高数二复习题

试卷一一、（本题满分20分，每小题4分）填空题.1．=+⎰-dx x xe x 114120．2．函数x xe y =，则为='y xx xe e +． 3．级数∑∞=031n n的和是23． 4．设{}2,1,3--=a，{}1,2,1-=b ，则=+b a 2{}4,3,5-．5．极限=→x xy y x )sin(lim)1,0(),(1．二、（本题满分20分，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的括号内）.[ B ] 1．空间两点），，（013-A 与），，（111-B 之间的距离为)(A 3； )(B 3； )(C 5 ； )(D 5.[ A ] 2．设y xe z =, 则=dz)(A dy xe dx e y y y +=． )(B )(xdy ydx xye y xy +=． )(C )(xdy ydx e y xy +=． )(D )(122xdy ydx e y x y xy +=-． [ C ] 3．设有级数∑∞=1n n a 且0lim ≠∞→n n a ，则级数∑∞=1n n a)(A 必绝对收敛． )(B 必条件收敛． )(C 必发散． )(D 可能收敛也可能发散．[ A ] 4．函数zy x u 22arccos3+=的定义域为)(A {}0,),(222≠≤+=z z y x y x D ． )(B {}0,),(222≠≥+=z z y x y x D .)(C {}0,),(222≠<+=z z y x y x D ． )(D {}0,),(222≠>+=z z y xy x D ．[ B ]5．下列级数收敛的是)(A ∑∞=+511n n ． )(B ∑∞=121n n．)(C ∑∞=12n n ． )(D ∑∞=11n n．三、(本题满分10分) 设 222sin y y x x z +-=，求x z ∂∂，yz∂∂．【解】 y x x z sin 2-=∂∂∴，y x x yz 4cos +-=∂∂∴ ………………………………………………………………………………………………………四、(本题满分10分) 求曲线32,,t z t y t x ===对应于1=t 处的切线方程.【解】 由1=t 可推出曲线上一个点)1,1,1(M ，且1=t 处的切向量为}3,2,1{}3,2,1{121====t t t t T.所以1=t 处的切线方程为312111-=-=-z y x ………………………………………………………………………………………………………五、(本题满分10分) 已知一动点与两定点2,1,2)（和）（5,1,3-等距离，求这动点的轨迹方程．【解】 设),,(z y x M ，2,1,2)（A ，）（5,1,3-B ，||||BM AM = 222222)5()1()3()2()1()2(-+++-=-+-+-⇒z y x z y x .………………………………………………………………………………………………………六、(本题满分10分) 设uv y =，而xu e =，x v sin =，求xy d d ． 【解】 x e x e y xx sin sin -=xyd d x x xe x e x x x x cos e sin e cos sin --+=. ………………………………………………………………………………………………………七、(本题满分10分) 求幂级数∑∞=+01n nn x 的收敛半径及收敛域．【解】 设11+=n u n , 则有 1121limlim!=+⋅+=∞→+∞→n n u u n nn n ,级数的收敛半径11==ρR ．显然当1-=x 时，级数∑∞=+-11)1(n nn 收敛；当1=x 时，级数∑∞=+111n n 发散，故幂级数∑∞=+01n nn x 的收敛域为)1,1[-． ………………………………………………………………………………………………………八、(本题满分10分) 计算dxdy y x D⎰⎰+)23(，其中D 为x 轴，y 轴及直线2=+y x 所围成的封闭区域．【解】 积分区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:x x y D 所以dxdy y x D⎰⎰+)23(y y x x xd )23(d 2020⎰⎰-+=.320d )224(22=-+=⎰x x x ………………………………………………………………………………………………………试卷二一、（本题满分20分，每小题4分）填空题.1．平面0144522=-++z y x 到点()0,0,0的距离=d 2． 2．设函数x yz arctan=，则=∂∂xz )1()(1122x y xy -⋅⋅+． 3．设221yx z +=，则=dz dy y x y dx y x x 222222)(2)(2+--+-． 4．设向量k i b k j i a λ+=-+=2,4且b a ⊥，则=λ21．5．直线⎩⎨⎧=+-+=-+-022012z y x z y x 在xOy 平面上的投影曲线的方程为⎩⎨⎧==++0013z y x ．二、（本题满分20分，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的括号内）.[ D ] 1．.点)2,1,1(-到平面012=-+-z y x 的距离为)(A 0． )(B 1． )(C 46． )(D 362． [ A ] 2．过点)3,2,1(且与平面0132=-+-z y x 垂直的直线方程为)(A 331221-=--=-z y x ． )(B 0932=-+-z y x ． )(C 331221-=-=-z y x ． )(D 01332=-++z y x ． [ B ] 3．函数)1ln()(x x f -=的麦克劳林级数为)(A ]11(11)(10，-∈+=+∞=∑x xn x f n n ． )(B )11[)(1，-∈-=∑∞=x nx x f n n．)(C ]1 1(1)1()(1，-∈+-=+∞=∑x xn x f n n n ． )(D )11[)(1，-∈=∑∞=x nx x f n n．[ C ] 4．设D 为平面区域222a y x ≤+，则=+⎰⎰Ddxdy xy )5()(A 2a π． )(B 23a π． )(C 25a π． )(D 0．[ ]5．已知级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均发散，则一定有)(A )(1n n n b a +∑∞=发散． )(B )(1n n n b a +∑∞=发散．)(C )(212n n nba+∑∞=发散． )(D n n n b a ∑∞=1发散．三、(本题满分10分) 设 02222=--+x z y x ，求x z ∂∂，yz∂∂． 【解】 令 x z y x F --+=2222，则,12-=x F x ,4y F y =,2z F z -=z x z x x z 212212-=---=∂∂∴，zyz y y z 224=--=∂∂∴ ………………………………………………………………………………………………………四、(本题满分10分) 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+.032,15416222z x z y x 关于xOy 平面的投影柱面方程．【解】 将23+=x z 带入第一式，得 120)3(416222=+-+x y x 即为曲线关于xOy 平面的投影柱面方程………………………………………………………………………………………………………五、(本题满分10分) 求函数x y y x y x f 22e )2(),(++=的极值点及极值．【解】 令⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++= 0)22(e 0)4221(e 222y f y y x f xyx x ， 解得驻点为)1 , 21(-．令)21(e 422y y x f A x xx +++==，)1(e 42+==y f B x xy ，x yy f C 2e 2==．因为0e 4e 200e 22)1 , 21(>==-C B B A 且0e 2)1 , 21(>=-A ,所以),(y x f 在点)1 , 21(-处取得极小值.2e )1 , 21(-=-f………………………………………………………………………………………………………六、(本题满分10分) 设函数)sin(22xy y x z +=，求dz ．【解】dy x xy y xy y dx y xy y x dz ])cos()sin(2[])cos(2[22⋅++⋅+=………………………………………………………………………………………………………七、(本题满分10分) 求幂级数∑∞1=21+2n nn x n 的收敛半径及收敛域．【解】 设122+=n u nn , 则有2211)1(2lim lim 221!=+⋅++=+∞→+∞→n n n nn n n n u u , 级数的收敛半径211==ρR ． 显然当21-=x 时，级数∑∞=+-121)1(n nn 收敛；当21=x 时，级数∑∞=+1211n n 收敛，故幂级数∑∞1=21+2n nn x n 的收敛域为]21,21[-． ………………………………………………………………………………………………………八、(本题满分10分)⎰⎰-+Dx y x σd )(22，其中D 为x y x y 2,==和2=y 所围 成的区域．【解】 积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤,20,2:y y x y D 所以⎰⎰-+Dx y x σd )(22x x y x y yy d )(d 2022⎰⎰-+=.613d )832419(223=-=⎰y y y ………………………………………………………………………………………………………试卷三一、（本题满分20分，每小题4分）填空题.1．微分方程xy dxdy =的通解为221x Ce y =． 2. 设x ez ysin 2=，则=dz xdy e xdx e y y sin 2cos 22+．3．极限=→xy xy y x )sin(lim)0,0(),(1．4．设222:R y x D ≤+，则=⎰⎰Ddxdy 16216Rπ．5．若级数∑∞=1n na收敛，则=∞→n n a lim 0．二、（本题满分20分，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的括号内）.【 A 】1．=∂∂+)e (yx x)(A y x +e ． )(B x e ． )(C )d d (e y x y x ++． )(D )d d 1(e xy y x ++． 【 A 】2．b a⊥的充分必要条件是)(A 0=⋅b a ． )(B 0 =⨯b a ． )(C 0=a． )(D 0=b ．【 A 】3．设区域D 为122≤+y x ，⎰⎰+=Dd y x I σ221, ⎰⎰+=Dd y x I σ)(222，⎰⎰+=Dd y x I σ2223)(，则（A ）321I I I >>. （B ）312I I I >>. （C ）213I I I >>. （D ）123I I I >>.【 A 】4．若1=⎰⎰Ddxdy ，则积分区域D 可以是（A ）由21=x ，21=y 所围成的区域． （B ）由1=x ，2=x 及2=y ，4=y 所围成的区域． （C ）由x 轴,y 轴及02=-+y x 所围成的区域． （D ）由1=+y x ，1=-y x 所围成的区域．【 A 】5．⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x 是函数),(y x f 在点),(00y x M 处取得极值的)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 无关条件三、(本题满分10分) 设xyz e y x u )(+=，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,,． 【解】xu ∂∂=yz e y x e xyzxyz ⋅++)( yu ∂∂=xz e y x e xyzxyz ⋅++)(zu∂∂=xy e y x xyz ⋅+)( ………………………………………………………………………………………………………四、(本题满分10分) 平面∏过点)0,2,1(0M 且与直线⎩⎨⎧=+-+=++-02320132z y x z y x L ：垂直，求∏的方程．【解】3213--kj ={7,7,7}，∏的方程为0)0()2()1(=-+-+-z y x………………………………………………………………………………………………………五、(本题满分10分) 设函数522+++=cxy bxy y ax z 在点)6,1,1(取得极值．（1）求常数c b a ,,的值；（2）判断该极值是极大值还是极小值． 六、(本题满分10分) 求函数y x z sin =的全微分dz ． 【解】ydy x ydx dz cos sin +=………………………………………………………………………………………………………七、(本题满分10分) 求二重积分σd xy D⎰⎰，其中},|),({22y x x y y x D ≥≥=．【解】 积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,:2x x y x D所以σd xy D⎰⎰y xy x xxd d 102⎰⎰=.121d )2121(1052=-=⎰x x x ………………………………………………………………………………………………………八、(本题满分10分) 设有级数∑∞=-11)1(n nn，（1）判断该级数的敛散性；（2）如果收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛． 【解】 （1）nu n 1||=，11||1+=+n u n ，||||1+>n n u u ，且0||lim =∞→n n u所以级数∑∞=-11)1(n nn收敛。