流体力学课件-03

1. 复势与复速度的定义 复势: 对于不可压流体的平面无旋运动，存在速度势与流函数，且有
0
定义一个z的解析函数W(z)
与 均是调和函数。
W ( z ) i
W(z)与不可压、平面无旋运动一一对应。
复速度：定义复速度——复势的导数：
dW W i u iv dz x x x dW W 1 ( i ) i u iv dz (iy ) i y y y y
m 1 , v 0 r 2 r r
速度分量为：
vr
m0 m0
vr 0
vr 0
速度方向与 r 同向，这时流体沿一族射线（流线）从不断向外 流出，似乎源泉一样，所以这种流动成为点源。 速度方向与 r 反向，即向园心，这时流体沿流线流向一点， 这种流动称作点汇。
i i
const
z re , z re
如果zo在x轴上，则 0 流线： 等势线: 速度：
const
r
2
2
m m 1 i ( ) 1 i ( ) r W r e e 2 2 r r u W e i cos , sin r z r r
不同的常数，便可得到不同的流线; const 反映的是流线族，故称为流函数。 3）两点流函数值之差等于过此两点连线的单位厚度曲面流量
vn dl udy vdx
y
B B
Q vn dl udy vdx
A A
B
B
A
dx dy d ( B ) ( A) y x A
1）偶极子
定义：两个强度同样很大而又无限接近的源和汇构成的流场成为偶，或偶极子。 设源在原点，汇在z 处，则其复势为： const
W m m m z ln z ln( z z ) ln(1 ) 2 2 2 z m z 1 z 2 1 z 3 ( ) ( ) 2 2 z 3 z z m z 2 z

r2

U
若以零流线作为边界，便可得绕过半径为 U 得圆柱体的均匀绕流;若柱体的半径 1 a2 2 用a表示，即 a 2 w Uz Ua U(z )
U
z
z
a )cos r a2 U(r )sin r
U(r
2
a U (1 2 ) cos r r 1 a2 V U (1 2 ) sin r r Vr
便可定义一个函数

( x, y, t ) vdx udy
v, u x y
( x, y, t ) 称为流函数，在上述线积分时，
t作为参数。
极坐标下的不可压连续方程可定义流函数为：
( r , , t ) v dr vr rd
且： v , rvr r
r ( x x0 ) 2 os tg
y y0 x x0
m0
W ( z)
速度势与流函数分别为：
m ln rei 2 m m ln r , 2 2
流线： const const,以z 0点为圆心的射线 等势线： const r const以z 0点出发的同心圆
考虑地面后的复势相当于在的共轭点上z0放置了一同等强度的点源。
2) X = 0的平面壁像（对称于y轴） 若在 x 0 的域中存在若干源、汇、偶极子或其它奇点，其复势为f(z)，则在 流场中插入x=0的平面壁后，在 x 0 的域中，复势变为：
W ( z ) f ( z ) f ( z )
P Q y x
则必存在一个由如下线积分定义的函数F（x，y） 该积分与路径无关，而且有如下关系：
F ( x, y ) Pdx Qdy
F F P, Q x y u v u ( v ) 流体力学中，不可压流体的平面连续方程为： 0即 x y x y
例 解 设在z0处有一强度为m的点源，求地面(取x轴)对它影响。 已知不考虑地面时，点源的复势为：
f ( z) m ln( z z0 ) 2
z0
z0
考虑地面后，据上面的公式可知复势应变为：
W ( z) f ( z) f ( z) m m ln( z z0 ) ln( z z0 ) 2 2
dW u iv dz
复速度的共轭为：
dW u iv dz
复速度的模就是速度的绝对值
q
dW dz
u 2 v2
2.复势的几个性质
1）W(z)可以差一任意常数而不影响流运动； 2) 3)
W ( z) const
const
const
实部：速度环流；虚部：流量

x
o
2)点涡旋 设涡旋只在一点存在，除此以外流体均是无旋的，这种运动称作为点涡旋运动。
i ln( z z0 ) 2
i ln z 2
若点涡在 z 0 ，则复势为：
若点涡在原点，则复势为： 由复势可得到 与 为：
W ( z)
其中 是点涡的强度
0
W ( z)
i i ln z ln rei i ln r 2 2 2 2 , ln r 2 2 流线： const r const ,以o点为圆心的同心圆 W ( z) 等势线： const const以o点出发的射线
式中 f ( z ) 表示对f(z)中除z以外的复数取共轭，并以-z代替z。
xy const
速度： u
2 Ax, v 2 Ay x y
双曲线，零流线:x = 0,y = 0
u, v
u, v 0
3
n3
无穷远点为奇点: 原点为驻点:
N=3
x, y
x, y 0
3
Ar cos3 , Ar sin 3
W ( z ) Uz

z

r
W Urei
)s in , ( Ur

r
ei (Ur
)cos

r
)cos i(Ur

r
)sin
( Ur

r
流线
const
sin 0
零流线
(Ur
0,
)sin 0 r Ur 0 r
0
vr
1 k 0, v ;k r r 2 r r 2
0, v 0
则流动沿逆时针方向 则流动沿顺时针方向
0, v 0
3)源与汇
W ( z) m ln( z z0 ) 2
m0
m为源或汇的强度
用极坐标的形式表示


4)任意拐角绕流
W ( z ) Az n Ar n ein , A const , n Ar n cos n , Ar n sin n 1 2
流线： 零流线：
N=1
n r n sin n const 等势线： r cos n const 0及
r sin
2
y
const
vr
x
x y
2
2
const, x 2 y 2 cy 0
1 2 cos , v 2 s in r r r r
x y
c x 2 y 2 cx 0
2）圆柱绕流 在偶极子的基础上，再叠加一个沿x轴的均匀流，这时流场复势应为：
在实际问题与自然现象中，并不存在严格的平面流动，但是当流动的物理量 在某一方向（例z轴方向）的变化相对于其他方向上的变化为小量，而且此方向 上的速度近似等于零时，则就可以简化为平面流动问题。 推广应用：在某一方向求平均，把三维问题简化为二维问题。
4.1 流函数的定义及其性质
1.流函数的定义 据数学分子中平面曲线积分与路径无关的性质可知，如果有P（x，y）和Q（x，y） Q 两个函数，而且P、Q及 P 、 均在闭区域及其边界上是单值连续的；若对于所有 y x x，y，下等式成立：
l
dW dz W l d id iQ dz
4)在无源无汇的单连通区域内，W(z)是单值函数。
4.3 基本流动及组合原理
W(z)与不可压、平面无旋运动一一对应；对流场的研究转化为对W(z)的研究。 因为若已知W(z),流场的特性均可知道。 先介绍具有基本意义的解析函数以及它们所对应的基本流动，然后据解析函数的 可叠加性，将某些基本的解析函数进行叠加得到新的解析函数来研究较复杂一些 的流动。
N=2
即平行于x 轴的直线，均匀流 r sin y const Ar 2 cos 2 Ar 2 (cos 2 sin 2 ) A( x 2 y 2 ) Ar 2 sin 2 2 Ar 2 sin cos 2 Axy
n
n2
流线：
2
C A D
B
2 2 园柱面上， r a Vr 0,V 2U sin q Vr V 2U sin
可见，在绕圆柱流动中，沿圆柱体表面流体只有切向速度而无经向速度。
0, ,q 0,
称A,B点为驻点；


2
, q 2U
最大
4.4
平面壁镜像与圆定理
dl B dx
A
4) 与的 关系
v u z k ( )k 2k x y
dy
x
5）对于不可压平面无旋运动，等速度势线与等流函数线正交