浙江省余姚中学1617学年度高一下学期第一次月考(4月)考试——数学数学
余姚中学2023学年第一学期期中考试高一数学试题(含答案)
A. 54 cm2
B. 48 cm2
C. 27 cm2
D. 9 cm2
4.函数 f (x) | x2 1| 的大致图象为( ) x
A
B
C
D
5.已知函数 f (x) log2 (2 x) 的值域为 ,1 , 则函数 f (2 x ) 的定义域为( )
A. [0, )
B. [0, 2)
C. [0,1)
9.下列说法正确的是( )
A.
10
化成角度是
18
B.
120
化成弧度是
5 6
C. 330 与 750 的终边相同
D.
若 sin
cos
1 ，则 tan 2
cos sin
2
10.用二分法求函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点的近似值 ( 精确度为 0.1) 时，依次计算得到如下数据：
11.函数
f
(x)
x 1 | x
(x |
R)
，以下四个结论正确的是(
)
A. f (x) 的值域是 (1,1)
B.
函数 y
f (x) 的图像与函数 g(x) log2
x x
1 1
图像的交点为
x1
,
y1
,
x2
,
y2
,
x3
,
y3
,,
xm
,
ym
，则
x1 x2 x3 xm 2
C.
若规定
f1(x)
f (x) | x2 1| f (x) ， x
该函数为奇函数，故 A 错误；
当 x 0 时， f (x) | x2 1| 0 ，故 D 错误； x
2016-2017年浙江省宁波市余姚中学高一(下)第一次质检数学试卷(解析版)
8． （5 分）关于函数 y＝sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（ A．是周期函数，周期为 2π B．在 上是单调递增的
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C．在 D．关于直线
上最大值为 对称
二、填空题（6+6+4+6+4+4+4＝34） 9． （6 分）在等比数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，已知 a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，则此数列的 公比 q＝ ，a4，a6 的等比中项为 ，数列 的最大值是 ．
（3）若（2）中的 bn 的前 n 项和为 Tn，求证：
18． （15 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点 （an+2，Sn+1）在一次函数图象 y＝4x﹣5 上， 其中 n∈N ．令 bn＝an+1﹣2an，且 a1＝1． （1）求数列{bn}通项公式； （2）求数列{nbn}的前 n 项和 Tn． 19． （15 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，E，F 分别是 AC，AB 的中 点， （1）若∠C＝60°，b＝1，c＝3，求△ABC 的面积； （2）若 3AB＝2AC， ＜t 恒成立，求 t 的最小值．
14． （4 分）在数列{an}中，若 a1＝1，an+1＝2an+3（n≥1） ，则该数列的通项 an＝
15． （4 分）已知数列{an}满足：a1＝m（m 为正整数） ，an+1＝
若 a6＝1，则 m 所有可能的取值为 三、解答题（15×4+16＝76） 16． （15 分）已知向量 （1）若 f（α）＝
13． （4 分）在△ABC 中，已知 a，b，c 是角 A、B、C 的对应边，则 ①若 a＞b，则 f（x）＝（sinA﹣sinB） •x 在 R 上是增函数； ②若 a ﹣b ＝（acosB+bcosA） ，则△ABC 是 Rt△； ③cosC+sinC 的最小值为 ；
浙江省宁波市余姚中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前浙江省宁波市余姚中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．在ABC ∆中，75A =︒，60C =︒，1c =，则最短边长为（）A ．2B ．63C ．12D ．322．已知ABC ∆满足a b >，则下列结论错误的是（）A ．A B>B ．sin sin A B >C ．cos cos A B<D ．sin 2sin 2A B>3．已知ABC ∆的面积()222S a b c =-+，则cos A =（）A ．41717B ．17C ．17-D ．17±4．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且113n n S A -=-⋅，则6S =（）A ．242B ．-242C ．728D ．-7285．人们为了书写方便，常常引入“连乘”符号121nni a a a=∏ ，已知数列{}n a 的通项公式632n n a =，若11n ki i i i a a ==≤∏∏对任意的*n N ∈恒成立，则正整数k =（）A ．5B ．6C ．7D ．8○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………确的个数是（）①若0d <，则数列{}n S 有最大项；②若数列{}n S 有最大项，则0d <；③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*n N ∈，均有0n S >；④若对任意的*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在ABC ∆中，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A =（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．34π8．已知两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且4363n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．69．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 3.14]4,[3.14]3-=-=．已知数列{}n a 满足：111,1n n a a a n +==++，则12111[...]na a a +++=()A ．1B ．2C ．3D ．410．数列{}n a 的首项123a =-，前n 项和为n S .已知12(2)n n nS a n S ++=≥，则使n S m ≥恒成立的最大实数m =（）A ．1-B ．89-C ．98-D ．79-第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．在等比数列{}n a 中，若13a =，548a =，则3a =_____，q =_______.12．在锐角三角形ABC ∆中，已知2A B =，则角B 的取值范围是_______，BCAC的取值范围是_____.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………13．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝______；当BC ＝1时，则△ABC 的面积等于______．14．已知数列{}n a 满足11a =，11(2)23n n n a a n a --=≥+，则通项公式n a =_______.15．已知数列{}2na 是等比数列，且1234552a aa a a π++++=，则3a =______；设函数2()sin 22cos2xf x x =+，记()n n y f a =，则12345y y y y y ++++=_______.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 为等比数列，且3cos 4B =，则11tan tan A C+=______.17．已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意正整数*n N ∈，不等式216n n mS S ->恒成立，则实数m 的取值范围是______.评卷人得分三、解答题18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且1510a a +=，2421a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*2n nn a b n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为，求b ，c .20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，若数列{1}n S +是公比为4的等比数列.（1）求n S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设4nn n b n a λ=∙+，*n N ∈，若数列{}n b 是递增数列，求实数λ的范围.21．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，现已知sin cos b A B =，3b =.（1）若512A π=，求边长c 的值；（2）求a c +的取值范围.22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23S =，*2,n n S n na n N =+∈.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）证明11,312(1)(2)n n a a n n n n n --=-≥----；（2）求{}n a 的通项公式；（3）设12n a n b +=，证明：122311111271112n n b b b n n b b b +----<++⋯+<---.参考答案1．B 【解析】【分析】由三角形的内角关系可得45B =︒,由“小边对小角”可得b 为最短边,利用正弦定理求解即可【详解】由题,18045=︒--=︒B A C ,因为“小边对小角”,即b 为最短边,由正弦定理可得sin sin b c B C =,22,解得3b =,故选:B 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,属于基础题2．D 【解析】由大边对大角，可知A B >，所以A 正确；由正弦定理可知，sin sin A B >，所以B 正确；由A B >，且cos y x =在()0,π单调递减，可知cos cos A B <，所以C 正确；当90,30A B ==时，a b >，但sin 2sin 2A B <，所以D 错误．故选D ．点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用．本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率．3．C 【解析】【分析】由三角形面积公式可得()2221sin 2S bc A a b c =⋅=-+,即2221sin cos 42b c a A A bc+-=-=-,利用22sin cos 1A A +=求解即可【详解】由题,()2221sin 2S bc A a b c =⋅=-+,则2221sin cos 42b c a A A bc+-=-=-,即sin 4cos A A =-,因为22sin cos 1A A +=,所以21cos 17A =,因为sin 0A >,所以cos 0A <,所以cos 17A =-,故选:C 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查余弦定理的应用4．D 【解析】【分析】分别求得123,,a a a ,利用等比中项可得2132a a a =,即可求得A ,进而将6n =代入n S 中得到结果【详解】由题,当1n =时,111a S A ==-；当2n =时,()()2211312a S S A A A =-=---=-；当3n =时,()()33219136a S S A A A =-=---=-,由等比中项可得2132a a a =,即()()()2162A A A --=-,解得3A =或0A =（舍）,所以13nn S =-,所以66131729728S =-=-=-,故选:D 【点睛】本题考查等比数列的和的应用,属于基础题5．A 【解析】【分析】若符合条件则需满足1k a ≥,进而找到符合条件的最大正整数即可【详解】由题,若11n kiii i a a ==≤∏∏对任意的*n N∈恒成立,即1kii a =∏为最大值,即找到满足1ka≥的最大正整数,则6312k ≥,所以263k ≤,当5n =时,523263=≤；当6n =时,626463=>,即51a ≥,61a <,所以当5k =时,11n kiii i a a ==≤∏∏对任意的*n N∈恒成立,故选:A 【点睛】本题考查数列的最值问题,考查等比数列的应用6．C 【解析】【分析】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na d n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可【详解】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na d n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于①,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故①正确；对于②,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故②正确；对于③,若对任意*n N ∈,均有0n S >,对应抛物线开口向上,则有0d >,故数列{}n S 是递增数列,故③正确；对于④,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上,则0d >,但无法确定0n S >恒成立,故④错误；故正确的有3个,故选:C 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用7．B 【解析】【分析】先整理条件为22222sin b a b A -=,利用b c =可得2222sin b c a bc A +-=,进而利用余弦定理求解即可【详解】由题,因为222(1sin )a b A =-,所以22222sin b a b A -=,因为b c =,所以2222sin b c a bc A +-=,则222sin cos 2b c a A A bc+-==,因为在ABC ∆中,所以4A π=,故选:B 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,属于基础题8．C 【解析】【分析】由等差数列的性质推导出2121n n n n a S b T --=,即可得到1241n n a b n =++,分析求解即可【详解】由题,()()()()1211212112121121214213624161224212213112n n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b T n n n b b -------+-+++======+-+-++++,所以若n na b 为整数,则1n +()n N *∈是12的因数,即1n +可取2,3,4,6,12,则n 为1,2,3,4,11,共有5个,故选:C 【点睛】本题考查等差数列前n 项和性质的应用,考查等差数列前n 项和公式的应用9．A 【解析】分析：由题意先求出数列{}n a 的通项公式，再求出12111...na a a +++，最后结合[]x 的定义求解．详解：∵11n n a a n +-=+，∴()12n n a a n n --=≥，∴()()()()11232211n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()n 1321n =+-++++ ()()122n n n +=≥，又11a =满足上式，∴()()*12n n n a n N +=∈．∴()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴[)12111111111...21211,222311n a a a n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴12111...1n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦．故选A ．点睛：本题考查累加法求数列的通项公式和利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力和理解运用新知识解决问题的能力，解题的关键是正确理解所给的运算的定义．10．A 【解析】【分析】当2n ≥时,112n n n n S S S S -++=-,整理可得111111n n S S --=++,可求得234S =-,则()14221n n n S =+-=++,即112n S n =-+,检验1n =时是否符合后,进而求解m 即可【详解】由题,当2n ≥时,112n n n n S S S S -++=-,即112n nS S -+=-,所以1111n n S S -+=--,则()111n n n S S S -+=-+,所以1111n n n S S S -=-++,所以111111n n S S --=-++,所以111111n n S S --=++,当2n =时,22212S a S ++=,即1221212a a a a a +++=+,所以2112a =-,所以21234S a a =+=-,所以2114S +=,则()14221nn n S =+-=++,所以112n S n =-+,当1n =时,11121123a S ==-=-+,符合,所以1112n S n =->-+,所以n S m ≥最大实数m 为1-,故选:A 【点睛】本题考查n a 与n S 的关系的应用,考查等差数列的定义的应用11．122±【解析】【分析】由题等比中项可得2315a a a =⋅,再根据2310a a q =⋅>解得3a ,利用等比数列的定义可得231a q a =,即可求得公比q 【详解】由等比中项可得2315a a a =⋅,即23144a =,因为2310a a q =⋅>,所以312a =,则2314a q a ==,所以2q =±,故答案为：12；2±【点睛】本题考查等比中项的应用,考查等比数列的定义的应用12．,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由ABC ∆是锐角三角形可知三个内角均是锐角,进而求解即可；利用正弦定理可得sin 2cos sin BC AB AC B==,进而根据B 的范围求解即可因为ABC ∆是锐角三角形,所以020202B A C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩,即()02022022B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩,解得,64B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,由正弦定理可得sin sin BC ACA B =,则sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin BC A B B B B AC B B B====,因为23cos 22B ⎛∈ ⎝⎭,所以BCAC∈,故答案为:,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭；【点睛】本题考查锐角三角形的几何性质,考查正弦定理的应用,考查余弦函数的范围13．14-16【解析】分析：由正弦定理得::2:3:4a b c =，设2,3,4a t b t c t ===，利用余弦定理能求出cosC ；当1BC =时，32AC =，根据ABC 的面积公式可求出结果．详解：由题意，根据正弦定理得，::2:3:4a b c =，设2,3,4a t b t c t ===，根据余弦得，()()()2222341cos 2234t t t C t t+-==-⋅⋅；由1BC =，则32AC =，又sin 4C ==，根据三角形面积公式得13122416ABC S =⋅⋅⋅= ，故答案为14-及16.点睛：本题考查角余弦值的求法，考查三角形面积的求法等基础知识，考查运用求解能力，是中档题.14．()*11231n n N -∈⋅-【分析】先取倒数可得11123132n n n n a a a a ---+==+,即111131n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,由等比数列的定义可得2n ≥时,21163n n a -+=⋅,即11231n n a -=⋅-,再检验1n =时是否符合即可【详解】由题,因为11(2)23n n n a a n a --=≥+,所以11123132n n n n a a a a ---+==+,所以111131n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,当2n =时,1211235a a a ==+,所以211516a +=+=,所以当2n ≥时,21163n n a -+=⋅,则11231n n a -=⋅-,即11231n n a -=⋅-,当1n =时,11121a ==-,符合,所以11231n n a -=⋅-,故答案为:()*11231n n N -∈⋅-【点睛】本题考查构造法求通项公式,注意检验1n =时是否符合条件15．2π5【解析】【分析】由{}2na 是等比数列可得{}n a 是等差数列,则123453552a a a a a a π++++==,即32a π=；则152432a a a a a π+=+==,由2()sin 22cossin 2cos 12xf x x x x =+=++,则()()151155sin 2cos 1sin 2cos 1f a f a a a a a +=+++++,利用诱导公式可得()()15f a f a +2=,进而求解即可由{}2na 是等比数列可得122n n a a q +=⋅,两边同时取对数,可得12log n n a q a +=+,即12log n n a a q +-=,因为q 为常数,所以2log q 为常数,所以数列{}n a 是等差数列,因为1234552a a a a a π++++=,则由等差中项可得3552a π=,所以32a π=；因为2()sin 22cos sin 2cos 12x f x x x x =+=++,又152432a a a a a π+=+==,所以()()151155sin 2cos 1sin 2cos 1f a f a a a a a +=+++++()()1111sin 2cos 1sin 2cos 1a a a a ππ=+++-+-+1111sin 2cos sin 2cos 2a a a a =+--+2=,同理,()()242f a f a +=,因为()3sin cos 1122f a f πππ⎛⎫==++=⎪⎝⎭,所以123452215y y y y y ++++=++=，故答案为:2π；5【点睛】本题考查等差中项的应用,考查诱导公式的应用,考查运算能力16．477【解析】【分析】由等比数列可设则b aq =,2c aq =,利用余弦定理可得2q =或12q =,再利用正弦定理得到sin sin A C ,与sin B 的关系,对于11tan tan A C+化切为弦,进而求解即可【详解】由,,a b c 是等比数列,则b aq =,2c aq =,由余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-⋅,即()()()22222324aq a aqa aq =+-⨯,解得2q =或12q =,因为11cos cos sin cos sin cos sin tan tan sin sin sin sin sin sin A C C A A C BA C A C A C A C++=+==,因为3cos 4B =,所以7sin 4B =,当2q =时,由正弦定理可得sin sin a bA B=,所以sin sin 2B A =,sin 2sin C B =,则11sin 147sin tan tan sin 772sin 24B B AC B B +===⋅；当12q =时,同理可得sin 2sin A B =,sin sin 2B C =,所以1147tan tan 7A C +=,故答案为:477【点睛】本题考查等比数列定义的应用,考查正弦定理的应用,考查同角的三角函数的商数关系的应用17．163m <【解析】【分析】设()2n n f n S S =-,若216n n mS S ->恒成立,需满足()min 16m f n >,利用()()1f n f n +-与0的大小关系判断数列的单调性,进而求解即可【详解】由题,设()21221112321n n n n n f n S S a a a n n n ++=-=+++=++++++ ,若216n n mS S ->恒成立,则()min 16m f n >,因为()()111111102322224242f n f n n n n n n n +-=+->-=++++++,所以()f n 是递增数列,则()()min 113f n f ==,即1163m <,即163m <,故答案为:163m <【点睛】本题考查数列的单调性的应用,考查放缩法的应用18．（1）21n a n =-（2）2332n nn T +=-【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质可得241510a a a a +=+=,由2421a a =,可解得24,a a ,从而得到d ,进而求得通项公式；（2）由（1）,212n nn b -=,利用错位相减法求解即可【详解】（1）∴{}n a 是等差数列,∴241510a a a a +=+=,又∵2421a a =,且0d >,∴243,7a a ==,∴42242a a d -==-,∴2(2)21n a a n d n =+-=-（2）由（1）,212n nn b -=.1231111135(21)2222n nT n ∴=⨯+⨯+⨯++-⨯ 2311111113(23)(21)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ 相减得,1123111111111111132342(21)2(21)21222222222212n n n n n n n T n n -+++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=--⨯+⨯+++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭- ,∴2332n nn T +=-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列性质的应用,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19．(1)3A π=(2)b c ==2【解析】【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==220．（1）134n n a -=∙；（2）289λ>-【解析】试题分析：（1）由{}1n S +是等比数列，求出其整体的通项公式，再得到41n n S =-，然后利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解；（2）{}n b 是递增数列，则()102n n b b n -->≥，整理后利用分离参数，解得答案．试题解析：（1）{}1n S +是等比数列，首项为114,4a q +==，则14n n S +=，所以41nn S =-；当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1134n n n n a S S --=-=⨯，则134n n a -=⨯．（2）1434nn n b n λ-=⋅+⨯⨯，因为{}n b 是递增数列，则()()214124902n n n b b n n λ---=++>≥，即12490n λ++>在2n ≥恒成立，所以1249n λ+>-，令()1249n f n +=-，则()f n 单调递减，()()max 2829f n f ==-，所以289λ>-．21．（1）c =2）(3,6]a c +∈【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得sin sin cos B A A B =,即可求得3B π=,进而得到4C π=,再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-,利用均值定理即可求得6a c +≤,再根据三角形的三边关系确定另一侧范围即可【详解】（1）∵sin cos b A B =,∴sin sin cos B A A B =,∵sin 0A ≠,显然cos 0B ≠,∴tan B =,即3B π=,又512A π=,所以4C π=,由正弦定理得,sin sin c bC B=22=,所以c =（2）∵2222cos b a c ac B =+-,∴222222()9()3()324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-=⎪⎝⎭,∴6a c +≤,又∵3a c b +>=,∴(3,6]a c +∈【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查余弦定理的应用,考查利用均值定理求范围,考查三角形的三边关系的应用22．（1）证明见解析（2）,3n a n n =≥（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题可得当2n ≥时,1121(1)n n S n n a --=-+-,与条件作差即可得12(1)1n n n a na n a -=--+,即12(1)1n n n a na n a -=--+,进而得证；（2）由（1）111112(1)(2)12n n a a n n n n n n --=-=-------,利用累加法求解即可；（3）由（2）,1122n a n n b ++==,则12112111212n n n n b b +++--=<--且1231112111111212222142n n n n n n b b +++-+--==-≥----⋅,求和后即可证明不等式成立【详解】（1）证明;∵2n n S n na =+,∴当2n ≥时,1121(1)n n S n n a --=-+-,∴12(1)1n n n a na n a -=--+,∴1(2)(1)1n n n a n a ----=-,∴当3n ≥时,1112(1)(2)n n a a n n n n --=-----（2）由（1）,当3n ≥时,111112(1)(2)12n n a a n n n n n n --=-=-------,则12112323n n a a n n n n ---=-----,…,3211212a a -=-,累加可得:21111n a a n n -=---,∵111221a S a ==+,∴11a =,又2123S a a =+=,所以22a =,∴112111n a n n n n =-+=---,∴n a n =,经检验,121,2a a ==符合上式,所以n a n=（3）证明:由（2）,1122n a n n b ++==,∵12112111212n n n n b b +++--=<--,∴122311111112n n b b b n b b b +---+++<--- ,∵1231112111111212222142n n n n n n b b +++-+--==-≥----⋅.∴121112311111111211121422142n n k n k n b b b n n b b b --=+---⎛⎫+++≥-=-- ⎪---⎝⎭∑ 127n >-∴122311111271112n n b b b n n b b b +----<++⋯+<---【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
浙江省余姚中学高一数学下学期第一次月考试题【会员独享】
浙江省余姚中学2011-2012学年高一数学下学期第一次月考试题（注：本试卷满分150分，时间120分钟，不准使用计算器）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简=--+CD AC BD AB ………………………………………………………（ ） A ． B ．0 C ．BC D ．2．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ-=，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ………………………………………………………（ ） A ．00⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．01⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3．一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知12,F F成060角，且12,F F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为………………………………（ ） A ．6 B ．2 C．．4．已知α为锐角，4sin 5α=，则tan()4πα+= …………………………………（ ） A ．17- B ．17C ．7-D ．75．下列各式中，值为12的是………………………………………………………（ ）A ．sin15cos15︒︒B ．22cossin 1212ππ- CD ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒ 6．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A 、B 、C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB =λ⋅+-λ⋅成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”.若已知1(3,1)P 、2(1,3)P -,且向量3OP 与向量(1,1)=a 垂直,则“向量3OP 关于1OP 和2OP的终点共线分解系数”为…………（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1-7．函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如右图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=，则该函数图象的一条对称轴为……………………………………………（ ）A ．2π=x B ．2π=x C ．2x = D ．1x =8．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：()xxS x a a -=-，()x xC x a a-=+，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是…………………（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③2()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ④2()()()()()S x y S x C y C x S y -=-. A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③9．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，||||,2==++且，则向量BA 在向量方向上的投影为……………………………………………………（ ）A ．21B ．23 C ．21- D ．23-10．在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=，则△ABC 的形状为………………………………………（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第II 卷（共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2016-2017学年浙江省余姚中学高一下学期第一次月考(4月)考试物理试卷
- 1 -2016-2017学年浙江省余姚中学高一下学期第一次月考（4月）考试物理试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间90分钟，其中必考题答题时间为60分钟，加试题答题时间为30分钟。
必考题满分为70分，加试题满分为30分，用【加试题】标出。
选择题部分一、选择题Ⅰ（本题共13个小题，每小题3分，共39分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
）1．关于功的单位，下列各式中用国际单位制表示正确的是 A.W ·s B.N ·m C.kg ·m 2/s 3D.kg ·m 2/s 22．如果某星球的密度跟地球相同，又知其表面重力加速度为地球表面重力加速度的4倍，则该星球的质量为地球质量的A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．64倍 3．当物体的速度发生变化时，下列说法正确的是A ．物体的动能一定发生变化B ．物体的机械能一定发生变化C ．一定有外力对物体做功D ．物体的合外力一定不为零4．2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102km 的预定轨道。
“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。
已知地球半径R=6.4×103km 。
下列说法正确的是 A ．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B ．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C ．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D ．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小5. 物体在合外力作用下做直线运动的v －t 图象如图所示，下列表述正确的是 A ．在0～1s 内，合外力做正功 B ．在0～2s 内，合外力总是做负功 C ．在1s ～2s 内，合外力不做功 D ．在0～3s 内，合外力总是做正功 6．下列关于离心现象的说法中正确的是A ．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动C ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动D ．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动 7．右图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点。
2019-2020学年宁波市余姚中学高一(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2019-2020学年宁波市余姚中学高一(下)第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知△ABC中，b=10，A=75°，C=60°，则c=()A. 5√2B. 5√6C. 5√3D. 10√22.在△ABC中，a=6，b=5，sinA=0.6，则角B为()A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 以上答案都不对3.已知△ABC的面积S=a2+b2−c24，则角C的大小是()A. π4B. π6C. π3或2π3D. π4或3π44.若等比数列{a n}的前n项和S n=a⋅3n−2，则a2=()A. 4B. 12C. 24D. 365.若正项等比数列{a n}满足a n a n+1=22n(n∈N∗)，则a6−a5的值是()A. √2B. −16√2C. 2D. 16√26.已知等差数列{a n}的前n项和S n，若a2+a3=8，S5=25，则该数列的公差为()A. −2B. 2C. −3D. 37.在△ABC中，已知b=√3，A=30°，c=2，则sinA+sinB+sinCa+b+c=()A. 14B. 12C. 2D. 28.在等差数列{a n}中，S9=18，S n=240，a n−4=30，则n的值为()A. 14B. 15C. 16D. 759.已知数列{a n}满足a1=5，a n a n+1=2n，则a7a3=()A. 2B. 4C. 5D. 5210.设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，则S10=()A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，则q=______．12.在△ABC中，B=2A，则ba的取值范围是______．13.ΔABC中，已知a=3,b=4,sinC=23，则此三角形的面积是__________.14.在数列{a n}中，a1=1，a n=1+1a n−1(n≥2)，则a5=______．15.已知{a n}为等差数列，a3+a5=98，a4+a6=92，则公差d=_______；若数列中的最小正数项为a k，则k=_______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA =bsinB，则A=______ ．17.数列{a n}的前n项和为S n，2S n−na n=n(n∈N∗)，若S20=−360，则a2=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知数列{a n}是等差数列，且满足：a1+a2+a3=6，a5=5．(Ⅰ)求a n(Ⅱ)记数列c n=2a n+1a n+2(n∈N∗)，若{c n}的前n项和为T n，求T n．19.在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a+b=5√2，2sinB=3sinA，且ΔABC的面积为3√3．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)求边c．20.设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1=S n+3n(n∈N+).(1)求证：{S n−3n}是等比数列；(2)若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．21.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=2，c=5，cos B=3．5(1)求b的值；(2)求sin C的值．22.设数列{a n}的前n项和为S n,S n=(n+1)a n−n，(1)写出a1,a2,a3；(2)求证：对任意n∈N∗,a n+1⩾1+a n．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可解得c的值．解：∵A=75°，C=60°，∴B=180°−A−C=45°，∵b=10，∴由正弦定理可得：c=bsinCsinB =10×√32√22=5√6．故选：B．2.答案：A解析：解：∵a=6，b=5，sinA=0.6，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =5×0.66=12，∵b<a，可得：B为锐角，∴B=30°．故选：A．由已知利用正弦定理可求sinB=12，利用大边对大角可求B为锐角，根据特殊角的三角函数值即可得解B的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：A解析：解△ABC的面积S=a2+b2−c24，∴12absinC=a2+b2−c24，又cosC=a2+b2−c22ab，∴12absinC=12abcosC，∴tanC=1，∵C∈(0,π)，∴C=π4．故选：A．由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanC=1，进而可求C的值．本题考查了三角函数的面积计算公式、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：∵S n=a⋅3n−2，∴a1=S1=a⋅31−2=3a−2，a2=S2−S1=(9a−2)−(3a−2)=6a，a3=S3−S2=(27a−2)−(9a−2)=18a，∵{a n}为等比数列，∴(6a)2=(3a−2)×18a，解得a=2，或a=0(舍)，∴a=2，∴a2=S2−S1=6a=12，故选B．由S n=a⋅3n−2，和{a n}为等比数列，解得a=2，由此能求出a2．本题考查等差数列的前n项和公式的简单应用，数列版块在新课标的背景下要求降低，只强调等差、等比数列通项、前n项和，题干比较新鲜．5.答案：D解析：本题考查等比数列的性质，属于基础题．根据递推关系可得a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1)22n=4=q2，求出q，进而即可求出结果．解：设正项等比数列{a n}的公比为q>0，∵a n a n+1=22n(n∈N∗)，∴a n+1a n+2a n a n+1=22(n+1)2=4=q2，解得q=2，∴a n2×2=22n，a n>0，解得an=22n−12，则a6−a5=2112−292=16√2，故选D．6.答案：B解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和S n，设公差为d，若a2+a3=2a1+3d=8，S5=25=5a1+10d，解得d=2，故选：B．由条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出该数列的公差．本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵b=√3，A=30°，c=2，∴由余弦定理可得：a=√b2+c2−2bccosA=√3√32=1，∴由正弦定理可得：a sinA=112=2，可得：sinA+sinB+sinCa+b+c=sinAa=12．故选：B．由余弦定理可求a，利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查等差数列前n项和公式的灵活应用，等差数列的性质．属于基础题．由等差数列前n项和公式，等差数列的性质，得出a5=2，a1+a n=a5+a n−4=32.整体代入前n项和公式求出n即可．解：根据等差数列前n项和公式，S9=(a1+a9)×92=18，又根据等差数列的性质，得a1+a9=2a5，则S9=9a5，解得a5=2，∴a5+a n−4=32．∴S n=(a1+ a n)×n2=(a5+a n−4)×n2=16n=240，∴n=15，故选B．9.答案：B解析：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意递推公式的灵活运用．解：∵a n+1a n+2a n+3a n+4a n a n+1a n+2a n+3=a n+4a n=2n+1·2n+32·2=22，∴令n=3，得a7a3=22=4．故选B．10.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：2解析：解：∵等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，∴a2+a5=q(a1+a4)=10q=20，解得q=2．故答案为：2．由已知条件，利用等比数列的通项公式得到a2+a5=q(a1+a4)，由此能求出公式q．本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．12.答案：(1,2)解析：解：根据题意，在△ABC中，B=2A，则A+B+C=π，即有3A+C=π，则有0<A<π3，b a =sinBsinA=sin2AsinA=2cosA，又由0<A<π3，则12<cosA<1，则有1<ba<2，即ba的取值范围是(1,2)；故答案为：(1,2)．根据题意，由三角形的内角和定理可得0<A<π3，又由正弦定理和二倍角公式年hi可得ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA，结合A的范围，分析可得答案．本题考查正弦定理的应用，涉及二倍角公式的应用，注意分析A的范围．13.答案：4解析：ΔABC 中，已知a =3,b =4,sinC =23，则此三角形的面积是：S =12absinC =12×3×4×23=4.故答案为4.14.答案：85解析：解：在数列{a n }中，a 1=1，a n =1+1a n−1(n ≥2)，可得a 2=1+1=2， a 3=1+12=32，a 4=1+23=53， a 5=1+35=85， 故答案为：85．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，考查计算能力．15.答案：−3;20解析：本题考查等差数列的通项公式和性质，考查等差数列的基本量计算与数列的函数特征，属于基础题． 由等差数列的通项公式和性质得出公差d ，从而得出数列的单调性，再由a 20=1>0，a 21=−2<0得出即可．解：由a 3+a 5=98，a 4+a 6=92，得a 4=49，a 5=46， 所以d =−3，所以数列{a n }单调递减，又a 3+a 5=a 1+2d +a 1+4d =98，解得a 1=58， 所以a 20=1>0，a 21=−2<0， 所以数列中的最小正数项为a 20， 即k =20．故答案为−3;20．16.答案：π4解析：解：由正弦定理得：a sinA =b sinB ，∵a cosA =b sinB ，∴sinA =cosA ，即tanA =1，则A =π4．故答案为：π4利用正弦定理列出关系式，结合已知等式得到cosA =sinA ，求出tan A 的值，即可确定出A 的度数． 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 17.答案：−1解析：解：∵2S n −na n =n(n ∈N ∗)，∴S n =n(a n +1)2，∴S 1=a 1=a 1+12，解得a 1=1， ∴S n =n 2(a 1+a n )，∴{a n }是等差数列，∵S 20=−360，∴S 20=20(1+a 20)2=−360，解得a 20+1=−36，即a 20=−37，∴19d =a 20−a 1=−38，解得d =−2，∴a 2=a 1+d =1−2=−1．故答案为：−1．由已知得S n =n(a n +1)2，从而S 1=a 1=a 1+12，解得a 1=1，进而S n =n 2(a 1+a n )，由此得到{a n }是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a 2．本题考查数列的第二项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.答案：解：(Ⅰ)∵数列{a n }是等差数列，且a 1+a 2+a 3=6，a 5=5，∴{3a 1+3d =6a 1+4d =5⇒{a 1=1d =1， ∴a n =n ，(Ⅱ)∵c n =2a n+1a n+2=2(n+1)⋅(n+2)=2⋅(1n+1−1n+2)，∴T n =2(12−13)+2(13−14)+2(13−14)+⋯+2(1n −1n +1)+2(1n +1−1n +2)=2(12−1n +2)=1−2n +2=n n +2解析：(Ⅰ)根据等差数列的定义构成方程组，即可求{a n }的通项公式；(Ⅱ)求出求数列{c n }的通项公式，利用裂项法即可求前n 项和S n ．本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力． 19.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵2sinB =3sinA ，∴由正弦定理可得：2b =3a ，又∵a +b =5√2，∴可得：a =2√2，b =3√2．∴S △ABC =12absinC =3√3，∴sinC =√32， ∵0<C <π2，∴C =π3．(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =14，∴解得：c =√14．解析：本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知及正弦定理可得：2b =3a ，结合a +b =5√2，解得a ，b 的值，利用三角形面积公式可求sin C ，结合C 的范围利用特殊角的三角函数值即可得解；(Ⅱ)由(Ⅰ)及余弦定理即可解得c 的值．20.答案：证明：(1)∵a n+1=S n +3n (n ∈N ∗)，∴S n+1=2S n +3n ，∴S n+1−3n+1=2(S n −3n )， ∵a 1≠3，∴数列{S n −3n }是公比为2，首项为a 1−3的等比数列；(2)由(1)得S n−3n=(a1−3)×2n−1，∴S n=(a1−3)×2n−1+3n，n≥2时，a n=S n−S n−1=(a1−3)×2n−2+2×3n−1，∵{a n}为递增数列，∴n≥2时，(a1−3)×2n−1+2×3n>(a1−3)×2n−2+2×3n−1，∴n≥2时，2n−2[12×(32)n−2+a1−3]>0，∴a1>−9，∵a2=a1+3>a1，∴a1的取值范围是a1>−9．解析：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)由a n+1=S n+3n(n∈N∗)，可得数列{S n−3n}是公比为2，首项为a1−3的等比数列；(2)n≥2时，a n=S n−S n−1=(a1−3)×2n−2+2×3n−1，利用{a n}为递增数列，即可求a1的取值范围．21.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，a=2，c=5，cosB=35．∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，∴b2=4+25−2×2×5×35=17，解得b=√17．(Ⅱ)∵cosB=35，B∈(0,π)，∴sinB=45，由正弦定理，得：bsinB =csinC，√1745=5sinC，解得sinC=4√1717．解析：本题考查正弦定理、余弦定理的合理运用．(Ⅰ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，由此能求出b的值．(Ⅱ)先求出sinB=45，再由正弦定理，能求出sin C的值．22.答案：解：(1)令n=1,S1=a1=2a1−1，解得a1=1；令n=2,1+a2=3a2−2，解得a2=32；令n =3,1+32+a 3=4a 3−3，解得a 3=116． (2)当n ⩾2时，a n =S n −S n−1=(n +1)a n −n −[na n−1−(n −1)]，整理得a n −a n−1=1n ，所以当n ⩾2时，a n −a n−1=1n ，a n−1−a n−2=1n−1，………a 2−a 1=12，a 1=1，将上述式子相加得a n =1+12+13+⋯+1n ．当n =1时，a 1=1，满足上式，所以a n =1+12+13+⋯+1n ．a n+1⩾1+a n 2等价于a n +1n+1⩾1+a n 2，即a n ⩾2(1−1n+1)． 因为a n+1−a n =1n+1>0，所以数列{a n }是递增数列．又a 4=2512>2，所以当n ⩾4时，a n ⩾a 4>2>2(1−1n+1)，又因为a 1=1=2(1−11+1)，a 2=32>2(1−12+1)，a 3=116>2(1−13+1)， 所以对任意n ∈N ∗，a n ⩾2(1−1n+1)，即n ∈N ∗,a n+1⩾1+a n 2．解析：本题考查由数列的递推公式，考查求解数列的通项公式，考查数列的单调性，属于较难题．(1)根据数列递推公式，分别代入n =1，n =2，n =3可得解；(2)由数列的递推公式解得a n −a n−1=1n ，利用叠加法得a n =1+12+13+⋯+1n ，即证明a n ⩾2(1−1n+1)，根据数列的单调性得解．。
浙江省宁波市余姚中学2016_2017学年高一数学下学期第一次质检试题(含解析)
【解答】解：对于函数 y=sin|2x|+|cos2x|，当 2x∈[0， ），y=sin2x+cos2x= sin（2x+
）；
当 2x∈[ ，π），y=sin2x﹣cos2x= sin（2x﹣ ）；
当 2x∈[π， ），y=﹣sin2x﹣cos2x=﹣ sin（2x+ ）；
当 2x∈[ ，2π），y=﹣sin2x+cos2x=﹣ sin（2x﹣ ）；
∵对于函数
，f（﹣x）=sin（﹣2πx+ ）≠﹣sin（2πx+ ），不
是奇函数，排除 B．
对于
，T=
≠1，排除 C．
对于 y=sinπxcosπx= sin2πx，为奇函数，且 T=
，满足条件．
故选 D． 2．已知函数
的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=g（x）的图象，则 y=g
（2）若数列 bn 是等差数列，且
，求非零常数 c；
（3）若（2）中的 bn 的前 n 项和为 Tn，求证：
．
2
18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象 y=4x﹣5 上，其中 n∈ N*．令 bn=an+1﹣2an，且 a1=1． （1）求数列{bn}通项公式； （2）求数列{nbn}的前 n 项和 Tn． 19．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，E，F 分别是 AC，AB 的中点， （1）若∠C=60°，b=1，c=3，求△ABC 的面积；
1
a4，a6 的等比中项为 ，数列
的最大值是 ．
10．在△ABC 中，已知向量 =（cos18°，cos72°）， =（2cos63°，2cos27°），则
浙江省余姚中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试卷
2015学年度余姚中学 高一数学期中试卷参考答案第二学期命题人 李辉 审题人 郭路栋一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1、已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ A ） A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒2、下列不等式中成立的是（ D ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11>a b3、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =x ·3n-1-,则x 的值为( C )A. B.- C. D.-4、在ABC ∆中，c b a ,,为内角,,A B C 的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ C ） A ．c b a ,,成等差数列 B ．b c a ,,成等差数列 C ．c b a ,,成等比数列 D ．b c a ,,成等比数列 5、在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列； ③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n ＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( D ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6、设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是（ D ） A ．8 B ．9C ．16D ．187、已知数列{a n }满足a n+1=+,且a 1=,则该数列的前2016项的和 等于( B )A.1511B. 1512C. 3024D.2016 8、变量x,y 满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y-3|的取值范围 是( A )A. B. C.[-2,3] D.[1,6]二、填空题（本大题共7小题，9-12每小题6分，每空3分，13-15每小题4分，共36分．请把答案填在题中的横线上）9、已知t a n t a n αβ、是方程2670x x ++=的两根，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2,ππβα，则t a n ()αβ+=_ 1 _；βα+= 43π- . 10、用正奇数按下表排列则2017在第 253 行第 2 列.11、“”称为a,b,c 三个正实数的“调和平均数”,若正数x,y 满足“x,y,xy 的调和平均数为3”,则x 与y 的关系式为 x+y+1=xy ；x+2y 的最小值是 7 .12、已知数列{}n a 有a a =1，22=a ，对任意的正整数n ，n n a a a S +++= 21，并有n S 满足2)(1a a n S n n -=，则a = 0 ；n a = 2（n-1） . 13、已知不等式34-+-x x ＜a 有解，则a 的取值范围为 a ＞1 . 14、若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是6－24.15、若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是____⎥⎦⎤⎝⎛1649,925 __.三、解答题（本大题共5个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分14分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边．已知2=a ，5=c ，53cos =B ． （1）求边b 的值； （2）求C sin 的值． 解：（1）17=b （2）17174sin =C17、（本小题满分15分）已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围； （2）若{}122M xx =<<，求不等式22510ax x a -+->的解集． 解：（1）∵2M ∈，∴225220a ⋅+⋅->，∴2a >- （2）∵{}122M xx =<<，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩ 解得2a =-∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+> 其解集为{}132x x -<<．18、（本题满分15分）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，成等差数列，它们的对边分别为a b c ，，，且满足:a b =2c =．（1）求,A B C ,； （2）求ABC ∆的面积S ．解：（1）∵A ，B ，C 成等差数列，∴2A C B +=，又∵180A B C ++= ，∴60120B A C =+= ，，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可知sin sin a Ab B=，sin sin sin 60A A =⇒， ∵0120A << ，∴45A = ，12075C A =-= ，综上，456075A B C === ，，；（2）sinC sin 75sin(3045)==+= ，由2sin 45sin 60sin 75a b ==⇒== ，得1)1)a b =，，∴11sin 1)2322ABC S ac B ∆==⨯⨯=-19、（本小题满分15分） 在数列{}n a 中，1a =21，其前n 项和为n s ，且)(211*+∈-=N n a s n n . （1）求n a ，n s ； （2）设2)12(log 2-+=n n s b ，数列{}n c 满足：()()n b n n n n n b b c 2)2)(1(143⋅+++=+⋅+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使1009122-≥n n T 成立的最小整数n 的值. 解：（1）由211-=+n n a S 得 )2(211≥-=-n a S n n2≥∴n 时,n n n a a a -=+1即n n a a 21=+ ①又1=n 时，2121-=a a ，,211=a 12=∴a 122a a =∴②由① ②及01≠a 得数列{}n a 为等比数列212221--=⋅=n n n a ， 2121-=-n n S （2）24,13,22)112(log 2+=++=+-=-+-=n b n b n b n n n n 则22)2)(1(1)2)(1(-⋅+++=++⋅n n n n n n c22221112)2)(1(1--++-+=+++=∴n n n n n n n c∴ ()212121211141313121--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=nn n n T ()212122121211+-=-++-=-n n n n ∴100912222-≥+-n n n , 得n ≥2016, 所以，使得1009122-≥n n T 成立的最小整数n 的值为2016.20、（本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前三项分别为1,3,5，n S 为数列的前n 项和，满足：()()()()2232*1113,,n n nS n S n n An Bn A B R n N +-+=+++∈∈. (1) 求,A B 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 若数列{}n b 满足()122122n bb n a +=++…()2n n b n N ++∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：(1) 解：1231,3,5a a a === ，1231,4,9S S S ∴===，在()()()22321113n n nS n S n n An Bn +-+=+++中，分别令1,2n n ==得：()()()()222122322231622316248324422332442S S A B A B A B S S A B ⎧-=++-=++⎧⎪⎪⇒⎨⎨-=++-=++⎪⎪⎩⎩ 43271A B A A B B +==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩. (2) 由(1)，()()()()2232*11133n n nS n S n n n n n N +-+=+++∈，变形为：()()22213311n n S S n n n N n n++-=++∈+，分别令1,2,n =…得()()222212223222213131121323213231311(1n n S S S S S S n n n n --=⨯+⨯+-=⨯+⨯+-=-+-++-()()()()()()()()()()22222*133121312112111312131621n S S n n n n n N n n n n n n n n -=+++-++++-+-≥∈-=⨯--++-=- ，且()2*2,n S n n n N ∴=≥∈且， 11S = ， ()2*n S n n N ∴=∈.()*1212n n n a S S n n n N -∴=-=-≥∈，且，11a = ，()*21n a n n N ∴=-∈(3) 当1n =时，114T b ==， 当2n ≥时，由()()*1221222n n n b b b n a n N +=+++∈ 得 112121222nn n b b bna ---=+++ ， 两式相减得：()()*1122n n n n bn a na n n N -+-=≥∈，且， ()()*4122,n n b n n n N ∴=-≥∈且， ()()()2343414721121524122872112452412(n n n n n T n T n n +∴=+⨯+⨯+⨯++-=+⨯+⨯++-+--()()23231472421222412n n n T n -+-=-+⨯+⨯++++-- ()()1*45282n n T n n n N +∴=-⋅+≥∈，且 14T = ，()()1*4528n n T n n N +∴=-⋅+∈.。
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浙江省余姚中学2016—2017学年度下学期第一次月考高一数学试题一、 选择题(=40)1.下列函数中，周期为1且是奇函数的是（ ） A. B. C. D.2. 已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式是（ ） A ． B ． C ． D ．3.在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则 ( )A ．B ．C ．D ．4.在数列{n a }中，已知a 1 =1，a 2=5，21(*)n n n a a a n N ++=-∈，则a 2007=（ ） A ．4 B ．-1 C ．1 D ．55.等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则其中间项为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D.316.在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( ) A. B. C. D.7.()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin 2cos 2sin -++= （ ） A. B. C. D.8.关于函数下列说法正确的是( ) A ．是周期函数,周期为 B ．在上是单调递增的C ．在上最大值为D ． 关于直线对称二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9. 在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知546523,23a S a S =+=+，则此数列的公比=_______，的等比中项为________，数列的最大值是___________.10.在ABC ∆中, 已知向量0000(cos18,cos72),(2cos63,2cos27),AB BC ==u u u r u u u r 则_______，__________，的面积为__________.11．若一个三角形两内角、满足，则的范围为__ .12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=，则cosC=__________，AB=___________. 13．在A B C ∆中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若b a >，则xB A x f ⋅-=)s i n (s i n )(在R 上是增函数；②若，则ABC 是；③的最小值为2-；④若cos2cos2A B =，则A=B ；⑤若2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则，其中错误命题的序号是_____.14．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .15. 已知数列{}n a 满足：1(a m m =为正整数），1,231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时，若，则所有可能的取值为 .三、解答题()16.已知向量2,1),(cos ,cos ),444x x xm n ==u r r 记.( 1 ) 若，求的值；(2) 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，若，试判断ABC 的形状．17.已知公差大于零的等差数列的前n 项和为S n ，且满足：，． （1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ；（3）若(2)中的}{n b 的前n 项和为n T ，求证：11)9(6432+-+>-n nn n b n b b T .18.已知数列的前项和为，点在一次函数图像上，其中. 令，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和.19. 在中,角的对边分别为，分别是,的中点，(1) 若，求的面积; (2) 若，恒成立，求的最小值. 20.设数列的各项都是正数，， ， .（1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .2016学年度余姚中学 高一数学第一次质量检测答案 第 二 学 期命题:张建华 审题:何彩芽一、选择题(=40)1.下列函数中，周期为1且是奇函数的是（ D ） A. B. C. D.2.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则的解析式是（ B ） A ． B ． C ． D ．3.在等差数列中，首项公差，若1237k a a a a a =++++，则 ( A )A ．B ．C ．D ．4.在数列{}中，已知a 1 =1，a 2=5，21(*)n n n a a a n N ++=-∈，则a 2007=（ A ） A ．4 B ．-1 C ．1 D ．55.等差数列共有项，其中奇数项之和为，偶数项之和为，则其中间项为（ B ） A. 28 B. 29 C. 30 D.316.在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( C ) A. B. C. D.7.()的最小正周期为函数x x x x x f cos sin 2cos 2sin -++= （ C ） A. B. C. D.8.关于函数下列说法正确的是( B ) A ．是周期函数,周期为 B ．在上是单调递增的C ．在上最大值为D ． 关于直线对称二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9. 在等比数列中，为其前项和，已知546523,23a S a S =+=+，则此数列的公比=____3____， 的等比中项为________，数列的最大值是___3________.10.在中, 已知向量000(c o s 18,c o s 72),(2c o s 63,2c os 27),A B B C ==u u u r u u u r 则_1________， _____2______，的面积为__________.11．若一个三角形两内角、满足，则的范围为 _.12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos(A －B)=，则cosC=__________，AB=______6_____. 13．在中，已知，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则①若，则x B A x f ⋅-=)sin (sin )(在R 上是增函数；②若222)cos cos (A b B a b a +=-，则ABC 是；③的最小值为；④若，则A=B ；⑤若2)tan 1)(tan 1(=++B A ，则，其中错误命题的序号是__3,5___.14．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .15. 已知数列满足：为正整数），1,231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时，若，则所有可能的取值为32,5,4 .三、解答题()16.已知向量2,1),(cos ,cos ),444x x xm n ==u r r 记.( 1 ) 若，求的值；(2) 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，若，试判断ABC 的形状．解：22(1)()cos cos 144411cos 22221sin 2623()sin 12262,2632cos()cos cos(2)3cos 2(12sin )1x x xf x x x x f x y y x x x παπααππαπαπ=+=++⎛⎫=++⎪⎝⎭⎛⎫=⇒+= ⎪⎝⎭=+=--==-=-=--=g g 令则（2） 由正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-= ，12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵ ∴11sin 2622263A A πππ⎛⎫++=⇒+=⎪⎝⎭或或 而，所以，因此ABC 为等边三角形17.已知公差大于零的等差数列的前n 项和为S n ，且满足：，． （1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ； （3）若(2)中的的前n 项和为，求证：11)9(6432+-+>-n nn n b n b b T .解：（1）为等差数列，∵，又，∴，是方程的两个根 又公差，∴，∴， ∴ ∴ ∴ （2）由(1)知，n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1 ∴∴，，∵是等差数列，∴，∴ ∴（舍去）（3）由(2)得n n nn b n 22122=--=44)1(2)22(3)(232221≥+-=--+=--n n n n b T n n ，时取等号41096491064)1(2)9(264)9(6421≤++=++=+⋅+⨯=++nn n n n n n n b n b n n ，时取等号18.已知数列的前项和为，点在一次函数图像上，其中. 令，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和.解：（1）∵，∴. ∴（）.∴（）. ∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a （）. ∴（）.∴数列等比，公比，首项，而，且，∴. ∴. ∴.（2）n nb b b b ++++= 321321432223222+⋅++⋅+⋅+=n n ， ①∴22543223222+⋅++⋅+⋅+=n n . ② ① -②得 -2143222222++⋅-++++=n n n ，∴.19. 在中,角的对边分别为，分别是,的中点，(1) 若，求的面积; (2) 若，恒成立，求的最小值.222212cos 801sin 2c a b ab C a a a S ab C =+---====解：（）由得面积22222222222222(2)6,4,3,22cos 2524cos 2cos 4024cos 2524cos 1514024cos 4024cos 1cos 1,164024cos 64149,1664AC m AB m AE m AF m ABE BE AB AE AB AE Am m AACF CF AC AF AC AF Am m ABE A CF A A A A BE t CF ====∆=+-=-∆=+-=--==---∴-<<∴<-<∴<<∴g g 令则在中，在中，得min77,88t ≥=即20.设数列的各项都是正数，， ， .（1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .解：⑴由条件得：()22112n n n n a a a a +++=+ ∴∵∴∴为等比数列∴⑵由 得 又 ∴⑶∵112n n a a +-=()32122/02n n ++=->（或由()22211122n n n n n n a a a a ++++-+=-即()()1112nn n n n a a a a ++-++=），∴为递增数列. ∴()()2111n n n n n n a a a a a a ++=+<+从而∴()()()212231111111111222n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++ 111221111212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-。