绝对值及其应用
绝对值x的定义域
绝对值x的定义域绝对值x是一个非常基础的数学概念，在很多数学学科中都有广泛的应用。
绝对值x表示一个数x到0的距离，即 |x| = x（当x≥0时）或 |x| = -x（当x<0时）。
绝对值的定义域包括了所有实数集，即D(f) = R。
在数学中，绝对值x还有一些特殊的性质和应用，下面将围绕这些方面来详细介绍。
1. 绝对值的基本性质绝对值x具有以下基本性质：（1）|x|≥0，对于任意的x∈ R。
（2）|x|=0当且仅当x=0。
这些基本性质为后续绝对值的应用奠定了基础。
2. 绝对值的应用（1）求距离绝对值x可以用来求两个点之间的距离。
例如，设点A(x1，y1)和B(x2，y2)为平面直角坐标系上的两点，则它们之间的距离为：|AB| = √(x2-x1)² + (y2-y1)²（2）求区间绝对值x还可以用来表示区间。
例如，当x∈[-5，5]时，可以表示为：|x| ≤ 5表示[-5，5]这个区间。
（3）解不等式绝对值x还可以用来解一元不等式。
例如，对于不等式|x-2|≥3，可以分为两种情况：①当x-2≥0时，|x-2|=x-2，那么不等式可以转化为x-2≥3，即x≥5。
综合以上两种情况，解得x∈(-∞，-1]∪[5，+∞)。
（4）求函数的最小值和最大值在一些函数的极值问题中，绝对值x也有很好的应用。
例如，设f(x) = |x-2|+|x-5|+|x-10|，则可以求出f(x)的最小值和最大值。
首先，当2≤x≤5时，f(x) = (x-2)+(5-x)+(10-x) = 13-3x。
当5≤x≤10时，f(x) = (x-2)+(x-5)+(10-x) = 3x-3。
当x≤2或x≥10时，f(x) = (2-x)+(5-x)+(x-10) = -3x-3。
那么，f(x)的最小值为-10，当x=10时取得；最大值为13，当x=2时取得。
（5）求方程的解3. 结论绝对值x在数学中具有非常广泛的应用，在不同的数学领域中起到了重要的作用。
寒假作业11 绝对值及其应用(原卷版)-【寒假分层作业】2024年七年级数学寒假培优练(人教版)
寒假作业11 绝对值及其应用1.绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a |．2.绝对值的代数定义（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a >0，那么|a |=a ； ②如果a <0，那么|a |=-a ； ③如果a =0，那么|a |=0．可归纳为①：a ≥0⇔|a |=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数．）②a ≤0⇔|a |=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数．）3.几何意义常见类型类型一：|||0|a a =-表示数轴上的点a 到原点O 的距离；类型二：||||a b b a -=-表示数轴.上的点a 到点b 的距离(或点b 到点a 的距离)；类型三：|||()||()|a b a b b a +=--=--表示数轴上的点a 到点-b 的距离(点b 到点- a 的距离)；类型四：x a-表示数轴上的点x 到点a 的距离；类型五：()x a x a +=--表示数轴上的点x 到点-a 的距离.1．数轴上点A ，B 表示的数分别是5，2-，它们之间的距离可以表示为（ ）A ．25--B ．25--C ．25-+D ．25-+2．已知2a b b c c a m c a b +++=++，若0,0abc a b c <++=，则m 的值为（ ）A ．2B ．4-C ．2或0D ．2或4-3．若a a =-，则a 是（ ）A ．正数或0B ．0C ．负数或0D ．正数4．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，则（ ）A ．a b =B ．0ab >C ．0a b +<D ．0a b ->5．下列符合要求的数唯一存在的是（ ）A ．最大的有理数B ．最大的负有理数C ．最大的负整数D ．绝对值小于3的整数6．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（ ）A ．B ．C ．D ．7．古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音，如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）A ．10B ．8C ．5-D ．10-8．如果数m 满足m m -=-，则m 是（ ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数9．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上的对应点分别是M 、N 、P 、Q ，若0m q +=，则图中表示绝对值最小的数的点是 ．10．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．(1)如果点A ，B 表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是______；(2)如果点B ，E 表示的数互为相反数，那么CD =______；哪一个点表示的数的绝对值最小？11．阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道|53|-表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；|53||5(3)|+=--，所以|53|+表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离；|5||50|=-，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可以表示为AB a b =-．回答下列问题：(1)数轴上表示6与9-的两点之间的距离是 ；(2)若33x -=，则x = ；(3)满足235x x ++-=的有理数x 有 个．12．阅读下列材料，完成后面任务：我们知道x 的几何意义是数轴上数x 的对应点与原点之间的距离，即0x x =-，也可以说，x 表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示数轴上数1x 与数2x 对应点之间的距离．例1：已知2x =，求x 的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为2-和2，所以x 的值为2-或2．例2：已知12x -=，求x 的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和1-，所以x 的值为3或1-．任务：仿照材料中的解法，求下列各式中x 的值．(1)8x =．(2)26x -=．13．已知a ，b ，c 的大小关系如图所示，则下列四个结论中：①0b c +<；②0a b c -+>；③0a b c ++>；④||0a b a -->，正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．如果()2|1|20a b ++-=，则()20212020a b a ++的值为．15．以下说法正确的是 ．①绝对值等于它本身的数是0和1；②如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负；③已知a ，b ，c 是非零有理数，若1a b c a b c ++=-，则a a b b+的值为0或2-；④已知5x £时，那么35x x +--的最大值为8，最小值为8-；⑤若a b =且43a b -=，则代数式21a b ab b +-+的值为413．16．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图，且b a ＜．(1)c a -_______0， abc _______0， c b - ______0（请用“＜”或“＞”填空）；(2)化简：||||||a b b c c a -++--．17．我们知道，数轴上，如果点A 表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ，则A ，B 两点间的距离就可记作a b -．请根据上述结论，解答下列各题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和5-的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示x ，3-两数的点之间的距离为2，那么x 的值为______；(3)在数轴上，点P 表示的数为6-，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．现有一只蚂蚁从点P 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点A ，点B 的距离之和是5?18．在数轴上，如果A 点表示的数记为a ，点B 表示的数记为b ．则A ，B 两点间的距离可记作a b -或b a -．如图所示，在数轴上点A ，B ，C 表示的数为2-，0，6．点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ．(1)请直接写出结果，AB =_____；AC =_____．(2)设点P 在数轴上对应的数为x ．①若x 与2-之间的距离为5，那么x =______；②若点P 为线段AB 上的一个动点，求26x x ++-的值．19．已知点A 、B 在数轴上分别表示数a ，b ，若A 、B 两点间的距离记为d ，则d 和a ，b 之间的数量关系是d a b =-．(1)数轴上有理数x 与有理数2-所对应两点之间的距离可以表示为_______；(2)6x +可以表示数轴上有理数x 与有理数________所对应的两点之间的距离；若62x x +=-，则x =______；(3)若12a b ==-，，将数轴折叠，使得A 点与7-表示的点重合，则B 点与数______表示的点P 重合；(4)在题（3）的条件下，点A 为定点，点B 、P 为动点，若移动点B 、P 中一点后，能否使相邻两点间离相等？若能，请写出移动方案．20．我们知道，在数轴上a 表示数a 到原点的距离，这也是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A ，B 分别用a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离AB a b =-．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题：(1)数轴上4和1之间的距离是______，2-和3之间的距离是______；(2)在数轴上如果表示x 的数和5-之间的距离是2，求x 表示的数；(3)如果54a -=，()13b --=，且a ，b 在数轴上表示的数分别是点A ，点B ，则A ，B 两点之间最大的距离是多少？最小的距离是多少？21．我们知道，a 的几何意义是：在数轴上数a 对应的点到原点的距离．类似的，a b -的几何意义就是：数轴上数a 和数b 对应的两点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用25-表示，通过计算可以得到他们的距离是3．如图数轴上两点M 、N 对应的数分别为8-、4，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ．(1)点M 、N 之间的距离可以表示为MN =_______，通过计算可以得到线段MN 的长度是_______；(2)根据几何意义，4x -表示_______（填“P 、M ”或“P 、N ”）两点之间的距离；如果点P 到点M 、点N 的距离相等，那么x 的值为_______；(3)若点P 到点M 的距离6PM =，求出x 的值；(4)当点P 到点M 、点N 的距离之和是20时，直接写出x 的值．22．（1）若数轴上M ，N 两点分别表示数m 与数n ，则M ，N 两点之间的距离MN 是m n -，例如：()21--表示2和1-在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x 和1-的两点之间的距离可表示为______．（2）如图，数轴上的点A 表示的是2-，点B 表示的是4，P 是数轴上任意一点，且点P 表示的是x ，求24x x ++-的最小值．（3）古城某条街上有3家新开的自习室A ，B ，C ．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P ．如图，小浩家在O 处，自习室A 在小浩家西边60米处，B 在小浩家东边180米处，C 在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即PA PB PC PO +++的值最小？最小值是多少？23．已知点A ，B ，C 在数轴上对应的数分别是a ，b ，c ，其中a ，c 满足()220360a c ++-=，a ，b 互为相反数（如图1）．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，若点A ，B ，C 分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和()4m m <个单位长度向左运动，假设经过t 秒后，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间距离表示为AC ，若23AB AC -的值。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的计算和应用
绝对值的计算和应用绝对值是一个基本的数学概念，它常常被用于计算和解决各种实际问题。
本文将介绍绝对值的计算方法和在不同领域的应用。
一、绝对值的定义与计算方法绝对值通常用竖线“| |”表示，表示一个数与零之间的距离。
对于实数x，它的绝对值可以用以下公式表示：| x | = x, 当x ≥ 0| x | = -x, 当x < 0例如，| 3 | = 3，| -7 | = 7。
绝对值计算的结果始终是非负数。
二、绝对值在数学中的应用1. 求解绝对值方程绝对值方程是含有绝对值符号的方程。
为了求解绝对值方程，需要分别考虑绝对值内部的正数和负数情况，并得出所有可能的解。
例如，对于方程| x + 2 | = 5，可以得到两个可能的解：x + 2 = 5 或 x + 2 = -5，解分别为x = 3和x = -7。
2. 计算误差在数值计算中，绝对值被广泛用于计算误差。
误差是指实际值与理论值之间的差别。
通过计算实际值与理论值之间的差的绝对值，可以评估误差的大小和方向，从而进行纠正和调整。
三、绝对值在物理学中的应用1. 距离和位移计算在物理学中，绝对值常用于计算距离和位移。
例如，一辆车在1秒内以10 m/s的速度向前行驶，那么它的位移可以表示为| 10 | = 10 米。
2. 力的大小计算在物理学中，力的大小通常用绝对值来表示。
例如，一台机器向上施加100 N的力，而地球向下施加100 N的重力，所以物体的净力为| 100 - 100 | = 0 N，物体将保持静止。
四、绝对值在经济学中的应用1. 价格变动的百分比计算在经济学中，绝对值可用于计算价格的百分比变动。
例如，商品价格从100元上涨到120元，价格的绝对变动为| 120 - 100 | = 20 元，而价格的百分比变动为（20 / 100）* 100% = 20%。
2. 利润计算在经济学和会计学中，绝对值可用于计算利润。
例如，公司在一年内的总收入为500万元，总成本为400万元，那么利润可以表示为| 500 - 400 | = 100 万元。
七年级数学知识点绝对值
七年级数学知识点绝对值数学中，绝对值是一个非常基础且重要的知识点。
在七年级数学学习中，同学们应该比较系统的学习这一知识点，并且能够熟练地进行计算。
本文将介绍七年级数学中的绝对值知识点，以帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、绝对值的概念绝对值是一个数到0的距离，通常用两条竖线|| 来表示。
例如，|3|表示数字3到0的距离，也就是3。
同理，|-3|也是3。
二、绝对值的性质1. |a| ≥ 0，即绝对值是非负数。
2. |-a| = |a|，即绝对值是对称的。
3. |a · b| = |a| · |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝对值的乘积。
4. |a ± b| ≤ |a| + |b|，即两个数的和或差的绝对值小于等于这两个数的绝对值的和。
三、绝对值的运算1. 大于等于0的数的绝对值是它本身。
例如，|5| = 5；|0| = 0。
2. 小于0的数的绝对值是它自己的相反数。
例如，|-2| = 2；|-7| = 7。
3. 绝对值的运算法则：如果a≥0，则|a|=a；如果a＜0，则|a|=−a。
4. 如果两个数的绝对值相等，则它们本身也相等，即|a|=|b|，a=±b。
5. 绝对值可以用来表示一组数的距离。
例如，a和b是两个数，则它们的距离是|a-b|。
四、绝对值的应用绝对值在数学中的应用非常广泛，它不仅可以用于计算，还可以用于判断等式、不等式的真假，或者用于表示距离等。
在学习数学的过程中，同学们应该总结绝对值的应用，以便更好地将其应用于实际问题中。
综上所述，七年级数学中的绝对值知识点是数学学习中非常基础和重要的部分，同学们应该认真学习并熟练掌握，以便在以后的学习中更好地应用。
七年级上册数学绝对值及其应用
七年级上册数学绝对值及其应用一、什么是绝对值绝对值是一个数在不考虑其正负号的情况下的大小，通常用两个竖杠表示。
如：|5|=5，|-5|=5。
二、绝对值的性质1. 非负性质：对于任意实数x，|x|≥0。
2. 正、负性质：若x>0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、绝对值的应用1. 求两个数的距离：设实数a、b，它们的距离是|a-b|。
2. 求解绝对值不等式：若a是一个实数，m为正实数，则|x-a|<m的解集为(a-m,a+m)。
3. 求解带参数的绝对值不等式：若a是参数，m是正实数，则当-a<m<a时，|x-a|<m的解集为(x-m,x+m)。
四、解题技巧1. 注意绝对值的定义和性质，特别是非负性、正、负性和三角不等式。
2. 在解绝对值等式和不等式时，要分情况讨论，考虑绝对值内部的值大于或小于0。
3. 在解带绝对值的方程或不等式时，一般需要消去绝对值号并分情况讨论。
五、例题解析题干：解方程|3x+1|=7。
解法：对“|3x+1|=7”分情况讨论，当“|3x+1|>0”时，有“3x+1=7”或“3x+1=-7”。
解得x=2或x=-2。
当“|3x+1|=0”时，有“3x+1=0”，解得x=-1/3。
综上，原方程的解集为{x|-2,-1/3,2}。
六、小结绝对值是数学中重要的概念之一，常常在数学公式和题目中出现。
在应用中，我们要注意绝对值的性质和应用场景，善于分情况讨论求解，以提升自己的解题能力。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。
解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。
绝对值的应用
绝对值定 义示例剖析1．绝对值的几何意义：在数轴上，一个数a 所对应 的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ．2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号． ②绝对值具有非负性，即取绝对值的结果 总是正数或0．③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．33=，1122-=，00=3．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 1(0)(0)1(0)aa a a a >⎧≠=⎨-<⎩⑷ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑸ a a =-；若a b =，则a b =或a b =-非负数性质：如果若干个非负数之和为0，那么其中的每一个非负数都为0例如：若0a b +=，则0a =，0b =4． 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小．总结：有理数大小的比较0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同正：绝对值大的数大两数同号同负：绝对值大的反而小比较大小两数异号(一正一负)：正数大于负数正数与0：正数大于0其中有时负数与0：负数小于0模块一 绝对值的定义【例1】 ⑴ ① 1.5--= ；② 绝对值不大于3的整数有 ．⑵ 绝对值大于2而小于5的负整数是 ． ⑶ 下列说法正确的是 （ ） A. 符号相反的数互为相反数 B. 任何有理数都有倒数 C. 最小的自然数是1D. 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 ⑷ 3.5-的绝对值为 ， 3.5-的相反数为 ，3.5-的倒数为 ， 3.5-的负倒数为 ． ⑸ 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式2a bm cd a b c++-+-的值.【例2】 ⑴ 已知a 、b 为有理数，且0a <，0b >，b a <，则a 、b 、a -、b -的大小关系是（ ）A ．b a b a -<<<-B ．b b a a -<<-<C ．a b b a <-<<-D ．a b b a -<<-<⑵ 230x y -+-=，则xy =________；7x y =--，则xy =________． ⑶ 若2a -与3b +互为相反数，则2b a -的值为（ ）． A ．8 B ．8- C ．8± D ．7 ⑷方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．无穷多(5) 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，.(6) 设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【例3】 ⑴ 已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--的结果是cb⑵ 如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值能力提升夯实基础与c 无关.cba【例4】 ⑴ 已知1|2|0a ab -+-=，试求 1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b ++++++++++的值；⑵ 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-【例5】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【例6】 若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ．【例7】 化简：⑴ 1x -； ⑵ 5x + ； ⑶ 523x x ++-模块二 绝对值代数意义的应用【例8】 已知a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值．【例9】 如果d c b a ,,,为互不相等的有理数，且1=-=-=-b d c b c a ，那么d a -等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例10】 将1，2，3…100，这100个自然数任意分成50组，每组两个数，将其中一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式1()2a b a b +--中计算，求出其结果，50组都代入后可得50个值，求这50个值的和的最小值．探索创新知识模块一 绝对值的定义 课后演练【演练1】 ⑴ a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，d 是绝对值等于2的数，则()a b c d +-++= ．⑵ 若3x =，则x x -= ．⑶ 已知4a =-，||||a b =，则3b -的值为（ ）A ．1+；7-B ．1-；+7C ．7D ．1± ⑷ 已知||8a =，||5b =，且||a b a b +=+，则a b -= ．【演练2】 若450x y -++=，则______x =；_____y =．知识模块二 绝对值代数意义的应用 课后演练【演练3】 ⑴化简：3x -⑵化简代数式24x x ++-【演练4】 若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．实战演练【演练5】 设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【演练6】 有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．。
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绝对值及其应用
隋福太
关键词：绝对值，绝对值的几何意义及其应用
知识点精讲
1.绝对值的几何定义：在数轴上表示这个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.a 的绝对值表示为a .所以 33=-，66=- 00= 55= 88= 通过上例易得 例.已知1253>-+-x x ，求x 的取值范围
练习1.已知1253<-+-x x ，求x 的取值范围
2.绝对值的代数定义：正数的绝对值就是它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值就是它的相反数.
3.绝对值的性质：非负性
例.1-x 与2+y 互为相反数，试求2002)(b a +
4.根据相反数的定义知，一对相反数分居原点两侧，并且到原点的距离相等.结合绝对值的定义知a a -=.由于0)()(=-+-a b b a ，故b a -与a b -是一对相反数，同样会有a b b a -=-.
例.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数，则这个数是
练习1.数轴上表示互为相反数的两点之间的距离为6，这两个数是
5.在数轴上，a ，b 两点之间的距离为b a -或a b -.当知道
两点的位置关系时，通常就去掉绝对值;当不知道两点之间位置关系时，就带上绝对值符号.由此易得
6.中点公式：以)(11p p 和)(22p p 为端点的线段的中点为22
1p p +
数分别为a 、b 、c ，且都不为零，点C 为AB 的中点，如果b a +- c a 2-+c b 2-c b a 2-+-0=，试确定原点O 的大致位置
6.点P （p ）到)3,2,1)((n i a A i i Λ=的距离和为
n a p a p a p -++-+-Λ21.
（1）当n 为奇数时，个点取第
21+n p 时（即正中间的那个数），该距离和最小
（2）当n 为偶数时，
p 取第2n 到第2
1+n 个点（包括这两个点）时，距离和最小 例.求531-+-++x x x 的最小值是多少？
练习1.1-x +
2-x +3-x +4-x +5-x 1997-+x Λ的最小值 2.已知9619--+-+-=
a x x a x y ，如果9619<<a ，96≤≤x a 求
y 的最小值
7三角不等式：b a b a b a +≤±≤-
经典例题选讲
例1.已知,36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x 求 z y x 32++的最大值和最小值
解：321≥-++x x ，当21≤≤-x 时等号成立；312≥++-y y ，当21≤≤-y 时等号成立；413≥++-z z ，当31≤≤-z 时等号成立.由条件得321=-++x x ，312=++-y y ，413=++-z z ，则当,2=x 2=y ，3=z 时，z y x 32++的值最大，最大值为15.当,1-=x 1-=y ，1-=z 时，z y x 32++的值最小，最小值为-6.
例 2.设1x ，2
x 3x 4x 5x 6x 是6个不同的正整数，取值于1,2,3,4,5,6，记
21x x S -=+32x x -+43x x -+54x x -+65x x -+1
6x x -，求S 的最小值
解：根据绝对值的意义得，原题等价于：从数轴上点1出发，每次走一个整数点，走完点2，点3，点4点5，点6，最后回到点1，问最少走了多少距离？
取11=x ，22=x 33=x 44=x 55=x 66=x 则21x x S -=+32x x -+43x x -+54x x -+65x x -+16x x -=1+1+1+1+1+1+5=10
例3.将1，2，3，…，200，这200个数任意分成两组，每组100个数，将一组按由小到大的顺序排列（记为10021a a a <<<Λ），另一组按由大到小的顺序排列（记为
10021b b b Λ>>），试求100100332211b a b a b a b a -++---+-Λ的值 先证明：对于代数式的任何一项i i b a -（i=1,2,…100）中
的i i b a ,，较大的数一定大于100，较小的数一定不大于100.
（1）若
100100≤≤i i b a 且，则由10010021≤<<<a a a Λ及
10021100b b b Λ>>≥，知100121,,,,,,,b b b a a a k k k ΛΛ+共101个数都不大
于100. 这是不可能的
（2）若100
100>>i i b a 且，则由及
10099100>>>>k a a a Λ10010021>>>>b b b Λ，知100121,,,,,,,a a a b b b k k k ΛΛ+共101个数都大于100.这也是不可能的.
于是代数式中100个绝对值100100332211,,,,b a b a b a b a ----Λ中较小的数为1，2，…，100，较大的数为101,102，… 200.故原式=（101+102+…+200）-（1+2+…+100）=10000.
例4.1020-x +1510-x +2030-x 最小值
该题相当于在数轴上，10点处有20个工人，15点处有10个工人，20点处有30个工人，在数轴上求一点使他们到该点的路程和最小？
解.先对10点处20个工人和20点处20个工人，当这一点只要取在10到20点之间任一点这40个工人走的路程和最小，最小距离和为20⨯10=200.因而在15点处有10个工人，20点处有10个工人，只需这20个工人所走的路程和最小即可，易得取15到20之间（包括这两点）任取一点即可，取20，易得最小距离和为10⨯5=50.
练习 1.当x 满足什么条件时，
5.05.1-x +5.05.2-x +5.05.3-x +5.05.4-x +5.05.5-x +5
.05.6-x 的值取得最小值. A.91111
≤≤x B.7191≤≤x C.5171x ≤ D.111131≤≤x
例5.42=-a ，8=b ，且a b b a -=-求a 和b
解.42=-a 表示到2的距离等于4的点为a=2-4=-2和a=2+4=6两个点.由
a b b a -=-知a b ≥，当a=-2时，b=8;当a=2时，b=8.
例6.m m n m =++2)(，且022=--n m ，求mn
解. m m n m =++2)(知0≥m .可得0)(2=-n m ，得
m+n=0,由022=--n m 得2m-n-2=0,易求得32=m ，32-=n ，则94-=mn .
例7.解绝对值方程①23=-x ②65=+x ③1262=-+-x x 解.①23=-x 表示x 到3的距离为2，故x=1或x=5 ②65=+x 表示到-5的距离为6的点，故x=1或x=-11 ③1262=-+-x x 表示到2和6的距离和为12，易知到2和到6的点的距离和的最小值为4，故x 一定不在2和6之间，即在2的左边或在6的右边，12-4=8，428=÷所以x=10或-2.
例8.解方程 2342-=+x x 9423-=-x x
例9.已知a ，b ，c ，d 是有理数，9≤-b a ，16≤-d
c ，且25=+--
d c b a 求c d a b ---的值 解：因为2516925=+=-+-≤+--=d c b a d c b a ，所以只有9=-b a ，16=-d c 则原式=9-16=-7
例10.若,0<x 化简x x x
x ---32
解.因为0<x ，所以03<-x ，原式x x x
x +---=32=x - 练习
6.1=++p p
n n
m m ，则=mnp
mnp 32 7.若,0>a 0<b ，b a b x a x -=-+-，则x 的取值范围为
8.求满足1=+-ab b a 的非负整数对()b a ,的值
9.已知：三个数
c b a ,,的积为负数，和为正数，且bc bc
ac ac
ab ab
abc abc
c c
b b
a a
x ++++++=，求
123+++cx bx ax 的值 10.b a 与互为相反数，且54b -a =，那么
=+++1ab -a 2ab a b 11.设0<a ，且a a x ≤，试化简21--+x x 12.化简121+---x x
13.a<0,且a a
x ≤，试化简21--+x x 14.化简x
x x
x 5232-- 15.化简325-++x x 16.121++--x x
20．不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应的点分别为
A 、
B 、
C ，如果c a c b b a -=-+-，那么点B 的位置为
21.已知
5)(2+=+++b b b a 01=--b a ，求ab 的值
22.设k 为自然数，且ka+b=0,则1-b a +2-b a 等于 23.已知a 、b 、c 均为整数，且满足11010=-+-c a b a ，则 c a c b b a -+-+-=
24．已知90≤≤a ，那么a a -+-32的最大值为
25.如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为
如果a 、b 、c 、d 是互不相等的有理数，且=-c a c b -=b d -1=，那么d a -=等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）
（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.。