第3章(电磁场)恒定磁场
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恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力 B l d I f d⨯''=毕奥——萨伐尔定律 ⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vrr dV J B 24 πμ 2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰SS B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅VSdV B S B d0＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
n IS P m =磁场强度 M B H-=0μ 或 )(0M H B +=μ本构方程 由m H M χ=可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质1>>r μ。
4、安培环路定律磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。
2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。
3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。
4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。
（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。
（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。
（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。
（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。
（ √ ） 9、习题, 。
第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。
2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。
3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。
4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。
5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。
7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。
8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
电磁学复习
实际中常用μF(微法)和pF(皮法)
等SI量。纲:
C
Q U
IT ML2T 3I 1
M
1L2T 4 I 2
电容只与几何因素和介质有关, 固有的容电本领。
2024/8/27
28
二、电容器及其电容
两个互不连结导体构成的闭合导体空腔称 为电容器。
定义 C Q Q U A U B U
电容器的电容是使电容器两极板之间具有单位电 势差所需的电量。 描绘了电容器储存电能的能力。
相互作用能
2024/8/27
或：把这些带 电体从无限远 离的状态聚合 到状态 a 的过 程中，外力克 服静电力作的 功。
39
点电荷组的静电势能W等于克服电场力所做 的功A'
W 1
2
i
qiU i
Ui为除qi以外的电 荷在qi处的电势
2024/8/27
40
第三章 恒定磁场和磁介质
§3.1 磁的基本现象 §3.2 毕奥 —萨伐尔定律 §3.3 磁场的高斯定理和安培环路定理 §3.4 安培定律 §3.5 洛伦兹力 §3.6 磁介质
静电场力做功与路径无关
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零
E dl 0
L
无旋
2024/8/27
18
电势差(electric potential difference)
两点之间电势差可表为两点电势值之差
b b
Uab
a
E dl
a
E dl
E dl
U (a) U (b)
33
E0
S
dS
1
0
q0
内+
E dS
S
1
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
电动力学：第3章 电磁场的守恒定律
A
1 v2
t
则由
A A A ,
/
t
确定的 A,满 足L规范
2.满足Lorentz规范的 ( A,不 )是唯一的.
A A L, L / t
为使 A,满 足Lorentz规范
只需 L满足:
2
1 v2
2 t 2
L
0
即可
(Ⅱ)选取 ( A,满 )足附加条件
A 0
Coulomb 规范
t
B
1
B
μ0
( B)B ε0 E
t
E
f ε0( E)E ε0( E) E
1
1
E
B
μ0 ( B)B μ0 ( B) B ε0 t B ε0 t E
因为 (EE ) ( E)E (E )E, ( E) E (E )E 1 (E 2I ) 2
E
A
/
t
A
/
t
E
上式说明 ( A,和) 描( A述,同) 一电磁场.规范不变性
(Ⅰ)选取 ( A,满 )足附加条件
A 0
t
Lorentz规范
说明:1.总可以选取 ( A,使 )Lorentz规范成立,
假定对于给定的 ( A,,L)orentz规范不成立,
取 满足下式
2
1 v2
2 t 2
能量守恒和转化定律(积分形式)
对于全空间，有
dUm d
dt dt
V
ue,md
dUe,m dt
即 Um Ue,m const
3.1.3 极化能量密度和磁化能量密度
1
介质中电磁能量密度
ue ,m
(E D B H) 2
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磁通：磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量。 记作
单位：韦伯(Wb)
B dS
S
对闭合面有，
B dS
S
由高斯散度定理，
B dS BdV
S V
=0
结论：磁通是连续的！磁场线总是闭合的。 磁通连续性原理！
12
3.2.3 矢量磁位 (Magnetic Vector Potential)
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
23
B d l ( I I I I ) 0 1 1 1 2
L
I1 I1
L
I2 I 3
I1
（ 0 I1 I 2）
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？
2 2
z l /2 z ( z l / 2)
2 2
1 0 2
0 I B e 2 r
9
3.2 矢量磁位 (Magnetic Vector Potential)
3.2.1 磁感应强度的散度
B(r )
0 J (r ') eR dV ' 2 4 V ' R
1
dl 1 对另一载有
恒定电流 I 2 的回路 C2 上任一线元 d l 2
的作用力表示为
0 I 2 dl 2 ( I1dl1 R) d F 12 4 R3 0 I 2 dl 2 ( I1dl1 R) F 12 4 C2 C1 R3
2
0 F 12 4
NM 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos '
16
2 2 a a R (r cos ) 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos ' r 1 sin cos ' 2 r r z PN r cos R 2 PN 2 NM 2
1. 定义:
B A
A 就是矢量磁位。 单位：特· 米 T· m 或(Wb/m)
其散度规定为
A = 0
库伦规范 ！
0 J (r ') dV ' 4 V ' R
2. 矢量磁位A的积分表达式
B A
B
比较两式，可得
0 J (r ') A ' R dV ' 4 V
y
0 Idl ' dA dl ' ad ' e 4 R
0 Ia cos ' dA 2dAcos ' d ' 2R
P
r
z
R
a
r'
0 Ia cos ' A d ' 2 0 R
'
M
e
y
其中
x
N
R 2 PN 2 NM 2
PN r cos
S
J S (r ') R dS ' 3 R
3
u0 F 12 I 2 dl 2 C2 4
C1
I 2 dl1 R 3 R
0 B 4
I1dl1 R C1 R3
d F Idl B
计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩.
4
3.1.2 磁感应强度 1. 磁场 运动电荷 2.磁感应强度
C2
C1
I 2 dl 2 ( I1dl1 R) 3 R
u0 F 12 I 2 dl 2 C2 4
C1
I1dl1 R 3 R
0 B 4
0 B(r ) 4
I1dl1 R C1 R3
毕奥-沙伐定理
V
0 J (r ') R B(r ) dV ' 4 R3
13
面电流和线电流的积分表达式为
A
0 4
J (r ') dS ' R S'
面电流
线电流
A
0 I dl ' 4 R l'
A的作用： 1. 利用A计算磁通。
B dS A d S
S S
由斯托克斯定理
l
A dl
2.利用A计算磁感应强度。
(r在V '内） (r在V ' 外）
场点 r在V ' 外 时
J (r ) 0
B(r) 0 J (r)
21
B(r) 0 J (r)
3.3.2 真空中的安培环路定律
磁场是有旋场
B dl B d S J d S
l
S
S
0Leabharlann 0 I0 A 4
库仑规范
0 A 4
Idl l R
19
V
J dV R
S
JS dS R
3.3.1 恒定磁场的旋度
0 B(r ) 4 J (r ') V ' R dV '
2
根据矢量恒等式
A ( A) A
0 2 J (r ') 0 J (r ') B(r ) ( dV ') dV ' V' R V' R 4 4
2 2
7
所以
0 I l / 2 dl ' R B 4 l / 2 R 3 0 I e cos d 4 r 0 I e (sin 1 sin 2 ) 4 r
2 1
8
式中：
sin 1 sin 2
当l 时
z l /2 z ( z l / 2)
0 0 J (r ') 2 1 J (r ') ( )dV ' dV ' V ' 4 R 4 V ' R
20
0 0 J (r ') 2 1 B(r ) dV ' J (r ') ( )dV ' V' 4 V ' R 4 R
14
例 计算半径为 a 的小圆环电流 I 产生的磁感应强度 B 解 选择球坐标系，小圆环 如图放置.由于电流的对称性， 和 B 与坐标 A 无关，把场点 0 . 放在 的平面上
z
P
r
a
r'
R ' 在 0 的平面两边 '、 ' e 处同时取两个电流元，它们 M 在场点的矢量磁位 d A都与各 x N 自的 dl '方向一致，叠加后的 合成矢量只有 e 方向的分量， Idl ' dl ' ad ' e dA 0 所以 4 R 15
B(r )
0 0 J (r ') J (r ') dV ' dV ' 4 V ' R 4 V ' R
两边取散度，有
B(r )
0 J (r ') ' R dV ' 0 4 V
B(r ) 0
可见，恒定磁场是无散场！
11
3.2.2 磁通连续性原理
17
0 Ia 0 Ia 2 a A (1 sin cos ' ) cos ' d ' sin 2 0 2r r 4r
2 S a 若令 为小圆环面积， P m I S 为圆环电流的磁矩 （也称为磁偶极矩），则小圆环电流的矢量磁位为
0 p m e R 0 SI A sin e 2 4 r 4 r 2
I
rR
2π rB 0 I
B d l 0 I
l
L
R R
r
2π r 2 πr 0 r R B d l 0 I 2 l πR 2 0r 0 Ir 2π rB 2 I B 2 2 π R R
电流
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
l
B MN 0nMNI
B 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.
26
例2 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路
6
r re r ze z , r ' z ' e z , R r r ' z ' z r tan , dz ' r sec 2 dl ' e z dz ' e z r sec
2
R r sec
dl ' R e z dz ' [re r ( z z ')e z ] e rdz ' e r sec
NM 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos '
0 A 4
l
Id l R
P
r
R
因为r a将上式展开为泰勒 级数，取前两项
N
a
r'
'
M
e
y
1 1 a x (1 sin cos ' ) R r r 2 0 Ia Ia a 0 A ( 1 sin cos ' ) cos ' d ' sin 2 0 2r r 4r
单位：韦伯(Wb)
B dS
S
对闭合面有，
B dS
S
由高斯散度定理，
B dS BdV
S V
=0
结论：磁通是连续的！磁场线总是闭合的。 磁通连续性原理！
12
3.2.3 矢量磁位 (Magnetic Vector Potential)
I
电流 I 正负的规定 ：I 与 为正；反之为负.
L 成右螺旋时，
23
B d l ( I I I I ) 0 1 1 1 2
L
I1 I1
L
I2 I 3
I1
（ 0 I1 I 2）
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？
2 2
z l /2 z ( z l / 2)
2 2
1 0 2
0 I B e 2 r
9
3.2 矢量磁位 (Magnetic Vector Potential)
3.2.1 磁感应强度的散度
B(r )
0 J (r ') eR dV ' 2 4 V ' R
1
dl 1 对另一载有
恒定电流 I 2 的回路 C2 上任一线元 d l 2
的作用力表示为
0 I 2 dl 2 ( I1dl1 R) d F 12 4 R3 0 I 2 dl 2 ( I1dl1 R) F 12 4 C2 C1 R3
2
0 F 12 4
NM 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos '
16
2 2 a a R (r cos ) 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos ' r 1 sin cos ' 2 r r z PN r cos R 2 PN 2 NM 2
1. 定义:
B A
A 就是矢量磁位。 单位：特· 米 T· m 或(Wb/m)
其散度规定为
A = 0
库伦规范 ！
0 J (r ') dV ' 4 V ' R
2. 矢量磁位A的积分表达式
B A
B
比较两式，可得
0 J (r ') A ' R dV ' 4 V
y
0 Idl ' dA dl ' ad ' e 4 R
0 Ia cos ' dA 2dAcos ' d ' 2R
P
r
z
R
a
r'
0 Ia cos ' A d ' 2 0 R
'
M
e
y
其中
x
N
R 2 PN 2 NM 2
PN r cos
S
J S (r ') R dS ' 3 R
3
u0 F 12 I 2 dl 2 C2 4
C1
I 2 dl1 R 3 R
0 B 4
I1dl1 R C1 R3
d F Idl B
计算各种形状的载流回路在外磁场中受到的力和力矩.
4
3.1.2 磁感应强度 1. 磁场 运动电荷 2.磁感应强度
C2
C1
I 2 dl 2 ( I1dl1 R) 3 R
u0 F 12 I 2 dl 2 C2 4
C1
I1dl1 R 3 R
0 B 4
0 B(r ) 4
I1dl1 R C1 R3
毕奥-沙伐定理
V
0 J (r ') R B(r ) dV ' 4 R3
13
面电流和线电流的积分表达式为
A
0 4
J (r ') dS ' R S'
面电流
线电流
A
0 I dl ' 4 R l'
A的作用： 1. 利用A计算磁通。
B dS A d S
S S
由斯托克斯定理
l
A dl
2.利用A计算磁感应强度。
(r在V '内） (r在V ' 外）
场点 r在V ' 外 时
J (r ) 0
B(r) 0 J (r)
21
B(r) 0 J (r)
3.3.2 真空中的安培环路定律
磁场是有旋场
B dl B d S J d S
l
S
S
0Leabharlann 0 I0 A 4
库仑规范
0 A 4
Idl l R
19
V
J dV R
S
JS dS R
3.3.1 恒定磁场的旋度
0 B(r ) 4 J (r ') V ' R dV '
2
根据矢量恒等式
A ( A) A
0 2 J (r ') 0 J (r ') B(r ) ( dV ') dV ' V' R V' R 4 4
2 2
7
所以
0 I l / 2 dl ' R B 4 l / 2 R 3 0 I e cos d 4 r 0 I e (sin 1 sin 2 ) 4 r
2 1
8
式中：
sin 1 sin 2
当l 时
z l /2 z ( z l / 2)
0 0 J (r ') 2 1 J (r ') ( )dV ' dV ' V ' 4 R 4 V ' R
20
0 0 J (r ') 2 1 B(r ) dV ' J (r ') ( )dV ' V' 4 V ' R 4 R
14
例 计算半径为 a 的小圆环电流 I 产生的磁感应强度 B 解 选择球坐标系，小圆环 如图放置.由于电流的对称性， 和 B 与坐标 A 无关，把场点 0 . 放在 的平面上
z
P
r
a
r'
R ' 在 0 的平面两边 '、 ' e 处同时取两个电流元，它们 M 在场点的矢量磁位 d A都与各 x N 自的 dl '方向一致，叠加后的 合成矢量只有 e 方向的分量， Idl ' dl ' ad ' e dA 0 所以 4 R 15
B(r )
0 0 J (r ') J (r ') dV ' dV ' 4 V ' R 4 V ' R
两边取散度，有
B(r )
0 J (r ') ' R dV ' 0 4 V
B(r ) 0
可见，恒定磁场是无散场！
11
3.2.2 磁通连续性原理
17
0 Ia 0 Ia 2 a A (1 sin cos ' ) cos ' d ' sin 2 0 2r r 4r
2 S a 若令 为小圆环面积， P m I S 为圆环电流的磁矩 （也称为磁偶极矩），则小圆环电流的矢量磁位为
0 p m e R 0 SI A sin e 2 4 r 4 r 2
I
rR
2π rB 0 I
B d l 0 I
l
L
R R
r
2π r 2 πr 0 r R B d l 0 I 2 l πR 2 0r 0 Ir 2π rB 2 I B 2 2 π R R
电流
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
l
B MN 0nMNI
B 0 nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.
26
例2 无限长载流圆柱体的磁场 解 1）对称性分析 2）选取回路
6
r re r ze z , r ' z ' e z , R r r ' z ' z r tan , dz ' r sec 2 dl ' e z dz ' e z r sec
2
R r sec
dl ' R e z dz ' [re r ( z z ')e z ] e rdz ' e r sec
NM 2 a 2 (r sin ) 2 2a(r sin ) cos '
0 A 4
l
Id l R
P
r
R
因为r a将上式展开为泰勒 级数，取前两项
N
a
r'
'
M
e
y
1 1 a x (1 sin cos ' ) R r r 2 0 Ia Ia a 0 A ( 1 sin cos ' ) cos ' d ' sin 2 0 2r r 4r