【数学】北京一零一中2019-2020学年高二下学期期末考试复习三
2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市101中学上学期高二期末考试数学试题一、单选题 1．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．【答案】A【解析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.2．设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【解析】,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa -， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB，∵sin sin A ba B-n =﹣1，∴两条直线垂直． 故选C ．3．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4．椭圆2214x y +=的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，使点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．以上答案均不正确【答案】A【解析】画出满足条件的图形，由112212,AO B B A O B B ⊥⊥可得出1FOA ∠为所求二面角的平面角，通过解三角形1FOA 即可求出二面角. 【详解】由椭圆2214x y +=得长轴124,A A = ，短轴122B B =.将坐标平面沿y 轴折成一个锐二面角，如图.设点A 1在平面122B A B 上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为F . 则1A F ⊥平面122B B A .所以1A F ⊥FO .由112212,AO B B A O B B ⊥⊥,所以1FOA ∠为所求二面角的平面角. 在1AOF △中，12,AO OF ===所以11cos OF FOA OA ∠==由条件二面角为锐角，所以1=30FOA ∠︒【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题. 5．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.6．已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，则可利用几何性质得到32MH =，故可得M 到y 轴的距离.【详解】抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=， 又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.7．正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，E 是棱BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为（ ）A ． BC ．D ．【答案】B【解析】设,F G 分别为,DC SC 的中点,则可证明AC ⊥平面EFG ，得到满足条件的动点P 的轨迹为EFG V ，然后求解即可. 【详解】由0PE AC ⋅=u u u r u u u r，即满足PE AC ⊥.设,F G 分别为,DC SC 的中点，连接,,,,AC BD EF FG GE . 设,AC BD 交于点O ，,AC EF 交于点1O . 所以在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD .所以SO AC ⊥,且AC BD ⊥, 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点.所以1//,//BD EF SO GO ,则有，1GO AC ⊥,AC EF ⊥,且11EF GO O =I 所以AC ⊥平面EFG .故当点P 在平面EFG 内时，有PE AC ⊥成立.所以动点P 的轨迹为平面EFG 截正四棱锥S -ABCD 的截面，即EFG V . 由,,E F G 分别为,,BC DC SC 的中点. 所以111,,222EF BD GE SB FG SD === 又正四棱锥S -ABCD 底面边长为2，高为1，所以22BD =,()21+2=3SB =.所以23EF FG GE ++=+故选：B【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.8．设点P 为双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）右支上的动点，过点P 向两条渐近线作垂线，垂足分别为A ，B ，若点AB 始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．（123] B ．（12]C ．23，+∞） D ．2，+∞）【答案】B【解析】结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果. 【详解】根据题意,因为点P 为双曲线右支上的动点,过点P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为A ,B ,若点AB 始终在第一、第四象限内,则有渐近线b y x a =的倾斜角不大于45︒,即1ba≤,则双曲线的离心率为c e a ====≤又1e >,则1e <≤故选B 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式c e a ====考查了理解能力和转化能力.二、填空题9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值 ． 【答案】6【解析】试题分析：根据题意，由于双曲线22163x y -=的222226,3,+93a b c a b c ====∴=右焦点坐标为3,0（），因此可知抛物线22y px=的焦点pp,03622p =∴=∴=（）,故答案为6 【考点】考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p 的值，属于基础题．10．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于2，点E ，F 分别是边BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为_____. 【答案】1【解析】结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果. 【详解】因为点E ,F 分别是边BC ,AD 的中点,则111()()224AE AF AB AC AD AB AD AC AD ⋅=+⋅=⋅+⋅uu u r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式1(22cos6022cos60)14=⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=.故答案为:1 【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.11．已知A （﹣1，0），B （1，0）两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，当0λ≠时，动点M 的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线. 【答案】①②③【解析】设点M 的坐标,得到N 点坐标,利用条件中2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r计算出关于动点M 的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形. 【详解】设(,)M x y ,则(,0)N x ,由题意2||MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r 计算可得2(1)(1)y x x λ=+-,化简得22x y λλ+=,又因为0λ≠,即得221y x λ+=,当0λ<时,其轨迹方程是双曲线;当0λ>且1λ≠时其轨迹方程是椭圆;当1λ=时其轨迹方程是圆,综上动点M 的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线. 故答案为: ①②③ 【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.12．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为_____． 【答案】2x ﹣4y +3＝0【解析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程. 【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= .故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.13．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为_____【答案】4105【解析】设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值. 【详解】设直线方程为y x b =+，代入椭圆方程并化简得2258440x bx b ++-=，21212844,55b b x x x x -+=-⋅=，()22264204416800b b b ∆=--=-+>，55b <<222641616168011225525b b b AB --+=+-=0b =时，max 804102255AB ==. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W 5≤|A 1P |6≤P 组成，则W 的面积是_____；四面体P ﹣A 1BC 的体积的最大值是_____.【答案】4π43【解析】156A P ≤≤,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大. 【详解】连接AP ,在正方体中可知1A A AP ⊥,则三角形1A AP 为直角三角形,又因为12A A =156A P ≤≤可计算得12AP ≤≤又因为点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动,则平面区域W 是以点A 为圆心,半径为12之间交正方形ABCD 的14圆环,所以平面区域W 的面积是221[(2)1]44ππ⨯-=;由题意可知当点P 在边AD 上时,四面体1P A BC -的体积最大值是114222323⨯⨯⨯⨯=. 故答案为: 4π； 43【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.三、解答题15．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +u u u r u u u r ）⋅OC u u u r的值.【答案】（1）1+i ；（2）﹣2.【解析】（1）先设出复数z 的表达式,结合已知条件中2z =,实部大于0,和2z 的虚部为2,列出方程求解出复数z 的表达式.（2）由（1）求出复数z 的表达式,即可得到z ,2z ,2z z -在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z =x +yi ,x 、y ∈R; 由|z |2=,得x 2+y 2=2;又z 的实部大于0即x >0, z 2=x 2﹣y 2+2xyi 的虚部为2xy =2, 所以xy =1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i ;（2）复数1z i =+,则22(1)2z i i =+=,2121z z i i i -=+-=-;则A （1,1）,B （0,2）,C （1,﹣1）;所以()(1,3)(1,1)113(1)2OC OA OB ⋅=⋅-=⨯+⨯-=+-u u u r u u u r u u u r.【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.16．如图在△AOB 中，∠AOB =90°，AO =2，OB =1，△AOC 可以通过△AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且OB ⊥OC ，点D 为斜边AB 的中点.（1）求异面直线OB 与CD 所成角的余弦值； （2）求直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【答案】（1）13；（225. 【解析】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线OB 与CD 的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.（2）先求出平面COD 的法向量,然后运用公式求出直线OB 与平面COD 所成角的正弦值. 【详解】（1）以O 为原点,OC 为x 轴,OB 为y 轴,OA 为z 轴,建立空间直角坐标系, O （0,0,0）,B （0,1,0）,C （1,0,0）,A （0,0,2）,D （0,12,1）, OB =u u u r （0,1,0）,CD =u u u r （﹣1,112，）, 设异面直线OB 与CD 所成角为θ,则cosθ1123914OB OB CD CD⋅===⋅⨯u u u r u u u r u u u u u r ur , ∴异面直线OB 与CD 所成角的余弦值为13. （2）OB =u u u r （0,1,0）,OC =u u u r （1,0,0）,OD =u u u r （0,12,1）,设平面COD 的法向量n =r（x ,y ,z ）,则0102n OC x n OD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u uv r u u uv r ,取2y =,得n =r（0,2,﹣1）, 设直线OB 与平面COD 所成角为θ, 则直线OB 与平面COD 所成角的正弦值为:sinθ2555OB nOB n ⋅==⋅=u u u r r u u u r r .【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.17．已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 为边长为2的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CMCPλ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BN BP ∈ . 【解析】试题分析：第一问取AC 中点O ，根据等腰三角形的性质求得PO AC ⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得PO OB ⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值μ与λ的关系式，利用函数的有关知识求得结果. （Ⅰ）方法1：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意 2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO == 所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =，所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥.因为PQ OQ Q ⋂=，,PQ OQ ⊂平面OPQ 所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥因为AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC 所以PO ⊥平面ABC 因为PO ⊂平面PAC 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P 由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为()0,1,0OB =u u u v由()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =v，则由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =v3cos ,331n OB n OBn OB⋅===⋅⋅u u u v v u u u v vu u u v v由二面角A PC B --是锐二面角， 所以二面角A PC B --的余弦值为3（Ⅲ）设BN BP μ=u u u v u u u v，01μ≤≤，则()()()1,1,01,0,11,1,BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v()()()1,1,00,1,11,1,AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v令0BM AN ⋅=u u u u v u u u v得()()()11110λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12,33λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，12,45μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12,45BN BP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）.（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.【解析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：2244(44)0p p p ∆=-->，解出p 的取值范围.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22{y px y x b==-+消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3【考点】直线与抛物线位置关系 【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内作往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221164x y +=；（Ⅱ）存在最小值8． 【解析】【详解】 （Ⅰ）设点，，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且1DN ON ==u u u r u u u r ，所以，且22002200(1,1.x t y x y ⎧-+=⎨+=⎩） 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点D 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=， 即所求的曲线C 的方程为221.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线，由22,{416,y kx m x y =++=消去y ，可得．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,{20,y kx m x y =+-=可得；同理可得．由原点O 到直线PQ 的距离为21m d k =+和21P Q PQ k x x =+-，可得． ②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--． 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．【考点】椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．。
北京市101中学2020届高三第二学期统练三数学试题及答案
√
√
π 4
,
则
cos
B
=
( ) √
(A)
7 3
(B) ±
7 3
(C) ± 2 3 2
√
(D)
22 3
【参考答案】A
√
由正弦定理
a sin A
=
b sin
B
,
得
9 π
sin
4
=
6 sin
B
,
解 得 sin B
=
2 3
,
所 以 cos2 B
=
√
1 − sin2 B =
7 9
.
因为
a
>
b,
所以
A
>
B,
④若存在正整数 T , 对任意 n ∈ N∗, 都有 an+T = an, 则 a1 是数列 {an} 的最大项.
所有正确的结论是 ( )
(A) ①②
(B) ②③
(C) ①②③
(D) ①②③④
【参考答案】(2019 上海闵行区一模 (改编) ) D
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三 第 2 页（共 11 页）
max{a1, a2, · · · , an−1} 表示 a1, a2, · · ·, an−1 中的最大项), 则以下结论:
①若数列 {an} 是常数列, 则 an = 0 (n ∈ N∗);
②若数列 {an} 是公差 d 0 的等差数列, 则 d < 0;
③若数列 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 q > 1;
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高三数学统考三
北京一零一中2019-2020 学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京一零一中2019-2020学年度第二学期期末考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（ ）A. {}12-<<x xB. {}12x x -≤≤C. {}{}12x x x x <-⋃> D. {}{}12x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到A 的解集，结合数轴表示A 的解集，进而可知A R【详解】由220x x -->有(2)(1)0x x -+>，则2x >或1x <- ∴{|2A x x =>或1}x <-，数轴上表示如下∴A =R{}12x x -≤≤故选：B【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，应用了一元二次不等式的解法，结合数轴求解集的补集2. 若0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，则（ ） A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的图像可以判断,,a b c 和0, 1的大小，从而可以判断出答案. 【详解】由指数函数的单调性有：0.70661a =>=，600.70.71b =<=.由对数函数的单调性有：0.70.7log 6log 10c =<= 所以a b c >>. 故选：D【点睛】本题考查利用插值法比较大小，考查指数函数、对数函数的图像和性质，属于基础题.3. 设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出11x -<的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，某男同学必须参加，则志愿者人员组成的不同方法种数为（ ） A. 642416C C B. 462416C CC. 542316C CD. 632415C C【答案】C 【解析】 【分析】结合分层抽样的性质可得抽取的男女生人数，再由组合的知识即可得解. 【详解】由题意，抽取的10名同学中，男生有241062416⨯=+人，女生有161042416⨯=+人，又某男同学必须参加，所以志愿者人员组成的不同方法种数为542316C C . 故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样及组合的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】试题分析：因为33230123[2(2)](2)(2)(2)x x a a x a x a x =+-=+-+-+-，所以212326a C ==，故选择B.考点：二项式定理.6. 下列函数()f x 图象中，满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭的只可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【分析】由题意结合函数图象的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数在()0,∞+上单调递增，所以不满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，函数在R 上单调递增，所以不满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>>⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ，函数图象开口朝上，且对称轴为1x =，所以17(3)44f f f ⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故可能满足1(3)(2)4f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：D.7. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.729【答案】B 【解析】 【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=， 开关3正常工作的概率20.9P =，故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =---=--⨯-=, 所以该系统的可靠性为0.981.8. 设函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1)2f -=-，(2)()(2)f x f x f +=+，则()5f =（ ） A. 0 B. 1C. 52D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1(1)2f =，令1x =-代入可得(2)1f =，再逐步计算即可得解. 【详解】因为函数()()f x x ∈R 为奇函数，1(1)2f -=-，所以1(1)2f =，又(2)()(2)f x f x f +=+，令1x =-，则(1)(1)(2)f f f =-+，所以(2)(1)(1)1f f f =--=， 所以3(3)(1)(2)2f f f =+=，5(3)(25)2()f f f =+=. 故选：C.9. 已知函数()2()xf x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+， 因为函数()f x 有最小值，且0x e >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解， 所以220x x a ++=有两个不等实根， 所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P-2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()f x =__________. 【答案】(,1)[1,)-∞-+∞【解析】 【分析】使函数式有意义即可．【详解】由题意101x x -≥+，(1)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，解得1x <-或1≥x ．故答案为：(,1)[1,)-∞-+∞．【点睛】本题考查求函数的定义域，一般使函数式有意义的自变量的取值范围即为函数的定义域，掌握基本初等函数的定义是解题关键．当然实际问题中自变量还有实际意义的限制． 12. 函数()ln 2f x x x =++的零点个数是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数的单调性结合3()0f e -<、(1)0f >，由零点存在性定理即可得解.【详解】由题意，函数()ln 2f x x x =++在()0,∞+上单调递增，又3333()ln 2320f e e e e ----=++=-++<，(1)ln112120f =++=+>， 所以函数()ln 2f x x x =++在区间()3,1e -内有1个零点， 所以函数()ln 2f x x x =++的零点个数是1. 故答案为：1.13. 已知55log log 2x y +=，则4x y +的最小值为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由对数运算的性质可得25xy =且0x >，0y >，再由基本不等式即可得解. 【详解】因为555log log log 2x y xy +==，所以25xy =且0x >，0y >， 所以42420x y xy +≥=，当且仅当4x y =即10x =，52y =时，等号成立， 所以4x y +的最小值为20. 故答案为：20.【点睛】本题考查了对数运算性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 设函数()|2|f x x x =-，则()f x 的极小值是__________. 【答案】0【解析】 【分析】按绝对值定义去掉绝对值符号后结合二次函数的单调性可得．【详解】由题意222,2()2,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，∴()f x 在(,1)-∞上递增，在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增， ∴2x =时，()f x 极小值＝(2)0f =． 故答案为：0．【点睛】本题考查求函数的极值，掌握极值的定义是解题关键，解题时可先确定函数的单调性，由单调性得极值．15. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()1(1),02x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨⎛⎫---> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()2020f 的值是________. 【答案】22log 3【解析】 【分析】转化条件可得当0x >时，()f x 的周期为3，进而可得()()20201f f =，运算即可得解. 【详解】因为当0x >时，()1(1)2f x f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 所以()1111(1)(1)2222f x f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-----=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，所以当0x >时，()f x 的周期为3，所以()()()()()21120202020673310log 1022f f f f f f ⎛⎫⎛⎫=-⨯==-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221102212log 1log 23f f f ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：22log 3. 【点睛】本题考查了函数周期性的判断与应用，考查了对数的运算，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 设{}2log A x Ry x =∈=∣，{}1221x xB x R -=∈->∣，则求A B .【答案】{}1x Rx ∈>∣ 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数的性质可得{}0A x Rx =∈>∣，{}1B x R x =∈>∣，再由交集的定义即可得解.【详解】由题意，{}{}2log 0A x R y x x R x =∈==∈>∣∣， {}(){}{21221222021x xxx x B x R x R x R -=∈->=∈-->=∈<-∣∣∣或}22x >{}1x R x =∈>∣，所以{}1x B x R A=∈>∣.【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的性质及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 17. 已知关于x的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【答案】（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知k 0<,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用k 0<且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且k 0< ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴k 0<且24240k ∆=-<∴6k <-∴k的取值范围是(-∞， 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．18. 已知函数2()af x x x=+（0x ≠，常数a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数，0a ≠时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数； （2）16a ≤． 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在[2,)+∞上恒成立求得a 的范围．【详解】（1）函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，0a =时，2()f x x =，则22()()()f x x x f x -=-==，()f x 为偶函数，0a ≠时，2()a f x x x -=-，2()()2f x f x x -+=不恒为0，2()()0a f x f x x --=≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）2()2a f x x x '=-，由题意3222()20a x a f x x x x-'=-=≥在[2,)+∞上恒成立， ∴[2,)x ∈+∞时，320x a -≥，即32a x ≤，此时32x 的最小值为16，∴16a ≤．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查用导数研究函数的单调性，掌握单调性与导数的关系是解题关键．19. 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（I ）合唱团学生参加活动的人均次数为2.3；（II ）04199P =；（III ）23E ξ=． 【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230 2.3100100⨯+⨯+⨯==． （II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==；41(0)99P ξ==. ξ的分布列：ξ的数学期望：20129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20. 对于函数y ＝H (x )，若在其定义域内存在x 0，使得x 0·H (x 0)＝1成立，则称x 0为函数H (x )的“倒数点”．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12(x ＋1)2－1. (1)求证：函数f (x )有“倒数点”，并讨论函数f (x )的“倒数点”的个数；(2)若当x ≥1时，不等式xf (x )≤m [g (x )－x ]恒成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞).【解析】【分析】（1）构造函数()1h x ln x x＝－ (x >0)，转化为研究该函数的零点问题即可； （2）对不等式进行转化得2x ·ln x ≤m (x 2－1)，当x ≥1时恒成立，构造函数()12?d x ln x m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－，x ≥1，通过求导分析函数的单调性最值求参数范围即可.【详解】(1)证明设h(x)＝ln x－(x>0)，则h′(x)＝＋>0(x>0)，所以h(x)在(0，＋∞)为单调递增函数．而h(1)<0，h(e)>0，所以函数h(x)有零点且只有一个零点．所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，设d(x)＝2ln x－m，x≥1.'d x＝，x≥1，则()易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4m2.①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；②当0<m<1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0<x1<1<x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；③当m＝0时，d′(x)>0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；④当－1<m<0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意；⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)>d(1)＝0，不合题意．综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．【点睛】本题考查了运用导数求含有参量的函数单调区间及不等式恒成立问题，在求单调区间时需要注意分类讨论，做到不漏情况，属于中档题.。
2020年北京第一零一中学高二数学理下学期期末试题含解析
2020年北京第一零一中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为45°，顶点B在平面α上的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，可得当O、B、A、C四点共面时顶点A与点O的距离最大，设此平面为β．由面面垂直判定定理结合BO⊥α，证出β⊥α．过D作DE⊥α于E，连结CE，根据面面垂直与线面垂直的性质证出DH∥α，从而点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离．设正四面体ABCD的棱长为1，根据BC与平面α所成角为45°和正四面体的性质算出H到平面α的距离，从而在Rt△CDE中，利用三角函数的定义算出sin∠DCE=，即得直线CD与平面α所成角的正弦值．【解答】解：∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，CH=BC=∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO=45°，结合∠HCB=30°得∠HCO=75°因此，H到平面α的距离等于HCsin75°=×=过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE=∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于故选：A2. 已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）参考答案：A【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．3. 命题“，都有”的否定是（）A x>0，使得B ，都有x2－x>0C x>0，都有x2－x>0D ，使得x2－x>0参考答案：D略4. 如图，汉诺塔问题是指有3根杆子A，B，C，杆上有若干碟子，把所有的碟子从B杆移到A杆上，每次只能移动一个碟子，大的碟子不能叠在小的碟子上面，把B杆上的3个碟子全部移动倒A杆上，最少需要移动的次数是（）A、12B、9C、6D、7参考答案：D5. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF参考答案：B【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ESF＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7. 椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略8. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．（－2，2） B．（－1，1） C． D．参考答案：C9. 数列{a n}是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取的最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当S n取的最小正值时n的值．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值，故选：C．10. 掷一枚质地均匀的骰子，则掷得点数为1的概率是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P，使满足∠APB＞90°，则P点出现的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；概率与统计．【分析】在矩形ABCD内以AB为直径作半圆，如图所示．由直径所对的圆周角为直角，可得当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°．因此，算出半圆的面积和矩形ABCD的面积，利用几何概型公式加以计算，即可得到P点出现的概率．【解答】解：在矩形ABCD内，以AB为直径作半圆，如图所示．∵P点在半圆上时，∠APB=90°，∴当点P位于半圆内部满足∠APB＞90°．∵矩形ABCD中，AB=5，BC=7，∴矩形ABCD的面积S=AB×BC=35．又∵半圆的面积S'=×π×（）2=，∴点P出现的概率为P===．故答案为：【点评】本题给出矩形ABCD，求矩形内部一点P满足∠APB＞90°的概率．着重考查了半圆、矩形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．12. 若方程有实根，则实数m的取值范围是▲．参考答案：由题得若方程有实根等价于=x+m有解，y=等价于：表示x 轴上方的部分椭圆，当直线y=x+m经过椭圆的又顶点（2,0）时为相交的一个临界值此时m=-2，当直线与椭圆的左上半部分相切时为第二个临界值，此时联立方程得：，求得：，因为与上半部分相交故直线与y轴的交点为正值，故m=，所以综合得：m的取值范围是.13. 由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为．参考答案：e﹣ln2﹣1【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=e x﹣在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：∵曲线，y=e x，直线x=1交点为（0，1）、（1，e）和（1，）∴曲线，y=e x，直线x=1所围图形的面积为S===﹣=e﹣ln2﹣1故答案为：e﹣ln2﹣114. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__________（写出所有正确结论的编号）．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．参考答案：①③④⑤考点：棱柱的结构特征．专题：综合题．分析：先画出图形，再在底面为正方形的长方体上选择适当的4个顶点，观察它们构成的几何形体的特征，从而对五个选项一一进行判断，对于正确的说法只须找出一个即可．解答：解：如图：①正确，如图四边形A1D1BC为矩形②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤．故答案为①③④⑤点评：本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断，棱柱的结构特征，能力方面考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．找出满足条件的几何图形是解答本题的关键15.已知正数x、y满足x + y = 5，若lg x + lg y ≤ k恒成立，则k的最小值是_ _ 。
2019-2020学年北京市101中学高二下学期期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市101中学高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=Z，若集合A={x∈Z|(x−4)(x−1)≥0}，则∁U A=()A. {2,3}B. {1,2，3}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4}2.若|log a|=log a，|log b a|=−log b a，则a，b满足的条件是()A. a>1，b>1B. 0<a<1，b>1C. a>1，0<b<1D. 0<a<1，0<b<13.若α，β∈R，则α+β=90°是sinα+sinβ>1的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分又不必要条件4.将2本相同的小说，2本相同的画册全部分给3名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有()A. 6B. 9C. 12D. 155.x(x−1x)6展开式中含x项的系数是()A. 20B. −20C. −60D. −106.以下不等式在x>0时不成立的是()A. lnx<xB. x<e xC. lnx+1>e xD. e x>1+x7.四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功．否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有两人游戏成功的概率为()A. 127B. 827C. 1127D. 898.(1)已知函数的定义域为，是奇函数，且当时，，若函数的零点恰有两个，则实数的取值范围是()A.B.C.D.或(2)对于函数在其定义域内任意的且，有如下结论：①；②；③；④．上述结论中正确结论的序号是________．9.函数f(x)=ax 3−6ax 2+b(a >0)在区间[−1,2]上的最大值为3，最小值为−29，则( )A. a =2，b =−29B. a =3，b =2C. a =2，b =3D. 以上都不对10. 设函数f(x)=lnx +a(x 2−3x +2)，若f(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1]B. [−1,0]C. [0,2]D. [−1,1]二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若函数f(x)={log 2x,x >0a x −1,x ≤0，已知f(−1)=2，则f(f(−2))=______．12. 已知函数，若有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值围是13. 满足log 2(lg|x|)=1的实数x 的值为______． 14. 已知函数，若函数f(x)存在极值，且所有极值之和小于，则实数a 的取值范围是 ．15. 已知函数f(x)={f(x −2),x ≥0x 2,x <0，则f(2018)=______．三、解答题（本大题共5小题，共55.0分）16. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|m −3≤x ≤m +3}，m ∈R (1)若A ∩B =[2,3]，求m 的值 (2)若A ⊆∁R B ，求m 的取值范围．17. 已知函数f(x)=2x2x +1+a 是奇函数．(1)求实数a 的值；(2)判断f(x)在R 上的单调性并用函数单调性的定义证明；(3)对任意的实数x ，不等式f(x)>2m −1恒成立，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f (x )={2−(13)x,x ≤012x 2−x +1,x >0(1)请在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象，并由图像写出该函数的单调区间； (2)若函数g (x )=f (x )−m 恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围．19. 浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”． (Ⅰ)分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；(Ⅱ)从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．20. 已知函数f(x)=2x 3+2ax 2+bx +c 在x =−12与x =1时都取得极值． (1)求a 、b 的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x ∈[−1,2]，不等式f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x∈Z|(x−4)(x−1)≥0}={x∈Z|x≥4或x≤1}，∴∁U A={x∈Z|1<x<4}={2,3}．故选：A．求出A中不等式的解集进而求出整数解，确定出A，找出A的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：先利用|m|=m，则m≥0，|m|=−m，则m≤0，将条件进行化简，然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围．∵|log a|=log a，∴log a≥0=log a1，根据对数函数的单调性可知0<a<1．∵|log b a|=−log b a，∴log b a≤0=log b1，但b≠1，所以根据对数函数的单调性可知b>1．3.答案：D解析：解：例如α=91°，β=−1°，满足“α+β=90°”，但不满足“sinα+sinβ>1”，反之，当α=45°，β=46°，满足sinα+sinβ>1，但不满足α+β=90°．所以“α+β=90°”是“sinα+sinβ>1”的既不充分也不必要条件故选D．通过举反例说明前者推不出后者，后者推不出前者，根据充要条件的有关定义判断出结论．判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立能否推出后者成立，后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的有关定义进行判断．4.答案：C解析：解：第一类：有一个人分到一本小说和一本画册，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本画册分到一个人手上，有3种分法，将剩余的1本小说，1本诗集分给剩余2个同学，有2种分法，那共有3×2=6种第二类，有一个人分到两本画册，这种情况下的分法有：先将两本画册分到一个人手上，有3种情况，将剩余的2本小说分给剩余2个人，只有一种分法．那共有：3×1=3种，第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法同上，共有：3×1=3种，综上所述：总共有：6+3+3=12种分法，故选：C．分三类，有一个人分到一本小说和一本画册，有一个人分到两本画册，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得．本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题．5.答案：B解析：解：因为(x−1x )6展开式的通项公式为：T r+1=∁6r⋅x6−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅∁6r⋅x6−2r；令6−2r=0⇒r=3；故x(x−1x)6展开式中含x项的系数是：(−1)3⋅∁63=−20；故选：B．求出(x−1x)6展开式的常数项即可求解结论．本题考查二项式定理的运用，考查利用展开式确定指定项的系数，解题的关键是正确写出展开式的通项．属于基础题．6.答案：C解析：解：对于选项A：直接利用函数的图象：如图所示：直线函数的图象在对数函数的图象的上方，故选项A正确．对于选项B：直接利用函数的图象，如图所示：指数函数的图象在直线函数的图象上方，故选项B正确．对于选项C：指数函数的图象在对数型函数的图象上方，故选项C错误．对于选项D：直接利用函数的图象，如图所示：指数函数的图象在直线函数的图象上方，故选项D正确．故选：C ．直接利用函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生对函数的图象和性质的应用，属于基础题型．7.答案：C解析：解：由题意，成功的概率为13，四人中只有1人成功的概率为C 41⋅13⋅(23)3=3281，都不成功的概率为1681，∴在一轮游戏中，至少有两人游戏成功的概率为1−3281−1681=1127． 故选：C ．由题意，成功的概率为13，四人中只有1人成功的概率为C 41⋅13⋅(23)3=3281，都不成功的概率为1681，利用互斥事件的概率公式求出在一轮游戏中，至少有两人游戏成功的概率．本题考查二项分布与互斥事件概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8.答案：D解析：试题分析：(1)要使函数的零点恰有两个，则根据函数是奇函数，则只需要当时，函数的零点恰有一个即可．(2)利用对数的基本运算性质进行检验即可． (1)因为是奇函数，所以也是奇函数，所以要使函数的零点恰有两个，则只需要当时，函数的零点恰有一个即可．由得，，若，即，解得．若，要使当时，函数只有一个零点，则，所以此时，，解得．综上或．故选D ．(2)利用对数的基本运算性质进行检验： ①； ②；③在单调递增，可得；④，，由基本不等式可得，从而可得．故答案为：②③．考点：(1)函数的零点；(2)对数单调性的判断与证明；(3)基本不等式的应用．9.答案：C解析：解：函数的f(x)的导数f′(x)=3ax2−12ax=3ax(x−4)，∵a>0，∴由f′(x)<0解得0<x<4此时函数单调递减，由f′(x)>0，解得x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[−1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x=0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)=b=3，则f(x)=ax3−6ax2+3，f(−1)=−7a+3，f(2)=−16a+3，则f(−1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)=−16a+3=−29，解得a=2，故a=2，b=3，故选：C求函数的导数，判断函数在闭区间上的最值，即可得到结论．本题主要考查函数最值的应用，根据函数最值和导数之间的关系是解决本题的关键．10.答案：A解析：本题考查不等式恒成立问题的解法，导数的几何意义，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．解：f(x)>0整理得a(x2−3x+2)>−lnx，如图：为了满足不等式恒成立，则a ≥0，且在x =1处的切线斜率，f′(1)≤g′(1)， 所以f′(x)=1x ，g′(x)=a(2x −3)， 所以f′(1)≤g′(1)得a ≤1， 综上，0≤a ≤1． 故选A ．11.答案：3解析：解：∵函数f(x)={log 2x,x >0a x −1,x ≤0，f(−1)=2，∴f(−1)=a −1−1=2， 解得a =13， ∴f(x)={log 2,x >0(13)x −1,x ≤0，∴f(−2)=(13)−2−1=8， f(f(−2))=f(8)=log 28=3． 故答案为：3． 推导出f(−1)=a−1−1=2，从而a =13，进而f(x)={log 2,x >0(13)x −1,x ≤0，f(−2)=(13)−2−1=8，f(f(−2))=f(8)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：解析：根据已知可得有且仅有两个不等实根，即函数与的图象有两个交点，当时，显然成立；当时，要使题意成立，需满足即，所以有；当时，要使题意成立，只有直线与相切的情况，可求得此时；综上所述实数a的取值范围为。
北京101学校2019-2020学年高二下学期期末考试化学试题 Word版含解析
北京一零一中2019－2020学年度第二学期期末考试高二年级化学友情提示：1.本试卷分为Ⅰ卷、Ⅱ卷两部分，共25个小题，共8页，满分100分；答题时间为90分钟；I卷选择题请在智学网上直接作答，II卷非选择题写在答题纸上，拍照上传。
2.可能用到的相对原子质量：H－l C－12 O－16 Cl－35.5Ⅰ卷选择题(共42 分)本卷共21 小题，每小题2 分，共42 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.以下各种装置工作时是由化学能转变为电能的是A B C D太阳能电池风力发电氢氧燃料电池电解熔融NaClA. AB. BC. CD. D【答案】C【解析】【详解】A.太阳能电池是光能转化为电能，故A不符合题意；B.风力发电是把风能转化为电能，故B不符合题意；C.氢氧燃料电池是把化学能转化为电能，故C符合题意；D.电解熔融NaCl是把电能转化为化学能，故D不符合题意；故答案为C。
2.下列物质属于强电解质的是A. FeB. NH3C. H2OD. CaCO3【答案】D【解析】【分析】电解质：在水溶液中或熔融状态下能够导电的化合物；非电解质：在熔融状态和水溶液中都不能导电的化合物；强电解质一般是强酸、强碱和活泼金属氧化物以及大部分盐，它们溶于水的部分或者熔融状态时，可以完全变成阴、阳离子，弱电解质在溶液中只能部分电离，据此进行判断。
【详解】A．Fe是单质，既不是电解质也不是非电解质，故A不符合题意；B．氨气本身不能电离出阴阳离子，属于非电解质，氨气溶于水后，结合成NH3•H2O，能够电离出离子，故B不符合题意；C．H2O部分电离，存在电离平衡即H2O⇌H++OH-，是弱电解质，故C不符合题意；D．CaCO3溶于水的部分或者熔融状态下完全电离，属于强电解质，故D符合题意；答案为D。
3.如图所示为锌铜原电池。
下列叙述中正确的是A. 盐桥的作用是传导电子B. 外电路电流由铜片流向锌片C. 锌片上发生还原反应D. 铜片做正极，电极反应是：Cu－2e－= Cu2+【答案】B【解析】【分析】因为锌的金属性比铜强，所以锌片作负极，铜片作正极。
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高二数学期末复习三PDF无答案
(D) (−∞, +∞)
二、填空题共 5 小题。
√
11. 函数 f (x) =
x+3 x
的定义域是 ＿＿＿＿＿ .
12.
若函数
f (x)
=
x2 + bx + c, 2,
x 0, x>0
满足 f (−4) = f (0), f (−2) = −2, 则关于 x 的方程
f (x) = x 的解的个数为 ＿＿＿＿＿ .
13. 若正数 x, y 满足 x + 3y = 5xy, 则 x + y 的最小值为 ＿＿＿＿＿ .
14. 已知函数 y = f (x) 的导函数有且仅有两个零点, 其图象 如图所示, 则函数 y = f (x) 在 x = ＿＿＿＿＿ 处取得极 值.
15.
已知函数
f (x)
=
1, 0,
x ∈ Q, x ∈ RQ,
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18.
设函数
f (x) = ax2 +
1 x
(a ∈ R).
(1) 讨论函数 f (x) 的奇偶性, 并说明理由;
(2) 若 a >
1 2
,
试判断函数
f (x) 在 [1, +∞) 上的单调性, 并用函数单调性定义进行证明.
的序号是 ＿＿＿＿＿ .
则 f [ f (x)] = ＿＿＿＿＿ ; 下面三个命题中, 所有真命题
①函数 f (x) 是偶函数;
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②任取一个不为零的有理数 T , f (x + T ) = f (x) 对 x ∈ R 恒成立; ③存在三个点 A(x1, f (x1)), B(x2, f (x2)), C(x3, f (x3)), 使得 △ABC 为等边三角形. 三、解答题共 5 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16. 解方程 3x+2 − 32−x = 80.
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析
北京一零一中学2019-2020学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某三棱柱侧棱和底面垂直，底面边长均为a，侧棱长为2a，其体积为，若它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )A. 4B.C. 8D.参考答案：B2. 如图，在三棱锥中，面，，，，，则（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意可得，设，则，，在中，，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故选D．3. 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B4. 设复数满足，则（）A．B．C．D．参考答案：A5. 已知向量，若，则实数（）A. 2B. －2C.D.参考答案：D【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．【详解】向量（2，﹣1），（1，λ），则（4，﹣1+2λ），（3，﹣2﹣λ），又（）∥（），所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，解得λ．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6. 设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e 是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3参考答案：C【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．7. 若展开式各项系数和为256，设为虚数单位，复数的运算结果为（）A．4 B．-4 C．2 D．-2参考答案：B8. 已知，，若，那么与在同一坐标系内的图像可能是（）参考答案：C略9. 过椭圆+=1（0<b<a）中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0)，则△ABF2的最大面积是（）A．ab B．ac C．bc D．b2参考答案：C略10. 已知则A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调减区间为 .参考答案：（-1,11）12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则______参考答案：【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.13. 定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略14. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第（）项能力特征用表示，若学生的十二项能力特征分别记为，，则两名学生的不同能力特征项数为（用表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．参考答案：22设第三个学生为则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．15. 下面有六个命题：①函数在第一象限是增函数.②终边在坐标轴上的角的集合是③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点.④函数⑤的图象中一条对称轴是⑥函数的最小正周期是。