一元二次方程的应用
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
一元二次方程的应用(优秀5篇)
一元二次方程的应用(优秀5篇)元二次方程篇一教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点：重点：1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成一般形式难点：一元二次方程的含义。
教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是壹五0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪？分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
2.这个问题用什么数学方法解决？(间接计算即列方程解应用题。
3.让学生自己列出方程( x（x十5）＝壹五0 )深入引导：方程x(x十5)＝壹五0有人会解吗？你能叫出这个方程的名字吗？二、新课1.从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。
事实上初中代数研究的主要对象是方程。
这部分内容从初一一直贯穿到初三。
到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程--------一元一二次方程(板书课题)2.什么是—元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。
如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程。
(板书一元二次方程的定义)3.强化一元二次方程的概念下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
一元二次方程实际应用
一元二次方程实际应用一元二次方程实际应用方程的定义和形式•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中 a、b、c 是常数，且a≠0。
•一元二次方程可以表示为一条抛物线的方程，解是抛物线与 x 轴交点的 x 坐标。
•一元二次方程的解可以有 0 个、1 个或 2 个。
有 2 个解时，。
可以表示为解为：x=−b±√b2−4ac2a实际应用场景1.物体自由落体问题–当一个物体自由落体时，它的高度与时间之间的关系可以通过一元二次方程来表示。
–假设物体从初始高度 h0 自由落下，则物体在 t 秒的高度gt2，其中 g 是重力加速度。
可以表示为：ℎ(t)=ℎ0−12–如果要求物体何时着地，即求解 h(t)=0 的解，可以得到落地时间的解。
2.炮弹抛射问题–当一个炮弹从地面射出时，炮弹的飞行轨迹可以通过一元二次方程来表示。
–假设炮弹以角度θ 和初速度 v0 抛射，则炮弹的飞行轨迹可以表示为：y=xtanθ−gx 22v02cos2θ，其中 x 是水平方向的位移，y 是垂直方向的位移，g 是重力加速度。
–如果要求炮弹的最大高度，即求解导数为 0 的点，可以得到最大高度的解。
3.面积问题–一些形状的面积可以通过一元二次方程来表示。
–例如，一个矩形的面积可以表示为A=x(2a−x)，其中a 是矩形的一条边的长度，x 是矩形的宽度。
–如果要求矩形的最大面积，即求解导数为 0 的点，可以得到最大面积的解。
4.投资问题–在某些投资问题中，一元二次方程可以用来模拟投资收益的走势。
–假设投资额为 P，年利率为 r，投资期限为 t 年，则投资收益可以表示为A=P(1+r)t。
–如果要求投资收益达到某一特定值 A0，即求解 A=P0 的解，可以得到所需的投资额。
结论一元二次方程在实际生活和工作中有广泛的应用，从物理问题到经济问题，都可以运用它来建立模型、解决实际问题。
通过理解和掌握一元二次方程的概念和解的方法，可以提高解决实际问题的能力。
一元二次方程的运用
一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。
通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。
2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。
例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。
4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。
通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。
5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。
通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。
一元二次方程的实际应用与解法
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
一元二次方程7个应用类型
一元二次方程的应用题常见的几种类型1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例：某工厂在两年内将机床年产量由400台提高到900台。
求增长率。
1、某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
2、某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份 平均每月增长的百分率是多少?3、某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二年、第三年共造林375亩，后两年平均每年的增长率是多少?4、十月份营业额为5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增长的百分率5、某商品连续两次降价10%后的价格为a 元，该商品的原价应为6、第一季度生产a台，第二季度生产b台，第二季度比第一季度增长的百分率？7、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为万元。
2.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]例：一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。
已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽。
1、要建成一面积为130㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽16m），并在与墙平行的一边开一个宽1m的门，现有能围成32m的木板。
求仓库的长与宽各是多少？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4cm2，求大、小两个正方形的边长。
3、要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，•则依据题意列出的方程是_________．3.定价问题［提示：单位利润×销量＝总利润］例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。
为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当降价的措施。
经调查发现，如果每台电视机每降价 10元，平均每天可多售出5台。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
一元二次方程是代数学中常见且重要的内容，具有广泛的应用领域。
本文将从数学、物理和经济等方面介绍一元二次方程的应用。
一、数学应用
1. 解析几何：一元二次方程可以用于描述平面上的曲线，如抛物线。
通过求解方程，可以确定曲线的顶点、焦点等重要特征，进而进行几
何分析和解题。
2. 最值问题：一元二次方程可以用于求解最值问题，如求解抛物线
的最大值或最小值。
这种问题在最优化、经济学和物理学等领域中具
有很高的实际意义。
二、物理应用
1. 自由落体运动：当物体做自由落体运动时，其运动轨迹符合一元
二次方程。
通过求解方程，可以确定物体的运动速度、位移等重要参数，进而进行物理分析和解题。
2. 抛体运动：抛体运动也是一种常见的物体运动形式，其轨迹也是
抛物线。
一元二次方程可以用来描述抛体运动的高度、时间、速度等
相关问题。
三、经济应用
1. 成本和收益分析：在经济学中，一元二次方程可以用来建立成本和收益之间的关系。
通过求解方程，可以确定最佳利润点或成本控制的策略，对经济决策提供参考依据。
2. 市场需求预测：一元二次方程还可以用来进行市场需求的预测和分析。
通过建立需求函数，求解方程可以推测出市场规模、价格敏感度等相关指标，为企业决策提供参考依据。
综上所述，一元二次方程在数学、物理和经济等多个领域中具有广泛的应用。
通过求解方程，可以解决和分析与抛物线相关的问题，为相关学科的研究和实际应用提供支持。
对于学习者而言，掌握一元二次方程的应用，将有助于提高问题分析和解决能力，培养综合思考和创新能力。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是解决数学问题中常用的一种方程类型。
它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际生活中，一元二次方程可以用来解决各种与数量关系有关的问题。
以下将通过几个具体的应用案例，介绍一元二次方程在实际中的应用。
案例一：抛物线的形状在物理学、工程学和建筑学等领域中，抛物线的形状是一个常见的问题。
一元二次方程可以帮助我们确定抛物线的开口方向、顶点位置以及焦点位置等信息。
例如，考虑一座桥的拱形，我们可以根据桥拱的高度和宽度来建立一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以确定最佳的拱形形状，以确保桥的承载能力和结构稳定性。
案例二：运动轨迹的预测一元二次方程还可以用于预测物体的运动轨迹。
假设一个物体被抛出，并以初速度v0和发射角度θ抛出，忽略其他外部因素的影响。
我们可以通过一元二次方程来计算物体的飞行时间、到达最远距离的水平位置以及最高点的高度。
这些信息对于设计射击、投掷和抛掷物体的运动轨迹都非常有用。
案例三：经济优化问题一元二次方程在经济学和管理学中也有广泛的应用。
例如，在某个工厂的生产线上，单位时间内生产的产品数量与工人的数量呈现出一定的关系。
我们可以通过建立一元二次方程，将工人数量作为自变量，生产产品数量作为因变量，来找到最大的产量和最优的工人数量。
案例四：旅行时间和距离计算一元二次方程还可以用于计算旅行的时间和距离。
例如，某辆汽车以固定的速度行驶，我们可以通过一元二次方程来计算汽车行驶到特定距离所需的时间。
这在交通规划、旅行导航和物流管理等领域都有很实际的应用。
综上所述，一元二次方程在实际生活中具有广泛的应用。
通过了解和熟练运用一元二次方程，我们可以更好地解决与数量关系有关的问题，并做出准确的预测和决策。
因此，掌握一元二次方程的应用方法对于提高数学素养和解决实际问题非常重要。
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3. 一个菱形两条对角线长的和是10㎝，面积是12㎝2，菱形的周长是。解：如图
由题意得，BD+AC=10，•BD•AC=12，
解得BD=4，AC=6，在Rt△AOB中，
根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，
整理得：x2-80x+1600=0，∴（x-40）2=0，∴x=40
∴p=100-2x=20（件）；售价定40元，每天售20件．
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
解得x=1.8（不合题意舍去）x=0.2=20%
2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x（1+x）=121，即（1+x）2=121
∴x=-12（不合题意，舍去）或x=10．
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。解：设每个支干长出x个小分支．1+x+x2=91，（x+10）（x-9）=0，x1=-10（舍去），x2=9，
X=20%2.3月份价格平均增长率20%
5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
解：设每次降价的百分率是x
则1*(1-x)²= 显然1-x>0
所以1-x=
x=1- ≈29.3%∴降价百分率是29.3%
6.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
月销额W=x(45+260-x 10×7.5)=-3
4 (x-160)2+19200来说，当x:160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，月销售额不是最大∴小静说的不对．
(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？
(2)若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？
解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R=500+30x，P=170-2x，∴（170-2x）x-（500+30x）=1750，解得x1=25，x2=45（不合题意，舍去）．（2）设每天所获利润为W，得，W=（170-2x）x-（500+30x）
7.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价×销售量）×征收的税率．
400+400（1+x）+400（1+x）²=1324
100（1+x）²+100（1+x）-231=0
[10（1+x）+21][10（1+x）-11]=0
10（1+x）+21=0解得x=-3.1（不合题意，舍去）
10（1+x）-11=0解得x=0.1
所以平均增长率为10%
（三）商品销售问题
售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润
单价×销售量=销售额
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
解：设每件商品售价为x元，每天要销售这种商品p件．
4.西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？解：设西瓜降低x元，
2(x+2)(x+1)-x*x=112x2+6x+4-x2-11=0得x2+6x-7=0
(x+7)(x-1)=0x=1,x=-7（舍去）
（五）工程问题
1.某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？（1）设甲天数:X，乙天数:Y，得：+=整理得x2-34x+120=0x1=4，x2=30(舍去)
1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为7200(1+x)2=8450。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
90（1-x)²=40 x=33.3％
3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（不计利息税，只需要列式子）
[1000(1+x)-500](1+60%x)=530。
4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
解：设2.3月份价格平均增长率X
50*(1-10%)*(1+X)2=64.8
(1+X)2=1.44
1+X=1.2
一元二次方程的应用
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。
（一）传播问题
1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为
设降价的百分率是x，由题意得200（1-x）2=128
甲：20天乙：30天
（2）因为，请甲2000×20=40000元，请乙1400×30=42000元，
请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12=40800元，
所以单独请甲队完成此项工程花钱最少．
解：（1）当每吨售价是240元时，
此时的月销售量为：45+260-240 10×7.5=60；（2）设当售价定为每吨x元时，
由题意，得（x-100）（45+260-x 10×7.5）=9000．
化简得X2-420x+44000=0．解得X1=200，X2=220．
当定为200元/吨时，销量更大．
（3）小静说的不对．
=-2x2+140x-500=-2（x2-70x）-500
=-2（x2-70x+352-352）-500=-2（x-35）2+1950．
，利润：1750元；获利1950元，35个
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设应涨x元，则（10+x）（500-20x）=6000，得x=5或x=10（舍去），所以涨5
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。设X个队伍X(X-1)=45 X(X-1)=90 X=10
5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
设有X队参加则每一轮比赛场次应当为场，
而只赛一场一共应为X-1，得*(X-1)=45
解：依题意（a-21）（350-10a）=400，
整理得a2-56a+775=0，解得a1=25，a2=31．
∵21×（1+20%）=25.2，∴a2=31不合题意，舍去．
∴350-10a=350-10×25=100（件）．进100件，价25．
6.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。