第3章 恒定磁场 [兼容模式]
TU-4.10 布洛赫电子在恒定磁场中电子的运动-54
我们先采用自由电子模型说明： 在如下图所示配置下，导体中电荷e 受的洛伦兹力：
F e v B
在-y方向产生电场EH，平衡时应有：
e EH e vx B
EH vx B
在外磁场的作用下，原来在-x 方向漂移的电子受到Lorentz力作用发生向
电荷和磁场相互作用
的规律是一致的。
所以，电子在k 空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的 那一点。按照上式： 电子回旋运动周期(推)：
dk T dt eB E const E const k
ev(k) B
பைடு நூலகம்
E const
dk v
E const
磁场作用下自由电子 在k 空间中的运动轨道 是圆。其回旋频率：
c
eB m
从前面讨论中可以看出： Bloch 电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化，其 运动轨迹要复杂得多，因而其旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底 和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：
conductor is itself attracted by a magnet, the current should be drawn to one side of the wire,
and therefore the resistance experienced should be increased”。Hall没有测出额外的电 阻——磁致电阻，但是“The magnet may tend to deflect the current without being able to do so. It is evident that in this case there would exist a state of stress in the conductor, the electricity pressing, as it were, toward one side of the wire “State of stress”，就是我们现在 所熟知的横向电势差（ Hall电压，Hall voltage）
稳恒磁场
方向满足右手定则
（3）运动电荷的磁场 的
二、磁通量：通过磁场中某一个面场的强弱（通过磁场 中某一个面的磁力线数）叫做通过这个面的磁感强度的 通量。
0 qv r B 4 r 3
m B ds
S
磁场的高斯定理：通过任意闭合曲面 的磁通量必等于零（故磁场是无源的）
1 Bo 2 0 i 1 cos 0 i 2
2、一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为 σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转。试求圆筒内部的 磁感应强度。 62.
解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的 面电流密度i，
i 2Rw /(2) Rw
w
B B1 B2 Bacb Bab
由毕奥－萨伐尔定律，有 B1 4π(Oe) (cos0 cos60)
0 I
Oe 3l / 6
B3 3)
方向垂直纸面向外． 对O点导线2为半无限长直载流导线，
B2
0 I
4(Ob)
二、磁场对载流导线的作用 1、载流导体在磁场中所受的力， 安培力：
dF Idl B
2、载流线圈在匀强磁场中所受的磁力矩： M pm B 其中 pm NIS 3、带电粒子在磁场中所受的力： 回转半径：
mv R qB
f qv B
解：在扇形上选择一个距O点为r，宽度为dr的面积元， 其面积为
带有电荷
d S r d r dq dS
它所形成的电流为
1 d I d qw / π 2
dI在O点产生的磁感强度为
dB
0 d I
2r 4
0 d qw
第3章 恒定电流的磁场
第3章 恒定电流的磁场
【例3-3】 一根沿z轴的无限长直导线通过z方向的 电流I。试用安培定律求空间任一点的磁场强度与磁通 密度。 解 由对称性， 该电流产生的磁力线必然是同心圆， 如图3-6所示。沿每个圆的磁场强度值是相同的， 因此 对任意半径ρ， 有
∫
C
H dl = ∫
2π
0
H ρd = 2πρH = I
1 aR = 2 R R
， 式（3-1-3）又可以写为
0 B( r ) = 4π
应用恒等式▽
∫
V
1 J ( r′) × dV ′ R
▽ ×(ψA)=▽ ψ×A+ψ▽ ×A
第3章 恒定电流的磁场
同时注意到▽ 是对场点作用的算子， 故 ▽ ×J(r′)=0， 磁通密度可以表达如下
0 B( r ) = × 4π
F12 = ∫
C2
0 I 2dl2 × 4π
∫
C1
I1dl1 × aR 2 R
第3章 恒定电流的磁场
式中， 括号中的量值取决于电流回路C1的电流分 布及源点到场点的距离矢量R， 而与电流回路C2 无关， 故可定义
0 B1 = 4π
∫
C1
I1dl1 × aR 2 R
第3章 恒定电流的磁场
由于顺磁物质与抗磁物质所受的力很弱， 因此实 际上将它们归在一起， 统称为非磁性物质， 非磁性物 质的磁导率与自由空间的相同。 下面我们讨论磁性物质的磁化。 在磁性物质（常称为媒质）中， 分子中的电子以 恒速围绕原子核作圆周运动形成分子电流， 它相当于 一个微小电流环可以等效为磁偶极子。 其磁偶极矩pm 的表达式为 pm=IaS （3-2-1）
第3章 恒定电流的磁场
由于▽ 2(axAx)=(▽ 2ax)Ax+(▽2Ax)ax=(▽ 2Ax)ax， 因 而上式可分解为三个分量的泊松方程:
恒定电流的磁场
第一章 电磁场的基本定律§1.1、1.2电场与高斯定律1 库仑定律：A 平方反比。
B 介电系数2 电场强度E：电荷为q 的载流子受到的电场力为：E q F =点电荷限制的意义：A 不扰动被测对象，操作意义。
B 最小电荷量与最小载流子 量子电动力学与宏观电动力学研究对象的不同。
3 电场的计算：1） 点电荷：条件是线性媒质2） 多个点电荷；叠加原理成立，意味着求和3） 场点),,(z y x P 、r 与源点),,(z y x P '''、r'：带撇与不带撇从源点到场点的矢径：0R R r r R ='-=其中222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-=4） 连续分布电荷：A 概念：三种电荷密度、B 计算方法：求和变为积分3 电力线：及其重要。
静电场：始于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远。
时变场：环，电力线环套着磁力线环，磁力线环套着电力线环。
4 高斯定律：1）通量：面积分与矢量点乘s d E d E∙=ψs d方向的定义：闭合曲面与非闭合曲面2）电通量密度：E Dε=：仅适用于线性、各向异性媒质3）高斯定律：A 关于E 与D两种：后者于媒质无关。
∑⎰==⋅nk k sq s d E 11ε∑⎰==⋅nk k sq s d D 14）用高斯定律计算电场：对称性的要求，高斯面。
5．静电场的环路积分：0=⋅⎰Cl d E§1.3、1.4 磁场、毕澳－沙伐尔定律、安培环路定律1．磁感应强度：1）速度为v的运动电荷在磁感应强度为B 的磁场中受到的磁场力F dB v dq F d ⨯=2）载流导体：l Id l d dt dq dt l d dq v dq===2．毕澳－沙伐尔定律：24ra l Id B d r⨯=πμ 其中r 为l d （源点）到场点的距离，r a为l d （源点）到场点的单位矢量。
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场——恒定磁场——第3讲
)
dl
2
互感
M21
Φ21 I1
o
4π
l2
l1
dl1 dl2 R
M12
第三章
恒定磁场
2、用聂以曼公式计算回路的外自感
设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过内
表面轮廓 l2 所限定的面积。
电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为
A 0 I1dl1
4π l1 R
与 l2 交链的磁通为
2πr
2πr
2πr
由
H112t πI rHco2st
,
1
I 2π r
cosI
I2
I
I
cos
2π r
(1)
由 B1n B2n
Hale Waihona Puke 1(I I) 2I (2)
联立求解 I 2 1 I 2 1
I 21 I 2 1
I1BS sin Bm sin
T < 0表示转矩企图使 减小，使该回路包围尽可能
多的磁通。
用矢量表示为
T mB
第三章
本课程结束！
恒定磁场
磁场能量的推导过程：
Wm
1 2
n
Lk Ik2
k 1
1 2
n i 1
n
Mij Ii I j
j 1
1 2
n
Ik k
k 1
(i j)
自有能 互有能
第三章
3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度
恒定磁场
Wm
1 2
n k 1
稳恒磁场
A I1 D I2 C
答案与选解：
一、选择题 1． （D）2． （D）3． （D）4． （B）5． （D）6． （E）7． （B）8． （C）9． （B） 二、填空题： 1．－
1 Bπ R2 2
2．0
3．
0 ih 2R
4．T1
5．9.33×10
－19
Am2
相反
6． 2 BIR
沿 Y 轴正方向 7．mg/(2NLB) 8．
e2 B r 9．1：1 30º 4 0 me
10．铁磁质 顺磁质 抗磁质 三、计算题： 1． 解：电流在 O 点产生的磁场相当于 CDA 一段上电流产生的磁场， ∴B
0 I 2 0 I [sin 45 sin(45)] a a
2．P 点的总磁感应强度为 B
0I (1 sin cos ) 4a cos
8．一质量为ｍ、电量为ｑ的粒子，以与均匀磁场 B 垂直的速度ｖ射入磁场内，则粒子运动轨 道所包围范围内的磁通量ф m 与磁场磁感应强度 B 大小的关系曲线是（Ａ）～（Ｅ）中的哪一条？ Φm Φm Φm Φm Φm
B O （A） O （B）
B O （C）
B O （D）
B O （E） ［
B
］
9．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而 成，每厘米绕 10 匝．当导线中的电流Ｉ为 2.0 Ａ时，测得铁环内的磁 感应强度的大小Ｂ为 1.0 Ｔ，则可求得铁环的相对磁导率μ r 为（真空 磁导率μ r＝４π ×10-7Ｔ·ｍ·Ａ-1） （Ａ）7.96×102 (Β ) 3.98×102 （Ｃ）1.99×102 （Ｄ）63.3 ［ ］ 二、填空题： 1．在匀强磁场 B 中，取一半径为 R 的圓，圆面 的法线 n 与 B 成 60º角，如图所示，则通过以该圆周 为边线的如图所示的任意曲面 S 的磁通量
稳恒磁场解答
稳恒磁场<一>一. 选择题:1. 两根平行的、载有相同电流的无限长直导线在空间的磁感应强度21B B B +=112l I B πμ==,1l 表示距导线1的距离. 方向: 在 x ＜ 1 的区域内垂 直纸面向外,在 x ＞ 1 的区域内垂直纸面向内; 222l I B πμ==,2l 表示距导线2的距离. 方向: 在 x ＜3 的区域内垂 直纸面向外,在 x ＞3 的区域内垂直纸面向内;故可推断 B ＝0的地方是在1l ＝2l ＝1 或 x ＝2 的直线上. 故选<A>.2. 正方形以角速度ω绕AC 轴旋转时,在中心O 点产生的磁感应强度大小为正方形以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时,在O 点产生的磁感应强 度大小为显见122B B =或221B B =故选<C>. 3. 把无限长通电流的扁平铜片看作由许许多多电流为dI 的无限长载流细长条组成.选扁平铜片右边沿为X 轴零点,方向向左.如图所示dI 在P 点产生的磁感应强度)(20b x dI dB +=πμ,方向垂直纸面向内. 整个通电流的铜片在P 点的磁感应强度的大小为⎰⎰+==a a b x a Idx dB B 000)(2πμba a I =ln 20πμ <B> 4. 若空间两根无限长载流直导线是平行的,如图所示. 则在空间产生的磁场分布具有对称性,可以用安培定理直接求出.也可以用磁感应强度的叠加原理求出.对一般任意情况,安培环路定理是成立的,但环路上的B 值是变化的,不能提到积分号外,故不能给出磁感应强度的具体值.用磁感应强度叠加原理与其与安培环路定理结合的方法,是可以求出磁感应强度值的.故选<D>.5. 由于O 点在长直电流的延长线上,故载流直导线在O 点产生的磁感应强度为0,在圆环上,电流I 1在O 点产生的B 1为：I 1 I 2方向垂直于环面向外.在圆环上,电流I 2在O 点产生的B 2为：方向垂直于环面向里.由于两段弧形导线是并联的,I 1R 1= I 2R 2所以B1=B2 方向相反. O 点的合磁感应强度为0.6. 选择〔B 〕7. 选择〔D 〕二. 填空题:1. A I A 1=,A I 在P 点产生的磁感应强度A B 为 =⨯⨯=1210πμA B πμ20,方向如图. A I B 2=,B I 在P 点产生的磁感应强度B B 为=⨯⨯=2220πμB B πμ20,方向如图. 所以,1:1:=B A B B方向: θθθθαtg B B B tg B B A -=-=cos 1cos sin 333132=-=. 所以α＝30°2.解：因为O 点在AC 和EF 的延长线上,故AC 和EF 段对O 点的磁场没有贡献.CD 段 RI R I B CD 82400μππμ=⋅= ED 段 RI R I a I B o o DE πμπμπμ22/242)145cos 45(cos 4000==-= O 点总磁感应强度为3. [解法1]:如图<a>所示.将宽度为d 的载流导体薄片看作由许许多多电流元为dI 的无限长载流导线组成的.dI 在P 点产生的磁感强度大小为式中22a x r +=, 方向如图<b>所示.dB y ＝dBsin θ, dB x ＝dBcos θ022==⎰-dd y y dB B ,<对称性> 在导片中线附近处,令a →0[解法2]:因所求磁感应强度点P 在导片中线附近.据对称性分析,可知该点的磁感应强度方向平行于导片.选取图示矩形安培环路,<见图c>5.电流密度的大小: ()22r R I -=πδ本题意可等效为以O 点为中心半径为R 的金属导体上通以电流密度为δ,方向垂直纸面向内.和以O'为中心,半径为r 的金属导体部分通以电流密度为δ,方向为垂直纸面向外.空心部分曲线上O'点的磁感应强度为式中R B 表示半径为R 的圆柱电流对O'的磁感强度, r B 表示半径为r 的圆柱电流对O'的磁感强度. 根据安培环路定理得以O 为圆心,作半径为a 的环流,则有即=R B ()2202r R Ia-πμ所以==R B B '0()2202r R Ia-πμ6.已知C q 19100.8-⨯=, 15100.3-⋅⨯=υs m ,m R 81000.6-⨯=则该电荷沿半径为R 的圆周作匀速运动时,形成的圆形电流该电荷在轨道中心所产生的磁感应强度该带电质点轨道运动的磁矩三. 计算题:1. 根据磁感应强度的叠加原理,O 点的磁感应强度=⨯=1110122R l R I B πμ211022R l I ⨯πμ, 方向垂直纸面向内. =⨯=2220222R l R I B πμ222022R l I ⨯πμ, 方向垂直纸面向外. 所以,O 处的磁感应强度B 的大小为B ＝B 1－B 2＋B 3＋B 4方向垂直纸面向内.2. 解：由于带电线段AB 的不同位置绕O 点转动的线速度不同,在AB 上任取一线元dr, 它距O 点的距离为r,如图所示,其上带电量为dq=λdr,当AB 以角速度ω旋转时,dq 形成环形电流,其电流大小为根据圆电流在圆心O 的磁感应强度为则有带电圆电流在圆心O 的磁感应强度为当带电λ为正电荷时,磁感应强度方向垂直于纸面向里.旋转带电线元dr 的磁矩为转动带电线段AB 产生的总磁矩当带电λ为正电荷时,磁矩方向也垂直于纸面向里.3. 根据磁感应强度叠加原理,圆环中心O 的磁感应强度式中1B 表示L 1段导线在O 点所产生的磁感强度. 2B 表示L 2段导线在O 点所产生的磁感强度. 3B 表示圆环在O 点所产生的磁感强度.L 1的沿线穿过O 点,据毕奥─萨伐尔定律,得01=BL 2是无限长直导线,故RI B πμ402=,方向垂直纸面向外. 圆环在a 点被分成两段1I ,2I ,两段在O 点所产生的磁感强度03=B .所以RI B B πμ4020==,方向垂直纸面向外.四. 改错题:S ≠0, B ＝0 这个推理是错误的.因为磁感应线是无头无尾的闭合曲线,在磁场中任意闭合曲面,进去多少磁感应线必然出来多少磁感应线,所以在磁场中穿过任意闭合曲面的磁通量都为零.但闭合面上的磁感应强度不一定为零.例如,在一磁感强度为B 的均匀磁场中穿过任一圆球面的磁通量都为零,但球面上的磁感强度不为零.五. 问答题:毕奥─萨伐尔定律只适用于电流元Idl,电流元的长度dl 比它到考察点的距离r 小得多,即 r ＞＞ dl.因此,无限长直线电流的任一段dl 到考察点的距离都要遵守这一条件.即a 不能趋于零.当a →0时,毕奥─萨伐尔定律已不成立.稳恒磁场<二>一.选择题:1. 在所给线圈状态下,线圈平面法线与外磁场方向的夹角为零.由 知：0=M2. 由图可知,大线圈所产生的磁场方向垂直于纸面向内,根据小线圈中的电流流向可以判断小线圈的磁矩方向也是垂直于纸面向内.磁矩方向与磁场方向的夹角为零.根据磁力矩的定义 知：0=M3. 质点在x ＝0、y ＝0处进入磁场时,受到向上的洛仑兹力.质点在x ＞0、y ＞0 区域内运动,且作以y 轴为直径的圆周运动.如图所示. 因为Rm Bqv 2υ=,所以轨道半径为Bq m R υ=. 当它以υ-从磁场中出来时,这点坐标是0=x ,4. 质点受洛仑兹力的作用,因为R m Bq 2υ=υ,即mRqB =υ 则,质点动能为5. 由力学动能定理可知,离子经加速后得到初动能离子在磁场中运动,洛伦兹力充当其向心力,可得 m qU 2=υqB m R υ= 而 2x R = 联立 mqU qB m qB m x 22==υ 二.填空题:1. 因为B p M m ⨯=θsin B p m =θsin ISB =所以,最大磁力矩时2πθ=,磁通量0cos ==⋅=ΦθBS S B最小磁力矩时0=θ磁通量BS BS S B ==⋅=Φθcos2. 由角动量公式得电子作圆周运动的速率电子转动的圆电流此圆电流在圆心质子处产生的磁感应强度为3电子产生的电流: e rI ⋅πυ=2,υ是电子速度.因为圆电流平面法线与与磁场垂直,由B p M m ⨯=知,这个圆电流所受磁力矩为:B BIS M ==B er r e r υ=π⋅πυ⋅2122,由库仑定律知,r m re 22024υ=πε,电子的速度为mr e 0224πε=υ 所以m rBe M 0216πε=.4. 电子受到的洛仑兹力: Rm Bq 2υ=υ, 得: 21059.7-⨯=υ=qBm R m.5. 频率为mqB f π2= 三.计算题解： 无限长半圆柱面导体可看作许多平行的无限长直线电流所组成的.对于宽度为 θRd dl =的窄条无限长直导线的电流为由安培环路定理可知dI 在O 点产生的磁场为dB 方向如图所示对所有窄条电流积分得所以轴线上O 点磁感应强度为RI B B x 20πμ-== 轴线上导线单位长度所受的力 l RI Il B F x 220πμ-== 〔取l 为单位1〕 受力的大小为四.证明题:证明: 选b a →为X 轴正方向,则坐标如图所示. 因为B l Id F d ⨯= Yj dy i dx l d +=⊗B 所以⎰⎰==(I F d F B j dy i dx ⨯+) 0 a b X即: 一条任意形状的载流导线所受的安培力等于载流直导线ab 所受的安培力. 五.问答题:1. 答:带电粒子在洛仑兹力的作用下作圆周运动,因为： R m Bq 2υ=υ 所以,圆周运动的轨道半径为由于铝板上方半径大,对应的粒子速度大,考虑到粒子通过铝板有能量损失,所以,带电粒子是由铝板上方穿透铝板向下方运动.由于向心力是洛仑兹力所以q 必为正号,即粒子带正电.2. 答:两个电子绕行一周所需要的时间无有差别.。
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dz
I
dB
4
0 ( Idze z eR )
R2
1
x l L 2
电磁场与电磁波
e
9 2015/11/6
0 rIdz 4 R 3
10
2015/11/6
电磁场与电磁波
例题
由图可见，导线中 dz 处到场点A的距离R为，
例题
B e μ 0I (cos 1 cos 2 ) 4 r
I l
19 2015/11/6
H = J
H dl I
l
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
20
恒定磁场的基本方程
微分形式——磁场是有旋无散场 散度方程 旋度方程 积分形式 磁通连续性定律 安培环路定律
矢量磁位A
恒定磁场是无散场
B 0 H=J
由矢量恒等式
B 0
26
矢量磁位
由矢量磁位的表达式可以求得磁感应强度：
J ( r ) B A 0 dV 4 V R J ( r ) 0 dV 4 V R 1 1 0 J ( r )dV 0 J ( r )dV 4 V R 4 V R e 0 R2 J ( r )dV 4 V R J ( r ) e R dV 0 R2 2015/11/6 4 V 电磁场与电磁波
3 108 c
0
电磁场与电磁波
5
2015/11/6
电磁场与电磁波
6
1
毕奥—萨伐尔定理
线电流分布
磁力线的特点
dB
R
B
面电流分布
4
0
l
( Idl e R ) R2
B
体电流分布
0 4
( J S ( r ) e R ) dS S R2
Idl
B
2015/11/6
A 0
两式比较，可得
B dS 0 H dl J dS I
s
l s
21
B A
2015/11/6
2015/11/6
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
22
矢量磁位
由库仑规范
矢量磁位
将矢量磁位表达式带入磁场的基本方程，得到 矢量位的泊松方程：
A 0
则由
B 0 J ( A) 0 J ( A) 2 A 0 J 2 A 0 J
在J＝0的区域，有矢量位的拉普拉斯方程
A B 所定义的矢量磁位是唯一的。 A 0
2 A 0
2015/11/6
电磁场与电磁波
y
I 2 dl 2 B
x
2015/11/6
r1
O
描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度
2015/11/6
其中 R = r 2 r1 电磁场与电磁波
3
电磁场与电磁波
4
安培力实验定律
真空中的磁导率： 0
毕奥—萨伐尔定理
线电流回路l在周围空间的磁感应强度为
0=
410-7亨利/米（H/m）
1 a 1 sin cos r r
电磁场与电磁波
32
磁偶极子的矢量位A
0 Ia a sin 1 sin cos d 4 r r 2 Ia a 0 e y cos 1 sin cos d 0 4 r r 2 2 Ia e y 0 2 sin cos 2 d 0 4 r 2 I a ey 0 sin 2015/11/6 33 4 r 2 电磁场与电磁波
对比电偶极子的电场
r
a
E er
2015/11/6
Pe Pe cos e sin 2 0 r 3 4 0 r 3
电磁场与电磁波
r
l
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6
恒定磁场中的介质
磁化强度：单位体积内磁偶极距的矢量和 未磁化时，各磁偶极距是随机分布的，矢量 和为零。 在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方 向的转矩，矢量和不为零。
L
恒定磁场的散度方程
直接对毕奥——萨伐尔定律给出的B取散度，得
B ez
0nI
2
cos 1 cos 2
r0
1
B
4
0
V
J eR dV R2
2
由于
0 4
V
J eR dV 2 R
Z
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eR 1 R2 R
磁偶极子
磁偶极子
半径 “很小”的圆电流环
磁偶极子
电偶极距
电偶极子
由间距 “很小”的2个等量正负 “点”电荷组成
间距：l “点”电荷：q1=q、q2=-q
pe ql
磁偶极距
pm IS
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磁偶极子的矢量位A
显然，场具有轴对称性，所以矢量磁位 A 应与坐标 无关。考虑电流元 Idl 在P点产生的矢量磁位为：
故
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S B dS V BdV B = 0
可得，恒定磁场的磁通连续性方程
B 0
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S
B dS 0
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安培环路定律
利用真空中无限长直导线的磁场可得安培环路 定律
由图可知
A ex
0 2
将其带入dA 的表达式并积分：
对于P点来说，此时有
e sin 0 e x cos 0 e y e y
因此
A ey
0 I a 2 I a 2 s in 0 sin e 2 4 r 4 r 2 IS P e 0 2 e z e r 0 m 2 r 4 r 4 r
l
当导线为无限长时，
1 0
2
所以
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B e
μ 0I 2 r
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电磁场与电磁波
2
圆线圈轴线上的磁场
B ez
0
2
Ia 2
a
2
z
3 2 2
dB
R
Idl1
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螺线管的磁场
恒定磁场中的介质
介质中的磁偶极距作为二次源产生磁场，不论是外 加磁场还是二次磁场，其源都是电流。 为了和导体中的传导电流区分，将介质中的由原子 及分子电流等效的宏观电流，称为束缚电流，记为 Jm(束缚电流体密度)， Jms (束缚电流面密度)。
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电磁场与电磁波
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电磁场与电磁波
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恒定磁场的散度方程
B
又因为
恒定磁场的磁通连续性方程
利用散度定理和恒定磁场的散度方程
0 4
1 J dV V R
1 1 1 J J J R R R 1 0 J = 0 R
z
P ( r , ,0 ) r R
cos sin cos
将1/R展开则有：
a
r
Idl
y
R
1
d
2 1 a a 1 2 sin cos r r r
1/ 2
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恒定磁场中的介质
磁化强度同磁化电流密度有如下关系
磁场强度
自由空间的静磁场
J m Pm J ms Pm n
若物质内部磁化强度均匀，即 束缚体电流密度为零
B 0 J
在存在外磁场的介质中，磁场由传导电流和束 缚电流共同产生，即
本章基本内容
恒定磁场的基本方程 矢量磁位A
第三章 恒定磁场
王亚峰 wangyf@
磁偶极子 恒定磁场中的介质 恒定磁场中的边界条件 电感 磁场能量
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安培力的定律
安培力的定律 真空中，两个线电流回路l1、l2， l1对l2的安培作用力F12 为
恒定磁场的旋度方程
利用斯托克斯定理和安培环路定律，可得恒定 磁场的旋度方程
H
dl
H dl Hdlcos
l l
d
r
l H dl S H dS H dl I J dS l S
即
Hrd I
0
2
即
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矢量磁位
电流为I，长度为l的一段直导线的矢量磁位为
Az
0 I l ln 2 r
当l ，Az 趋于无穷大。选取r0为矢量位为0的 点，则
Az
A的改变不影响B的结果。
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0 I r0 ln 2 r