山西省临汾市2021届高三数学下学期模拟考试试题(3)理

山西省临汾市2021届高三数学下学期模拟考试试题（3）理共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤,{|'()0}B x f x =≤，则A B = （ ） A ．[1,0]- B ．[1,2]- C ．[0,1] D ．(,1][2,)-∞+∞2．设i 是虚数单位，若复数1i z =+，则22||z z z+= （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是 （ ） A ．(0,1)x ∀∈,ln x e x -≤ B ．0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -> C ．0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -< D ．0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -≤4．已知||3=a ,||2=b ，若()⊥-a a b ，则向量a +b 在向量b 方向的投影为 （ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-5．在ABC △中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A ．1112B ．6C ．112D ．2237．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为 （ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．函数cos 22y x x =-([0,])2x π∈的单调递增区间是 （ ）A ．[0,]6πB ．[0,]3πC ．[,]62ππD ．[,]32ππ9．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≤≥所表示的平面区域内存在点00(,)x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞- C ．[4,)+∞ D ．(,4]-∞-10．已知函数()12x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且1m n -≤，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[2,4]B ．7[2,]3C ．7[,3]3D ．[2,3]11．已知双曲线2222:1x y E a b-=(a ＞0,b ＞0)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）AB．12 C ．32D1 12．已知函数1()xf x xe -=，若对于任意的(]00,x e ∈，函数20()ln ()1g x x x ax f x =-+-+在(]0,e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,]eB ．2(,]e e e -C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．15．过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线,MA MB ，切点为,A B ，若[1,4]k ∈，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 ． 16．三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC △斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为323π；③若3,4,3AC BC SC ===，S 在平面ABC 上的射影是ABC △内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3,4,3AC BC SA ===，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒．其中正确命题的序号是 ．(把你认为正确命题的序号都填上)） 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)2n n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数(本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数(本)不低于90本，则称该学生为“书虫”． （1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5% 男生 女生 总计 书虫 非书虫 总计附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P k k ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k1.322.072.703.815.023 2 64 4（2X 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，己知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且60DAB ∠=︒，点F 是BC 的中点． （1）求证：BD EF ⊥；（2）求二面角E DF B --的余弦值．20．（12分）已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点3(1,)2P 在椭圆上，且过点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8． （1）求椭圆E 的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线22y px =(0)p >的焦点为F 的弦AB 满足2||||||||AF BF AF BF p+=⋅.”那么对于椭圆E ，问否存在实数λ，使得2222||||||||AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数2()1x f x e -=+.（1）求函数(2)f x 在1x =处的切线方程；（2）若不等式()()f x y f x y mx ++-≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB ．23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式(2)(4)2f x f x -->的解集；（2）当0a >时，不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学答案与解析 1．【答案】C 【解析】2{|20}{|02}A x x x x x =-=≤≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤，{|01}A B x x ∴=≤≤．故选C ．2．【答案】A 【解析】复数1i z =+,∴||z =22(1i)2i z =+=， 则22||z z z+=22(1i)2i 2i 1i 2i 1i 1i (1i)(1i)-+=+=-+=+++-，故选A ．3．【答案】D 【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈,00ln x e x -≤．故选D ．4．【答案】B 【解析】()⊥-a a b ,2()30∴⋅-=-⋅-⋅a a b a a b =a b =,3∴⋅=a b ，∴向量a +b 在向量b 方向的投影为2()347||cos ,||||22⋅⋅+<>====a +b b a b +b a +b a +b b b b ．故选B ． 5．【答案】D 【解析】由正弦定理及大边对大角可得：sin sin 22a bA B a b A B R R>⇔>⇔>⇔>，而函数tan y x =在(0,)π上不是单调函数，所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件，故选D.6．【答案】D 【解析】执行程序框图，可得S =0，n =2，满足条件，12S =，n ＝4，满足条件，113244S =+=，n =6，满足条件，1111124612S =++=，n ＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为11228123⨯=，故选D ．7．【答案】C 【解析】由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ，圆锥的高6h ，圆锥母线l ，截去的底面弧的圆心角为120︒，底面剩余部分的面积为22222121sin12066sin12024933232S r rπππ=+︒=⨯+⨯⨯︒=+，故几何体的体积为：11(2493)64818333V Shππ==⨯+⨯=+，故选C.8．【答案】D【解析】因为cos23sin2y x x=-2sin(2)2sin(2)66x xππ=-=--，由3222,262k x k kπππππ+-+∈Z≤≤，解得5,36k x k kππππ++∈Z≤≤，即函数的增区间为5[,],36k k kππππ++∈Z，所以当0k=时，增区间为[,]32ππ，选D.9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中(2,6)A，直线10x my++=过定点(1,0)D-，当0m=时，不等式10x+≤表示直线10x+=及其左边的区域，不满足题意；当0m>时，直线10x my++=的斜率1m-<，不等式10x my++≤表示直线10x my++=下方的区域，不满足题意；当0m<时，直线10x my++=的斜率1m->，不等式10x my++≤表示直线10x my++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点00(,)x y，使不等式0010x my++≤成立，只需直线10x my++=的斜率12ADkm-=≤，解得12m-≤．综上可得实数m的取值范围为1(,]2-∞-，故选B.10．【答案】D【解析】因为'1()10xf x e-=+>，且(1)0f=，所以函数()12xf x e x-=+-单调递增且有惟一的零点为1m=，所以11n-≤，02n∴≤≤，问题转化为：使方程230x ax a--+=在区间[0,2]上有解，即223(1)2(1)4412111x x xa xx x x++-++===++-+++在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y xx=++-+在区间[0,2]的值域为[2,3]，23a∴≤≤，故选D．11．【答案】B【解析】依题意可得，抛物线24y x=的焦点为(1,0)F，F关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x x='()2f xx00()Q x x，02xx01x=，∴(1,1)Q，可得22111a b-=，又1c=，222c a b=+，可解得51a-=5151cea+==-B．12．【答案】D 【解析】函数20()ln ()1g x x x ax f x =-+-+在(]0,e 内都有两个不同的零点，等价于方程20ln 1()x x ax f x -++=在(]0,e 内都有两个不同的根．111'()(1)x x x f x e xe x e ---=-=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 是增函数；当(1,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 是减函数．因此0()1f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121'()2x ax F x x a x x--=-+=-，若'()0F x =在(0,)e 无解，则()F x 在(]0,e 上是单调函数，不合题意；所以'()0F x =在(0,)e 有解，且易知只能有一个解．设其解为1x ，当1(0,)x x ∈时'()0F x >，()F x 在1(0,)x 上是增函数；当1(,)x x e ∈时'()0F x <，()F x 在1(,)x e 上是减函数．因为(]00,x e ∀∈，方程20ln 1()x x ax f x -++=在(]0,e 内有两个不同的根，所以max 1()()1F x F x =>，且()0F e ≤．由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e-≤． 由max 1()()1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>． 因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设2()ln 1m x x x =+-，1()20m x x x'=+>，所以()m x 在(0,)e 上是增函数， 而(1)ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得1()(1)m x m >，得11x e <<． 由1112a x x =-在(1,)e 上是增函数，得112a e e <<-．综上所述21a e e <-≤，故选D.13．【答案】3【解析】6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为2166C (2)C 3+-=.14．tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =.15．【解析】由圆的方程得22(1)1x y ++=，所以圆心为(0,1)-，半径为1r =，四边形的面积2MBC S S =△，若四边形MACB 的最小面积S ∈，所以MBC S △的最小值为MBC S ∈△，而12MBC S r MB =△，即MB 的最小值min MB ∈，此时MC 最小为圆心到直线的距离，此时d ，因为0k >，所以k ∈，所以[1,4]k ∈． 16．【答案】①②③【解析】对于①，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA AC ⊥，SA AB ⊥，SA BC ⊥，又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面SAC ，所以BC SC ⊥，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若4,4,4AC BC SC ===，SC ⊥平面ABC ，∴三棱锥S ABC -的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴2R ∴体积为343V π==，∴②正确；对于③，设ABC △内心是O ，则SO ⊥平面ABC ，连接OC ，则有222SO OC SC +=，又内切圆半径1(345)12r =+-=，所以OC 222321SO SC OC =-=-=，故1SO =，∴三棱锥S ABC -的体积为1113412332ABC V S SO =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，∴③正确；对于④，若3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角时，P 点与A 点重合，在Rt SCA △中，3tan 15ASC ∠==，45ASC ∴∠=︒，即直线PS 与平面SBC 所成的最大角为45︒，∴④不正确，故答案为①②③． 17．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，465218a a a +==，59a ∴=，11111611()111212a a S a +===，611a ∴=， 651192d a a ∴=-=-=，5(5)92(5)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.（6分）（2）由（1）可知1(3)2(213)2(1)2n n n n n b a n n +=+=-+=+，∴数列{}n b 的前n项和为2341223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+++，3451222232422(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++++，两式作差，得2341222222(1)2n n n T n ++-=⨯++++-+128(12)8(1)212n n n -+-=+-+-222828(1)22n n n n n +++=+--+=-，22n n T n +∴=.（12分）18．【解析】（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12,38，女生书虫、非书虫的人数分别为4,4622100(1246438) 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，（4分）由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6分）（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X 的所有可能取值为0，1，2， 则246250C 207(0)C 245P X ===,11464250C C 184(1)C 1225P X ===,24250C 6(2)C 1225P X ===，（9分） 故XX 的数学期望为()01224512251225122525E X =⨯+⨯+⨯==.（12分）19．【解析】（1）证明：取AB 的中点O ，连结,,EO OF AC ，由题意知EO AB ⊥．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．（2分）因为BD⊂平面ABCD，所以EO BD⊥,因为四边形ABCD为菱形，所以BD AC⊥，又因为//OF AC，所以BD OF⊥，所以BD⊥平面EOF.（4分）又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥．（6分）（2）连结DO，由题意知EO AB⊥，DO AB⊥.又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-.则()0,0,0O,)(()333,0,0,3,0,,0,1,02E DF B⎛⎝⎭，(330,,,3,0,32DF DE⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭.（8分）设平面DEF 的一个法向量为1(,,)x y z=n，则11DFDE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即332330yx z⎧=⎪=，令1x=，所以13=n.（10分）又由（1）可知EO⊥平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为2(1,0,0)=n，设二面角E DF B--的平面角为θ，则121221cosθ⋅=⋅n nn n.（12分）20．【解析】（1）根据椭圆的定义，可得12||||2AF AF a+=，12||||2BF BF a+=，∴1AF B△的周长为111122||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a++=+++=，∴48a=，得2a=，∴椭圆E的方程为22214x yb+=，将3(1,)2P代入椭圆E的方程可得23b=，所以椭圆E的方程为22143x y+=.（5分）（2）由（1）可知222431c a b=-=-=，得2(1,0)F，依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为1x my=+，由221431yx myx⎧⎪⎨⎪=+=⎩+消去x，整理得22(34)690m y my++-=，设1122(,),(,)A x yB x y，则122634my ym-+=+，122934y ym-=+，不妨设120,0y y＞＜，2222222111111||(1)(11)1||1AF x y my y m y m y-++-++⋅+，同理22222||1||1BF m y m y=+⋅=-+，（9分）所以22121111()||||AF BF y y +-21121224.334y y y y m -=+即22224||||||||3AF BF AF BF +=⋅，所以存在实数43λ=， 使得2222||||||||AF BF AF BF λ+=⋅成立.（12分）21．【解析】（1）设22()(2)1x t x f x e -==+，则22'()2x t x e -=，当1x =时，22(1)12t e -=+=，22'(1)22t e -==，∴函数(2)f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=.（4分）（2）根据题意可得222x y x y e e mx +---++≥对任意的[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞都成立， 当0x =时，不等式即为2220y y e e ---++≥，显然成立；（5分） 当0x >时，设22()2x y x y g x e e +---=++，则不等式222x y x y e e mx +---++≥恒成立， 即为不等式()g x mx ≥恒成立，22222()2()2222x y x y x y y x x g x e e e e e e e +-------=++=++⨯=+≥(当且仅当0y =时取等号)，∴由题意可得222x e mx -+≥，即有222x e m x -+≥对(0,)x ∈+∞恒成立， 令222()x e h x x -+=，则22222(1)(1)1'()22x x x xe e x e h x x x ----+--=⋅=⋅， 令'()0h x =，即有2(1)1x x e --=，令2()(1)x m x x e -=-，则222'()(1)x x x m x e x e xe ---=+-=， 当0x >时，2'()0x m x xe -=>，()m x ∴在(0,)+∞上单调递增，又22(2)(21)1m e -=-=，2(1)1x x e -∴-=有且仅有一个根2x =，（9分） 当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,2)x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴当2x =时，()h x 取得最小值，为2222(2)22e h -+==，2m ∴≤． ∴实数m 的取值范围(,2]-∞.（12分）22．【解析】（1）将直线l的参数方程121x y t⎧=⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数）消去参数t ，可得直线l的普通方程为11)2y x --，即210x -+=．由)4πρθ=-，得cos sin ρθθ=+，所以2cos sin ρρθρθ=+, 得22x y x y +=+，即22111()()222x y -+-=．（5分）（2）由121x y t ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得12112x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(m 为参数），将其代入22111()()222x y -+-=， 得211024m m +-=,1212m m ∴+=-,1214m m =-，∴12AB m m =-．（10分）23．【解析】（1）)函数(2)(4)|22||2|f x f x x x --=+--=4,13,124,2x x x x x x --<-⎧⎪-<⎨⎪+⎩≤≥，当1x <-时，不等式即42x -->，求得6x <-，6x ∴<-；当12x -<≤时，不等式即32x >，求得23x >，223x ∴<<；当2x ≥时，不等式即42x +>，求得2x >-，∴2x ≥． 综上所述，不等式的解集为2{|3x x >或6}x <-．（5分）（2）当0a >时,()()|2||2||2||2|(2)(2)||22|f ax af x ax a x ax ax a ax ax a a +=+++=++++-+=-≥| 不等式()()1f ax af x a ++≥恒成立，|22|1a a ∴-+≥，221a a ∴-+≥或221a a ---≤，解得3a ≥或103a <≤，∴实数a 的取值范围为1(0,][3,)3+∞.（10分）。