人教版八年级数学上册课堂练习 第十三章 13.3 等腰三角 第三课时

课时训练
1.如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=AC，则∠A的度数为（）
A.90°
B.80°
C.60°
D.30°
2.如图，一张等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）
A.180°
B.220°
C.240°
D.300°
3.下列条件能够判断一个三角形是等边三角形的有（）
①有两个角是60°的三角形；
②三条边相等的三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形；
④三条高相等的三角形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4
个
4.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=5，BD=3，则△ADE的周长为（）
A.2
B.6
C.9
D.15
5.如图，六边形ABCDEF中，每一个内角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28.则这个六边形的周长为（）
A.125
B.126
C.116
D.108
6.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC=60°，∠ECD=40°，则∠ABE=（）
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
7.如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D，若△BCD是等边三角形，∠A=20°，则∠1=.
8.如图，AD是等边△ABC的中线，E是AC上一点，且AD=AE，则∠EDC=.
9.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距海里.
10.如图，一束平行太阳光照射到等边三角形上，若∠α=28°，则∠β=.
第10题图
11.如图，在△ABC中，AB=3，BC=5，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D 恰好落在BC边上时，CD的长为.
第11题图
12.如图，△ABC是等边三角形，BD为AC边上的中线，点E 在BC的延长线上，连接DE，若CE=2，∠E=30°，则线段BC 的长为.
13.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E 在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC 与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；
③FG=CG；④∠BOC=∠EOC;⑤FG∥BE.其中结论正确的是
(只填序号).
14.如图，已知等边△ABC，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，若AE=CF.
(1)求证：AF=BE；
(2)求∠APB的度数.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥CD，交BC的延长线于点E.求证：△ACE为等边三角形.
16.如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形.
(1)求证：AB ∥CQ.
(2)AQ与CQ能否互相垂直?若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若不能互相垂直，请说明理由.
17.如图，已知AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E.
(1)求证：AD=AE；
(2)若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由.
18.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.以OC为一边作等边△OCD，连接AC，AD.
(1)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(2)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
19.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
答案：
1.C
2.C
3.D
4.B
5.C
6.C
7.40°
8.15°
9.80
10.32°
11.2
12.4
13.①②③④⑤
14.
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=∠BAC=60°，
AB=AC.
又∵AE=CF，
∴△AFC≌△BEA(SAS)，
∴AF=BE.
(2)解：由(1)知△AFC≌△BEA，
∴∠ABE=∠CAF.
∵∠BPF=∠ABP+∠BAF，
∴∠BPF=∠CAF+∠BAF=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°-∠BPF=120°.
15.
证明：∵∠ACB=120°，
∴∠ACE=60°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=60°.
∵AE∥CD，
∴∠CAE=∠DCA=60°，∠E=∠BCD=60°. ∴∠E=∠ACE=∠CAE=60°.
∴△ACE为等边三角形.
16.
(1)证明：∵△ABC，△APQ为等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=∠ACB=∠B=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴∠ACQ=∠ABP=60°，∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=120°，∴∠B+∠BCQ=180°，∴AB∥CQ.
(2)解：AQ与CQ能互相垂直，点P在BC的中点处. 证明如下：
∵△ABC为等边三角形，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，∴∠APB=90°.
由(1)，得△ABP≌△ACQ，∴∠AQC=∠APB=90°，
∴AQ⊥CQ.
17.
(1)证明：如答图，∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB.
∵AB 平分∠DAE ， ∴∠1=∠2.
在△ADB 和△AEB 中， {∠ADB ＝∠E ，
∠1＝∠2，
AB ＝AB ，
∴△ADB ≌△AEB(AAS)，∴AD=AE.
(2)解：△ABC 是等边三角形.理由： ∵BE ∥AC ， ∴∠EAC=90°.
∵AB=AC ，点D 是BC 的中点， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC 是等边三角形. 18.
解：(1)△AOD 是直角三角形.理由： ∵△OCD 是等边三角形，∴OC=CD. ∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC.
∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD.
在△BOC 与△ADC 中， {OC ＝CD ，
∠BCO ＝∠ACD ，BC ＝AC ，
∴△BOC ≌△ADC ，∴∠BOC=∠ADC. 而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°， ∴∠ADO=150°-60°=90°， ∴△AOD 是直角三角形.
(2)设∠CBO=∠CAD=a ，∠ABO=b ，∠BAO=c ，∠CAO=d ， 则a+b=60°，b+c=180°-110°=70°，c+d=60°， ∴b-d=10°，∴(60°-a)-d=10°， ∴a+d=50°，即∠DAO=50°. ①要使AO=AD ，需∠AOD=∠ADO ， ∴190°-α=α-60°，∴α=125°； ②要使OA=OD ，需∠OAD=∠ADO ， ∴α-60°=50°，∴α=110°； ③要使OD=AD ，需∠OAD=∠AOD ，
∴190°-α=50°，∴α=140°.
综上，当α为110°，125°，140°时，△AOD是等腰三角形.
19.
证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°.
∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上.
∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°，
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC.
(2)如图，连接MC.
∵DC=DM ，且∠MDC=60°，
∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ， ∠DMC=∠MDC=60°.
∵∠ADC+∠MDC=180°，
∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA ，∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC 与△EMC 中， {∠ADC ＝∠EMC ，
∠DAC ＝∠MEC ，AC ＝EC ，
∴△ADC ≌△EMC(AAS)，∴ME=AD=BD.。