 交PA 于F ， ∵E 是PD 的中点，CD ＝2，∴CM ＝1，则BN ＝CM ＝1， 又AB ＝3，∴AN NB ＝2，则FA FP＝2，∵PD ＝AD ＝5，∴F 到平面PCE 的距离为53，则V P －CEF ＝V F －PCE ＝2518.。
63第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围、最值问题
第1课时 范围、最值问题
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一 范围问题
例 1 (2016·天津)设椭圆ax22＋y32＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|O1F|＋ |O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
3
2 4
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
多维探究
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，
A.[4,5]
√B.[7,8]
C.[6,7]
D.[5,6]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知椭圆 C1： mx＋2 4－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点， 求椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
证明 设 P(x0，y0)，A41y21，y1，B41y22，y2. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y22＋x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.
四边形求解技巧
四边形求解技巧四边形是一个具有四条边的几何图形，常见的四边形有矩形、正方形、菱形和梯形等。
在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化问题和提高解题效率。
以下是一些常见的四边形求解技巧。
1. 利用四边形的对称性：在有关对称性的问题中，我们可以利用四边形的对称性来简化计算。
例如，在矩形和正方形中，对角线相等，对边平行且相等。
在菱形中，对角线相等，对边平行且相等。
如果一个四边形具有对称轴，我们可以根据对称性质来推导出其他边和角的关系，从而简化问题。
2. 利用四边形的角的性质：根据四边形内角和为360度的性质，我们可以得到以下推论：- 矩形和正方形中，对角线是相等的；- 矩形和菱形中，相对的角是相等的；- 矩形、菱形和正方形中，对边相等。
3. 利用四边形的边的性质：根据四边形的边的性质，我们可以得到以下推论：- 正方形中，所有边相等；- 矩形中，对边相等；- 菱形中，对边相等。
4. 利用四边形的对角线：对于矩形和正方形，对角线相等，我们可以利用对角线的性质来简化计算。
例如，在矩形中，如果对角线相交于点M，则M是对角线的中点。
5. 利用四边形的相似性：如果两个四边形具有相似性质，即对应的角相等，对应的边成比例，我们可以利用相似性质来求解问题。
例如，在相似的矩形中，我们可以利用比例关系来确定相应的长度。
6. 利用平行线性质：如果在四边形中，有两组对边分别平行，我们可以利用平行线性质来简化计算。
例如，在梯形中，底边平行且相等，我们可以利用平行线的性质来推导出其他边和角的关系。
7. 利用垂直线性质：如果在四边形中，有两组对边相互垂直，我们可以利用垂直线性质来简化计算。
例如，在矩形中，对边相互垂直，我们可以利用垂直线的性质来推导出其他边和角的关系。
8. 利用外接圆和内切圆：四边形可以内接于一个圆或外接于一个圆。
如果我们能找到这个圆，我们可以利用圆的性质来求解问题。
对于矩形和正方形，外接圆和内切圆的圆心是相等的。
9. 利用面积公式：根据四边形的性质，我们可以计算四边形的面积。
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专题突破(五) 四边形的有关计算四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.1．如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.图Z5－12．如图Z5－2，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．图Z5－23．如图Z5－3，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝12BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．图Z5－34．如图Z5－4，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．图Z5－4一、以特殊平行四边形为背景图形1．如图Z5－4，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G.(1)画出△DEC平移后的三角形；(2)若BC＝2 5，BD＝6，CE＝3，求AG的长．图Z5－52．如图Z5－6，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．图Z5－63．如图Z5－7，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．图Z5－74．如图Z5－8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝12AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．图Z5－85．如图Z5－9，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥A C.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．图Z5－9二、以一般四边形为背景图形1．如图Z5－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 3，以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD，连接BD.(1)求四边形ABCD的面积；(2)求BD的长．图Z5－102．如图Z5－11，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．图Z5－113．如图Z5－12，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C ＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC＝45°，求BC的长．图Z5－124．已知：如图Z5－13，BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3＋3，CD＝2 3.(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长．图Z5－13三、以三角形为背景图形1．如图Z5－14，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.(1)求证：BE＝AF；(2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求DE的长及四边形ADEF 的面积图Z5－142．如图Z5－15，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．图Z5－153．如图Z5－16，已知：在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)若tan B＝3，求线段AB的长．图Z5－164．已知：如图Z5－17，在△ABC中，∠C＝90°，AC ＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B.(1)请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；(2)求BC′的长．图Z5－17参考答案1.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．(2)∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝∠BFD＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝32＋42＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.2．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB.∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAE，∠ABF＝∠CBF.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，AB＝AF，∴AF＝BE.∵AF∥BE，∴四边形ABEF为菱形．(2)如图，过点P作PH⊥AD于点H.∵∠ABC＝60°，AB＝BE，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB＝4，∠AEB＝60°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝60°.∵四边形ABEF为菱形，∴P为AE的中点，∴AP＝2.在Rt△APH中，∠AHP＝90°，∠PAH＝60°，AP＝2，∴AH＝1，PH＝ 3.∵AD＝6，∴DH＝5，∴tan∠ADP＝PHDH＝35.3．解：(1)证明：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC. ∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD. 又∵CE ＝12BC ， ∴DF ＝CE ，且DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．(2)如图，过点D 作DH ⊥BE 于点H .在▱ABCD 中，∵∠B ＝60°，∴∠DCE ＝60°.∵AB ＝4，∴CD ＝AB ＝4，∴CH ＝2，DH ＝2 3.在▱CEDF 中，CE ＝DF ＝12AD ＝3，则EH ＝1. ∴在Rt △DHE 中，根据勾股定理知DE ＝DH 2＋EH 2＝（2 3）2＋1＝13.4．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H .∵∠CED ＝45°，DH ⊥EC ，DE ＝2，∴EH ＝DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴HC＝3，DC＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2 2，∴AB＝AE＝2，∴AC＝2＋1＋3＝3＋3，∴S四边形ABCD＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝3 3＋92.一、以特殊平行四边形为背景图形1．解：(1)如图所示．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.由平移可知点C平移到点B，且△DEC≌△AGB，∴BG＝CE，BG∥CE.∵CE⊥BD，CE＝3，∴BG＝3，∠GBD＝90°.在Rt△GBD中，BD＝6，BG＝3.∴DG＝3 5.又∵BC＝2 5，∴AD＝2 5，∴AG＝DG－AD＝ 5.2．解：(1)证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴CE＝BD.又∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AD，∴CE＝D A.又∵CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形．(2)过点C作CF⊥AB于点F.由(1)可知BC＝DE.设BC＝x，则AC＝2x.在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得AB＝5x.∵12AB·CF＝12AC·BC，∴CF＝AC·BCAB＝2 55x.∵CD＝12AB＝52x，∴sin∠CDB＝CFCD＝45.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠F.∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)如图，过点B作BH⊥AE于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°.∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8.在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝BC2＋CE2＝10.在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，∴BH＝AB·sin45°＝7 2.∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，∴sin∠AEB＝BHBE＝7 210.4．解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC＝12 AC.∵DE＝12 AC，∴DE＝OC.又∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴▱OCED是矩形，∴OE＝CD.(2)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，∴AO＝12AC＝1.∴在矩形OCED中，CE＝OD＝AD2－AO2＝ 3. 在Rt△ACE中，AE＝AC2＋CE2＝7. 5．解：(1)证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC，垂足为F，∴BD⊥AC，AF＝FC.又∵AE⊥AC，∴∠EAC＝∠DFC＝90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)如图，连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠1.又∵∠ADE＝∠BAD，∴∠1＝∠BAD，∴AB＝BD，∴▱ABDE是菱形．∵AB＝5，AD＝6，∴BD＝AB＝5，AD⊥BE，OA＝12AD＝3.在Rt△OAB中，OB＝AB2－OA2＝4.∵S△ABD＝12AD·OB＝12BD·AF，∴6×4＝5AF，解得AF＝4.8.∵BD垂直平分AC，∴AC＝2AF＝9.6.二、以一般四边形为背景图形1．解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 3，∴cos∠ABC＝BCAB，AC＝12AB，∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－30°＝60°，∴AB＝BCcos∠ABC＝2 3cos30°＝4，AC＝12×4＝2.∵△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC＝2，∠DAC＝60°.如图，过点D作DE⊥AC于点E，则DE＝AD·sin∠DAC ＝2×sin60°＝3，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AC·BC＋12AC·DE＝12×2×2 3＋12×2× 3＝3 3.(2)如图，过点D作DF⊥AB于点F.∵∠DAF＝180°－∠BAC－∠DAC＝180°－60°－60°＝60°，∴DF＝AD·sin∠DAF＝2sin60°＝3，AF＝AD·cos∠DAF＝2cos60°＝1，∴BF＝AB＋AF＝4＋1＝5.∵DF⊥AB，∴在Rt△BDF中，BD2＝DF2＋BF2＝(3)2＋52＝28，∴BD＝2 7.2．解：如图，延长BA，CD交于点E.∵∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝4，∴∠E＝30°，CE＝8，BE＝4 3.∵CD＝3，∴DE＝5，∴AE＝DEcos E＝5cos30°＝1033，∴AB＝BE－AE＝4 3－1033＝233.3．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.∵DB⊥AB，AB＝2，∠A＝60°，∴BD＝AB·tan60°＝2 3.∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴BE＝DE＝BD·sin45°＝ 6.∵∠C＝∠A＝60°，∠DEC＝90°，∴CE＝DEtan60°＝2，∴BC＝2＋ 6.4．解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于点E. ∵在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2 3，∴CE＝3，DE＝3.∵BC＝3＋3，∴BE＝BC－CE＝3＋3－3＝3，∴DE＝BE＝3，∴在Rt△BDE中，∠EDB＝∠EBD＝45°.∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠EBD＝45°，∴tan∠ABD＝1.(2)如图，过点A作AF⊥BD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，∴BF＝AF＝22.∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，∴BD＝3 2，∴DF＝BD－BF＝3 2－22＝5 22，∴在Rt△AFD中，AD＝DF2＋AF2＝13.三、以三角形为背景图形1．解：(1)证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，∴AF＝DE.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝AF.(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H.∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DG＝12BD＝12×12＝6.∵BE＝DE，∴BH＝DH＝12BD＝6，∴BE＝BHcos30°＝4 3，∴DE＝BE＝4 3，∴四边形ADEF的面积为DE·DG＝24 3. 2．解：(1)证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，DG＝12 BC.∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EF∥BC，EF＝12 BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．(2)过点O作OM⊥BC于点M.在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4.∴OM＝12OC＝2，∴CM＝2 3.在Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，∴BM＝OM＝2，∴BC＝2＋2 3，∴EF＝1＋ 3.3．解：(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4，∴∠DEA＝60°，DE＝12AE＝2.∵EC＝2，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C.又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°，∴∠C＝30°＝∠DAE，∴AD＝DC.(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F.∴∠AFC＝∠AFB＝90°.∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝6.在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，∴AF＝12AC＝3.在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，tan B＝3，∴BF＝AFtan B＝1，∴AB＝AF2＋FB2＝10.4．解：(1)BC′与AB′互相垂直．理由：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D.∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB ＝BB ′.∵AC ＝BC ，∴AC ′＝B ′C ′.在△ABC ′和△B ′BC ′中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝B ′B ，AC ′＝B ′C ′，BC ′＝BC ′，∴△ABC ′≌△B ′BC ′(SSS )，∴∠ABC ′＝∠B ′BC ′，∴BD ⊥AB ′.(2)∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，∴AB ′＝2. 由(1)知BD ⊥AB ′且D 为AB ′的中点，∴C ′D ＝12×2＝1. ∵在Rt △ABD 中，∠ABD ＝12∠ABB ′＝30°，AB ＝2，∴BD ＝2×32＝3， ∴BC ′＝BD －C ′D ＝3－1.。