第八章1节

一般说来，按照检验所用的统计量的分布 一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 Z 检验 用正态分布 t 检验 用 t 分布 用 χ 分布
2
χ 检验
2
F 检验
用 F分布 分布
在大样本的条件下， 在大样本的条件下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C. 极限分布，依据它去决定临界值
不否定H 并不是肯定H 一定对， 不否定 0并不是肯定 0一定对，而 只是说差异还不够显著， 只是说差异还不够显著，还没有达到足 以否定H 以否定 0的程度 . 所以假设检验又叫 “显著性检验” 显著性检验” 显著性检验
取得很小， 如果显著性水平α取得很小，则拒绝 域也会比较小. 域也会比较小 其产生的后果是： 其产生的后果是： H0难于被拒绝 难于被拒绝. 如果在 α 很小的情况 仍被拒绝了， 下H0仍被拒绝了，则说 明实际情况很可能与之 有显著差异 有显著差异. 基于这个理由， 基于这个理由，人们常把 α = 0.05 时拒绝 H0称为是显著的，而把在 α = 0.01 时拒绝 称为是显著 显著的 H0称为是高度显著的. 称为是高度显著 高度显著的
X − 21 ~ N(0,1) 取统计量 U = σ n
否定域为 W : U > u0.01 =2.33
{U > u0.01}是
一小概率事件
解:提出假设: H0 : µ ≤ 21 ⇔ H1 : µ > 21 提出假设: X − 21 ~ N(0,1) 取统计量 U = σ n 否定域为 W : U > u0.01 =2.33 代入 σ =1.2, n=30，并由样本值计算得统计 ，并由样本值计算得统计 量U的实测值 的实测值 落入否定域 U=2.51>2.33 故拒绝原假设H 故拒绝原假设 0 . 此时可能犯第一类错误， 此时可能犯第一类错误，犯 错误的概率不超过0.01. 错误的概率不超过
…
已知 X~N(µ,σ ),σ 2 未知 未知.
2
第一步： 第一步： 提出原假设和备择假设
H0 : µ = 32.5 ⇔ H1 : µ ≠ 32.5
第二步： 取一检验统计量， 第二步： 取一检验统计量，在H0成立下 求出它的分布
能衡量差异 大小且分布 已知
X − 32.5 t= ~ t(5) S 6
两类错误是互相关联的， 两类错误是互相关联的， 当样本容 量固定时， 量固定时，一类错误概率的减少导致另 一类错误概率的增加. 一类错误概率的增加 要同时降低两类错误的概率α, β，或 者要在 α 不变的条件下降低 β，需要增 加样本容量. 加样本容量
单、双侧检验 前面一例的检验，拒绝域取在两侧， 前面一例的检验，拒绝域取在两侧， 称为双侧检验 拒绝域取在一侧的称为单 双侧检验.拒绝域取在一侧的称为 称为双侧检验 拒绝域取在一侧的称为单 侧检验
得否定域 第四步： 第四步：
W: |t |>4.0322
的实测值, 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.997<4.0322 故不能拒绝H 故不能拒绝 0 .
没有落入 拒绝域
这并不意味着H 一定对， 这并不意味着 0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H 还不够显著 不足以否定 0 .
假设检验是不同于参数估计的另一类重 要的统计推断问题. 也就是根据样本的信息 要的统计推断问题 也就是根据样本的信息 判断对总体作出的某个假设是否正确. 判断对总体作出的某个假设是否正确 这类问题称作假设检验问题 . 假设检验
{
参数假设检验 非参数假设检验
总体分布已知， 总体分布已知， 检验关于未知参数 的某个假设
二 假设检验的步骤 看下面的例子：
某工厂生产的一种螺钉， 例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度 毫米. 是32.5毫米 实际生产的产品，其长度 假定服 毫米 实际生产的产品，其长度X假定服 未知， 从正态分布 N(µ, σ 2 ), σ 2 未知，现从该厂生产 的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格? 问这批产品是否合格 分析：这批产品 螺钉长度 螺钉长度) 分析：这批产品(螺钉长度 的全体组成问题的总体X. 的全体组成问题的总体 检验E(X)是否为 是否为32.5. 现在要检验 是否为 现在要检验
N (µ ,σ )
提出假设
H0： µ= 355
H1：µ ≠ 355
X − µ0 ~ N(0,1) 选检验统计量 U = σ n 它能衡量差异 | X − µ0 | 大小且分布已知 .
已知， 由于σ已知，
可以在N(0,1)表 对给定的显著性水平α，可以在 表 中查到分位点的值 u 2 ，使 α
P{| U |> uα 2} = α
下面看一个单侧检验的例子. 下面看一个单侧检验的例子
某织物强力指标X的均值 公斤. 例3 某织物强力指标 的均值 µ0 =21公斤 改 公斤 进工艺后生产一批织物，今从中取30件 进工艺后生产一批织物，今从中取 件，测 公斤. 得 X =21.55公斤 假设强力指标服从正态分 公斤 公斤， 布 N(µ, σ 2 ), 且已知 σ =1.2公斤， 问在显著 公斤 性水平 α=0.01下，新生产织物比过去的织物 下 强力是否有提高? 强力是否有提高 提出假设: 解:提出假设: H0 : µ ≤ 21 ⇔ H1 : µ > 21
假设检验的两类错误 实际情况 决定 H0为真 H0不真 拒绝H 拒绝 0 第一类错误 接受H0 接受 正确 正确 第二类错误
犯两类错误的概率: 犯两类错误的概率 P{拒绝 0|H0为真 α , 拒绝H 为真}= 拒绝 P{接受 0|H0不真 β. 接受H 不真}= 接受 为犯第一类错误的概率. 显著性水平α为犯第一类错误的概率
第三步： 第三步： 对给定的显著性水平α =0.01，查表确 ， 定临界值 tα 2 (5) = t0.005(5) = 4.0322,使
P{| t |> tα 2 (5)} = α
|即“ t |> tα 2 (5)”是一个小概率事件 .
得否定域 W: |t |>4.0322
小概率事件在一次 试验中基本上不会 发生 .
总体分布未知时的 假设检验问题
我们先通过一个例子说明 的思想和概念. （一）假设检验 的思想和概念
罐装可乐的容量按标准应在350 例1 罐装可乐的容量按标准应在 毫升和360毫升之间 一批可乐出厂前 毫升之间. 毫升和 毫升之间 应进行抽样检查，现抽查了n罐，测得 应进行抽样检查，现抽查了 罐 容量为X 容量为 1,X2,…,Xn，问这一批可乐的容 量是否合格？ 量是否合格？ 分析： 分析：可以认为可乐的容量服从正态分 布 2
P{| U |> uα 2} = α
是一个小概率事件. 是一个小概率事件 也就是说,“ 也就是说 | U |> u 2 ”是一个小概率事件 α 故我们可以取拒绝域为： 故我们可以取拒绝域为： W： | U |> u 2 ： α 如果由样本值算得该统计量的实测值落入 区域W 称为拒绝域） 则拒绝H 否则， 拒绝域 区域 （称为拒绝域），则拒绝 0 ；否则， 不能拒绝H 不能拒绝 0 .
假设检验会不会犯错误呢？ 假设检验会不会犯错误呢？ （二）犯两类错误的概率
如果H 成立， 如果 0成立，但统计量的实测值落 否定H 入否定域，从而作出否定 的结论， 入否定域，从而作出否定 0的结论，那 就犯了“以真为假” 就犯了“以真为假”的错误 . 如果H 不成立， 如果 0不成立，但统计量的 实测值未落入否定域， 实测值未落入否定域，从而没有 作出否定H 的结论， 作出否定 0的结论，即接受了错 误的H 那就犯了“以假为真” 误的 0，那就犯了“以假为真” 的错误 . 请看下表
这里所依据的逻辑是 这里所依据的逻辑是： 所依据的逻辑 如果H 是对的， 如果 0 是对的，那么衡量差异大小的 拒绝域) 某个统计量落入区域 W(拒绝域 是个小概 拒绝域 率事件. 如果该统计量的实测值落入W， 率事件 如果该统计量的实测值落入 ， 也就是说， 也就是说， H0 成立下的小概率事件发生 了，那么就认为H0不可信而否定它. 否则 那么就认为 不可信而否定它 我们就不能否定H0 （只好接受它）. 我们就不能否定 只好接受它）