第5课时全等三角形判定角边角,角角边练习
《三角形全等的判定--角边角-角角边》说课稿-
（1）三边（SSS）
满足全等三角 形的六组条件 中的三组
（2）两边一角 两边、一夹角（SAS）
两边、一对角（不一定） （3）两角一边
（4）三角
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
（二）合作交流、解读探究
1.实验验证（探究5），探索新知（角边角）
（1）分组实验，前后桌4位同学为一组，共同完 成实验。
三、重点与难点
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点
【重点】 用角边角、角角边来确定两个三角形全
等, 以及用全等证明角的相等、线段相等。
【难点】 用角边角、角角边来确定两个三角形全等； 证明三角形全等时的规范的书写格式。
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
四、教学流程
(一)创设情境, 孕育新知
3.拓展提高
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
如图所示，在△ABC和△DEF 中，已有条件 AB=DE，还需要添加两个条件才能使 △ABC≌△DEF，不能添加的一组是（）
A. ∠B=∠E BC=EF B. BC=EF AC=DF C. ∠A=∠D ∠B=∠E D. ∠A=∠D BC=EF
一、教材分析 二、教学目标
二、教学目标
【知识技能】 1.让学生在自主探究的过程中得出A.S.A推 导出A.A.S定, 掌握
【过程与方法】 经历探索三角形全等条件的过程, 体会如何 探索、研究问题, 培养学生合作精神, 让学生初 步体会数学中的分类思想。
【情感态度与价值观】 通过画图、比较、验证, 培养学生注重观察、 善于思考、不断总结的良好思维习惯。
1.生活情境设疑，激发学生兴趣
小明在上美术课时，不慎将一块三角形玻璃调色板打破 成如图所示的三块，小明小心翼翼地将三块碎玻璃板捡起， 准备包好拿去玻璃店配制，老师看到后对小明说，如果只你 拿一块去，你看行吗？ 你会拿哪一块呢？
全等三角形题型分类及练习
全等三角形知识要点② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3． 请填空1） 全等形的概念两个______________的图形叫全等形。
2） 全等形的性质全等图形的________和__________都相同。
3) 全等三角形的判定____________________________________________________ 4)角平分线的性质角平分线的性质：___________________________ 5)角平分线的判定角平分线的判定的判定定理：_________________________________________ 6)三角形角平分线的性质三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
题型汇总一、填空题（3分×10=30分） 题型：边角边证明三角形全等 1.如图（1），△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，则__________≌__________．2.如图4，已知AB=BE ，BC=BD ，∠1=∠2，那么图中 ≌ ，AC= ，∠ABC= .3、如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：CB=ED4、已知：如图，AB ＝CD ，AB ∥DC． 求证：，AD∥BC ， AD ＝BCAB CDE5、如图，D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC 。
6、如图，已知AB=AD ，且AC 平分∠BAD ，求证：BC=DC题型：角角边证明三角形全等 1．如图（3），若∠1=∠2，∠C =∠D ，则△ADB ≌__________，理由______________________．2．如图（5），AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交BD 于P ，则PD __________PE （填“<”或“>”或“=”）．AB C D题型：角边角证明三角形全等1．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________ 三角形．2．（5分）已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：CF=DE．题型：边边边证明三角形全等1．如图（6），△ABC中，AB=AC，现利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线AD应是____________________________．题型：角平分线的应用1、如图，在△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。
三角形全等的判定分类练习
1. 三角形全等的判定(角边角)【教材研学】一、三角形全等的条件――“角边角”（ A ．S ．A ．）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“A ．S ．A ．”）．由此我们可以看出，对于两个三角形，只要有两个对应角及其所夹的边相等，则这两个三角形全等．二、探究活动问题：有两角及其中一角的对边对应相等，这样两个三角形是否全等呢?分析：如图，假设∠A=∠A 1，∠B=∠B l ，BC=B 1C 1，能否判断△ABC ≌△A 1B 1C 1呢?显然，由三角形的内角和定理我们可以知道如果∠A=∠A 1，∠B=∠B 1， 则必有∠C=∠C 1．这样，就可得到△ABC 和△A 1B 1C 1中有两角和一夹边对应相等，由此可判定△ABC ≌△A 1B 1C 1．结论：事实上，知道两角及其中一角的对边对应相等也可以判断两个三角形全等，这一结论我们简称为“角角边(A ．A ．S ．)”． 【点石成金】例题 如图，已知：AB=AC ，D 、E 两点分别在AB ，AC 上，且AD=AE ， 求证：△BDF ≌△CEF ．分析：结论要证的两个三角形△BDF 与△CEF 中，有 一组对角相等，由已知条件可推得，BD=CE ，只要证明出 它们的另一对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论了，为了证 明∠C=∠B ，可以设法证明△ACD 与△ABE 全等，而这由 已知不难证得．证明： 在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠==A A AE AD AC AB∴△ABE ≌△ACD 。
∴∠C=∠B ∵AB=AC ，AD=AE ，∴ BD=CE ． 在△BDF 和△CEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=C F E D F B CB CE BD ∴△BDF ≌△CEF ．名师点金：本题的解题关键是证明△ABE ≌△ACD ，得到∠C=∠B ，注意书写格式要规范： 【基础练习】1．任画一个Rt △ABC ，使∠C=90°．再画一个Rt △A ’B ’C ’，使B ’C ’＝BC ，A ’B ’＝AB ．把画好的Rt △A ’B ’C ’剪下，放到Rt △ABC 上．你会得出什么结论?2．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB ．求证：AB=DC.3．如图所示，∠1＝∠2，∠3=∠4，请你说明△ABC ≌△ABD 的理由。
全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第二课时——全等三角形的判定知识点一：全等三角形的判定：判定方法内容数学语言 图形表示 注意点边边边（SSS ）三边分别相等的两个三角形全等。
可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边（SAS ）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边（SAS ）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。
在写条件的时候角必须写在中间。
角边角（ASA ）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。
可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角（ASA ）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。
并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。
方法总结：【类型一：补充证全等条件】1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DBC．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）第2题第3题A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（）第4题第5题第7题A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（）A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠CC．BD＝DB D．AB＝CD【类型二：证明三角形全等】9．请将以下推导过程补充完整．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF ≌△ECF 证明：∵AD ∥BE ∴∠A ＝∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC （ ）∴CD ＝CE （ ） ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF （SAS ）10．如图，点C 在BD 上，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，AB ＝CD ．求证：△ABC ≌△CDE ．11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．求证：△ABO≌△CDO．14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE ＝BF．19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【类型三：全等三角形的判定与性质】20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠F AC ＝40°，则∠BFE＝（）第20题第21题A．35°B．40°C．45°D．50°21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．3022．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）第22题第23题A．3B．5C．6D．723．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．424．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．【类型四：全等三角形的应用】27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）第27题第28题A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．第29题第30题30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．21（b ﹣a ）一、选择题（10题）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（ ）第1题 第2题 第3题A ．105°B ．120°C ．115°D ．135°2．如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等．以下给出的条件适合的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠BAD C ．AC ＝AD D ．AC ＝BC3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．A ．①B ．②C ．③D ．①和②4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（ ）A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝45．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）第7题第8题A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．89．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）第9题第10题A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（6题）11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．第12题第14题13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
三角形全等的判定：角边角、角角边
——洪水未到先筑堤,豺狼未来先磨刀. 一只野狼卧在草上勤奋地磨牙,狐狸看到了,就对它说:天气这么好,大 家在休息娱乐,你也加入我们队伍中吧!野狼没有说话,继续磨牙,把它的牙 齿磨得又尖又利.狐狸奇怪地问道:森林这么静,猎人和猎狗已经回家了,老 虎也不在近处徘徊,又没有任何危险,你何必那么用劲磨牙呢?野狼停下来回 答说:我磨牙并不是为了娱乐,你想想,如果有 一天我被猎人或老虎追逐,到 那时,我想磨牙也来不及了.而平时我就把牙磨好,到那时就可以保护自己了.
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识回顾:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能吗?
B A
AB=DE可以吗？
×
C
F
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，那么应补充一个条 件 ------------------------- ，才 能使△ABC≌△DEF （写出 一个即可）。 ∠B=∠E AB ∥DE （ASA）
E
F
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
两角及一角的对边对应相等的 你能从上题中得到什么结论？ 两个三角形全等（AAS）。
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
利用 角边角(ASA) 与 角角边(AAS)判定三角形全等专题练习
已知：，．
求证： ．
证明：
22.如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有 如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF。
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果 ， ，那么 ”）；
C.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC．∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且
BD 交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：
①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；
⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（ ）
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC
6.如图，已知 中， ， 是 高 和 的交点， ，则线段 的长度为（）.
A． B．4C． D．
7.如图，点B、C、E在同 一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFC
12.如图，AD=BC，AC=BD，则图中全等三角形有对.
13.如图，已知AB∥CF, E为DF的中点.若AB=9 cm,CF=5 cm,则BD的长度
为cm.
14. 如图，∠A =∠D，OA=OD,∠DOC=50°，则∠DBC=度.
15．如图， ，请你添加一个条件：，使 （只添一个即可）．
16.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，C E，垂足分别为点D,E.若BD=2，CE=3，则AE=，AD=.
人教部编版初中数学中考考点专题复习利用“角边角”“角角边”判定三角形全等练习及答案
利用“角边角”“角角边”判定三角形全等1.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A'C',④∠A=∠A',⑤∠B=∠B',⑥∠C=∠C',则下列条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是().A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥D.①②④2.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是().A.AB=ACB.BD=CDC.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA3.如图,小聪房子上的一块玻璃碎成了三块,他手头没有测量的工具,于是他想带着玻璃去配一块.同学们想一想,小聪需要带着第块玻璃.4.如图,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为点E,F.求证:BF=CE.5.小刚同学在一次智能大赛中,分别画了三个三角形,不料都被墨迹污染了(如图),他想分别画三个与原来一样的三角形,你认为是否可以,说明你的理由.6.如图,已知△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.求证:AD=A'D',并用一句话说明你的结论.7.如图,在△ABC与△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,E为BC的中点,EF⊥AB于点F,且AB=DE.(1)求证:△BCD是等腰直角三角形;(2)若BD=8 cm,求AC的长.★8.如图,∠BCA=∠α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=∠α,请提出对EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想,并证明.★9.如图,A,B,C,D,E,F,M,N是某公园里的八个景点,D,E,B三个景点间的距离相等,A,B,C三个景点间的距离相等.其中D,B,C三个景点在同一直线上,E,F,N,C在同一直线上,D,M,F,A在同一直线上,游客甲从E点出发,沿E→F→N→C→A→B→M游览,游客乙从D点出发,沿D→M→F→A→C→B→N游览.若两人的速度相同,且在各景点游览的时间相同,甲、乙两人谁先游览完?说明理由.参考答案能力提升1.D用①②④时,属于“边边角”,而“边边角”是不能用来判定两个三角形全等的.2.B3.③4.证明:∵CE⊥AF,FB⊥AF,∴∠DEC=∠DFB=90°.∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD.又∵∠EDC=∠FDB(对顶角相等),∴△BFD≌△CED(AAS),∴BF=CE.5.解:在三角形(1)中保留了完整的两角与它们的夹边,可以根据“ASA”画出与(1)全等的三角形;在三角形(3)中保留了完整的两边及它们的夹角,可以根据“SAS”画出与(3)全等的三角形;在三角形(2)中只保留了一个角,因此不能画出与(2)全等的三角形.6.证明:∵△ABC≌△A'B'C',∴AB=A'B',∠B=∠B'.∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的高,∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.在△ABD和△A'B'D'中,∴△ABD≌△A'B'D'(AAS).∴AD=A'D'.结论:全等三角形对应边上的高相等.7.(1)证明:∵DE⊥AB,∠CBD=90°,∴∠EDB+∠DBF=∠ABC+∠DBF=90°.∴∠EDB=∠ABC.在△ACB和△EBD中,°∴△ACB≌△EBD(AAS).∴CB=BD,即△BCD是等腰直角三角形.(2)解:由△ACB≌△EBD,有AC=BE,而E为BC的中点,则EB=BC=BD=4(cm).故AC=4 cm.8.解:猜想:EF=BE+AF.证明:∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°,∠BCE+∠FCA+∠BCA=180°,∠BCA=∠α=∠BEC, ∴∠CBE=∠FCA.∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,∴△BEC≌△CFA(AAS),∴BE=CF,EC=FA,∴EF=EC+CF=BE+FA.创新应用9.解:甲与乙同时游览完.理由如下:由题意,得△EBD和△ABC都为等边三角形,所以DB=EB,BC=BA,∠CBN=∠DBM=60°,∠EBC=∠DBA=120°.在△EBC和△DBA中,所以△EBC≌△DBA,所以EC=DA,∠CEB=∠ADB.在△DBM和△EBN中,所以△DBM≌△EBN,所以BM=BN.所以EC+AC+AB+BM=DA+AC+BC+BN.所以两人所走的路程相等,故同时游览完.。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
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.
2．如图，点 C，F 在 BE上， 1 2, BC EF , 请补充一个条件， 使△ ABC≌ DFE,补充的条件是.AD
1
2
B
CF
E
3．在△ ABC和△ A B C 中，下列条件能判断△ ABC和△ A B C 全等的个数有（
）
① A A B B ， BC B C ② A A ， B B ， AC A C
2
A
E
D
1 2
B
F
C
8．如图， CD⊥ AB， BE⊥ AC，垂足分别为 D、 E，BE 交 CD于 F，且 AD=DF，求证： AC= BF。
C
EF
A
D
B
9. 如图， AB，CD相交于点 O，且 AO=BO，试添加一个条件，使△ AOC≌△ BOD，并说明添加的条件是正确的。 （不少于两种方法）
③ A A B B ， AC B C ④ A A ， B B ， AB A C
A ．1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
4．如图，已知 MB=N，D MBA
NDC ，下列条件不能判定是△ ABM≌△ CDN的是（
）
A． M N
M
N
B. AB=CD
C． AM=CN D. AM∥ CN
A
C
B
D
5．如图 2 所示， ∠E=∠ F=90°，∠ B=∠ C， AE=AF，给出下列结论： ①∠ 1=∠ 2 ② BE=CF ③△ ACN≌△ ABM ④ CD=DN
C
B
A 10．如图，已知： BE=CD，∠ B=∠ C，求证：∠ 1=∠ 2。
O D
A
12
E
D
O
B
C
11. 如图，在 Rt △ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90o，多点 A 的任一直线 AN， BD⊥AN于 D，
CE⊥ AN于 E，你能说说 DE=BD-CE的理由吗？
3
如图，∠ E=∠ F=90 °，∠ 1=∠ 2 ， AE=AF ，证明：△ AEB ≌△ AFC.
E
B
A
D
E
B
例 3．如图，已知： C D . BAC ABD ，求证： OC=OD. D
C C
O
A
B
例 4．如图已知： AB=CD，AD=BC，O是 BD中点， 过 O点的直线分别交 DA和 BC的延长线于 E，F. 求证： AE=CF.
F D
C
A E
例 5．如图，已知 1 2 3 ， AB=AD.求证： BC=DE.
其中正确的结论是 _________ _________ 。 ( 注：将你认为正确的结论填上 )
A
D
O
图2
图3
6．如图 3 所示，在△ ABC和△ DCB中， AB=DC，要使△ ABO≌BDCO，请你补充条件 _________C_______( 只填写
一个你认为合适的条件 ).
7. 如图，已知∠ A=∠ C， AF=CE， DE∥ BF，求证：△ ABF≌△ CDE.
全等三角形（三） AAS和 ASA
【知识要点 】
1．角边角定理（ ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 .
2 ．角角边定理（ AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 .
【典型例题 】
例 1．如图， AB∥ CD， AE=CF，求证： AB=CD
D
F
C
O
A
例 2．如图，已知： AD=AE， ACD ABE ，求证： BD=CE.
8 、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。 9 、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。 10 、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
4
5
B
O B
A
2
E
1 O
3
D
C
1
例 6．如图，已知四边形 ABCD中， AB=DC，AD=BC，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC上， AF=CE， EF 的对角线 BD
交于 O，请问 O点有何特征？
A
F
D
O
B
E
C
【经典练习】
1. △ ABC和△ A B C 中， A A' , BC B C ， C C 则△ ABC与△ A B C