2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2]B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27B．36C．45D．544．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．105．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9B．6C．3D．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（）A．1B．0C．D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy 的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2]B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|x＞1}∩{y|y≥0}＝（1，+∞）∩[0，+∞）＝（1，+∞），故选：C．2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，设量2﹣与的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27B．36C．45D．54【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．故选：D．4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2D．10【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ＝＝＝2故选：C．5．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【解答】解：根据题意，a n＝f（n）＝；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函数，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，故选：A．7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9B．6C．3D．1【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得2×＝+a2，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，∴＝＝q2＝9．故选：A．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a cos C＝4c sin A，∴3sin A cos C＝4sin C sin A，∵sin A≠0，∴3cos C＝4sin C，∴cos C＝，∵S＝bc sin A＝10，∴c sin A＝5，∵3a cos C＝4c sin A＝20，∴a＝＝．故选：B．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC上的动点，则的最小值是（）A．1B．0C．D．【解答】解：由等腰梯形的知识可知cos B＝，设BP＝x，则CP＝﹣x，∴＝（）•＝＝1•x•（﹣）+（﹣x）•x•（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴当x＝时，取得最小值﹣．故选：D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy 的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，可得x+y＝1，x，y∈[，]，则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为{x|﹣＜x＜﹣}【解答】解：不等式＞，即＜0，即（6x+1）•3（3x+2）＜0，求得﹣＜x＜﹣，故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为11【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，∴a n＝2037×，∵a11＞1，a12＜1∵b n＝a1•a2……a n，则当n＝11时b n达到最大值．故答案为：11．15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于2016【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，则S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．故答案为：201616．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝．【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，由S＝am，S＝bn，S＝ct，可得S3＝abcmnt，则mnt＝＝又S＝bc sin A＝1，可得bc＝，则mnt＝4sin A，cos A＝≥＝1﹣，当且仅当b＝c上式取得等号，可得2bc≤，则≤，可得＝＝tan≤，可得sin A＝≤＝．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x＝0，即sin x＝cos xsin x＝cos x，即tan x＝1；（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x，∴若与的夹角为，则•＝||•||cos＝，即sin x﹣cos x＝，则sin（x﹣）＝，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣＝即x＝+＝．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．【解答】（1）证明：∵﹣a n＝2S n S n﹣1，∴﹣S n+S n﹣1＝2S n S n﹣1（n≥2），S n≠0（n＝1，2，3）．∴﹣＝2．又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）•2＝2n，∴S n＝．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，a n＝﹣2S n S n﹣1＝﹣〕；当n＝1时，S1＝a1＝．∴a n＝19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴＝，可得：＝，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝，∴由0＜B＜π，可得B＝．（2）cos2﹣sin cos＝（cos C+1）﹣sin A＝cos C﹣sin（﹣C）+＝cos C﹣sin C+＝cos（C+）+，∵＜C+＜，∴﹣＜cos（C+）＜，∴＜cos2﹣sin cos＜．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a＝时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．【解答】解：（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入，整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0．由P为AB的中点，则．∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得f'（x）＝，∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），∴f'（x0）＝0，∴a＝sin x0﹣x0cos x0，∴f（x0）＝，∵0＜x＜π，∴cos x0∈（﹣1，1），∴f（x0）∈（﹣1，1），即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．（Ⅱ）挡a＝时，f（x）＝，要证f（x）+mlnx＝成立，即证mlnx＞sin x﹣π成立，令g（x）＝mlnx，h（x）＝sin x﹣π，则g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sin x﹣π∈（﹣π，1﹣π]，令g'（x）＝0，则x＝，∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，∴g（x）min＝g（）＝，显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0。