高一数学第二章平面向量小结复习课
人教版高中数学第二章平面向量小结(共20张PPT)教育课件
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• 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
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高中数学 第二章 平面向量复习课(一)
高中数学 第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ .0//1221=-⇔y x y x .02121=+⇔⊥y y x x4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x +⋅++==θ6. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
高一数学课件 平面向量小结与复习
λ(a+b)=λa+λb.
▪ 坐标运算
设a=(x,y),则
λa=λ(x,y)=(λx,λy)
平面向量的数量积
▪ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
▪ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=x1x2+y1y2
平面向量 小结与复习
内容提要 常见问题 例题
加法运算
▪ 加法法则
b b
a
a
▪ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a
▪ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
减法运算减法法则A Nhomakorabea坐标运算
a
B
b
O
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
常见问题
➢向量具有大小和方向两个要素。 ➢共线向量与平面向量的两条基本定理。 ➢向量的数量积是一个数。 ➢根据向量的数量积，计算向量的长度、平
面内两点间的距离、两个向量的夹角等。 ➢数量积不满足结合率。
例题
已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，ka+b与a-3b平 行？平行时它们是同向还是反向？ 解：当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使
中点坐标公式
x x1 x2 , 1
y y1 y2 . 1
高一数学必修四第二章 平面向量章末总结
高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。
在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。
下面我将对这一章内容进行总结。
第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。
平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。
平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。
平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。
平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。
平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。
第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。
加法和数乘的运算统称为线性运算。
数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。
第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
高中数学 第二章 平面向量章末小结与测评教案(含解析)高一数学教案
第二章 平面向量考点一平面向量的线性运算1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB ＋BC ＝AC ； 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法．特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使AP ＝x AB ，或对直线外任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)．(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1] 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DCAB＝k ，设AD ＝e 1，AB ＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量DC 、BC 、MN .解：∵AB ＝e 2，且DC AB＝k ， ∴DC ＝k AB ＝k e 2.∵AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0， ∴BC ＝－AB －CD －DA＝－AB ＋DC ＋AD ＝e 1＋(k －1)e 2. 又∵MN ＋NB ＋BA ＋AM ＝0， 且NB ＝－12BC ，AM ＝12AD ，∴MN ＝－AM －BA －NB ＝－12AD ＋AB ＋12BC ＝k ＋12e 2.[对点训练]1.如图，在△ABC 中，AQ ＝QC ，AR ＝13 AB ，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ，求实数λ和μ的值； (3)确定点P 在边BC 上的位置． 解：(1)由AQ ＝12AC ，可得BQ ＝BA ＋AQ ＝－AB ＋12AC ，又AR ＝13AB ，所以CR ＝CA ＋AR ＝－AC ＋13AB .(2)将BQ ＝－AB ＋12AC ，CR ＝－AC ＋13 AB ，代入AI ＝AB ＋λBQ ＝AC ＋μCR ， 则有AB ＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB ―→＋12AC ―→ ＝AC ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC ―→＋13AB ―→ ， 即(1－λ) AB ＋12λAC ＝13μAB ＋(1－μ) AC .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.(3)设BP ＝m BC ，AP ＝n AI .由(2)，知AI ＝15 AB ＋25AC ，所以BP ＝AP －AB ＝n AI －AB＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AB ―→＋25AC ―→ －AB ＝2n 5AC ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5－1 AB ＝m BC ＝m AC －m AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n5－1，m ＝2n5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.所以BP ＝23BC ，即BPPC＝2，P 是边BC 上靠近C 的三等分点．若a ＝(a 1，a 212①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.[典例2] (1)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2), 若a ∥b, 则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：(1)由已知，得AB ＝(3，－4)，所以| AB |＝5， 因此与AB 同方向的单位向量是15 AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C.(3) AB ＝(2,1)，CD ＝(5,5)，向量AB ＝(2,1)在CD ＝(5,5)上的投影为|AB |cosAB ，CD＝| AB |·AB ―→·CD ―→|AB ―→||CD ―→|＝AB ―→·CD ―→|CD |―→ ＝155 2＝3 22，故选A.答案：(1)A (2)C (3)A [对点训练]2．(1)若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30° B．60° C ．120° D．150° 解析：(1) AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.(2)a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：(1)D (2)C考点三平面向量的数量积1两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律，即a ·b ＝b ·a ；③分配律，即(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3] 已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2. ∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c .∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ，得0＝8m －4a ·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6.∴a ·b ＝±2 6. ∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]3．(1)已知单位向量a ，b 的夹角为π3，则|a －2b |＝________.(2)已知e 为单位向量，|a |＝4，a 与e 的夹角θ＝2π3，则a 在e 方向上的投影为________．(3)已知在△ABC 中，∠A ＝π2，AB ＝2，AC ＝4，AF ＝12 AB ，CE ＝12CA ，BD ＝14BC ，则DE ·DF 的值为________．解析：(1)∵单位向量a ，b 的夹角为π3，∴|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×1×1×cos π3＋4＝1－2＋4＝3，∴|a －2b |＝3.(2)因为a 在e 方向上的投影为|a |cos θ，|a |＝4，a 与e 的夹角为2π3，所以|a |cos θ＝4×cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2. (3)因为在△ABC 中，∠A ＝π2，所以以A 为原点，AC ，AB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则根据题意得A (0,0)，F (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，E (2,0)， 所以DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，DF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，所以DE ·DF ＝－1＋34＝－14. 答案：(1) 3 (2)－2 (3)－14又0°≤θ≤180°，∴a 与b 夹角θ的最大值为60°.。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学第二章平面向量本章小结课件a必修4a高一必修4数学课件
12/12/2021
第四页，共二十一页。
[例 1] 如图，已知O→A＝a，O→B＝b，C 为线段 AO 上距 A 较 近的一个三等分点，D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点， 则用 a，b 表示O→D的表达式为( A )
A.19(4a＋3b) B.116(9a＋7b) C.13(2a＋b) D.14(3a＋b)
＝ 2－2sinx＝ 21－sinx， ∵－1≤sinx≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
或xy＝＝0－，1.
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体会函数与方程思想的应用.
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内容 总结 (nèiróng)
第二章
No Image
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[解] (1)令 n＝(x，y)，
x＋y＝－1，
则
2· x2＋y2cos34π＝－1，
则xy＝＝－0 1，
∴n＝(－1,0)或 n＝(0，－1)． (2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)， n＋b＝(cosx，sinx－1)，
|n＋b|＝的重心，依据三角形性质，有 S△PAD＝S△
PAC＝S△PDC.由 B 是 PD 的中点，得 S△PAB S△PAC S△PBC＝1 2
1.
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(3)点 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足O→A·O→B＝O→B·O→C＝ O→C·O→A，则点 O 是△ABC 的( D )
[例 3] (1)O 是平面 ABC 内的一定点，P 是平面 ABC 内的
一动点，若(P→B－P→C)·(O→B＋O→C)＝(P→C－P→A)·(O→A＋O→C)＝0，则 O