思法数学：初升高衔接讲义 笫9讲 函数的单调性

笫9讲 函数的单调性一【学习目标】1.了解单调函数、单调区间的概念；2.理解函数单调性的概念：并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；3.掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.二【知识梳理】1.从直观上看：函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数在这个区间上是_ ___ __，若图象是下降的，则此函数在这个区间上是_____________ 2.增函数与减函数：定义：设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，对于区间M 上的任意两个自变量的值21,x x ：⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是增函数（如图1）； ⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间M 上是减函数.（如图2）3.单调性与单调区间：若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 点拨：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条 件，就不能保证函数是增函数（或减函数）；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；4.两个结论：（1）若f(x)在（a,b ）上是增函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，Ef(x 1)<f(x 2)⇔____________（2）若f(x)在（a,b ）上是减函数，则当x 1、x 2,∈（a,b ）时，f(x 1)<f(x 2)⇔____________提问：能否说函数1()f x x=在定义域上是减函数？5．常见函数的单调性：（1）一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性：①0>k 单调递增，②0<k 单调递减如：若函数n x m x f +-=)12()(在),(+∞-∞上是减函数，则m 的取值范围是______. （2）反比例函数()()0kf x k x=≠的单调性： ①0>k 时，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数； ②0<k 时，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是增函数.（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的单调性：①0>a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； ②0<a 时，在_______________单调递增，在_____________单调递减； 如：①函数163)(2+-=x x x f ，)4,3(∈x 上的单调性是_____________________. ②已知函数582++=ax x y 在[1，+∞）上递增，那么a 的取值范围是________. （4）双勾函数()()0af x x a x=+>的单调性：在(上递减；在)+∞上递增 如：函数xx x f 1)(+=在(]0,1上是减函数；在[1，+∞）上是增函数. （5）复合函数单调性的判断法则：____________三【典例精析】例1.如右图：是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以.还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不能包括不连续点. 求证：例2.求函数223y x x =-++的单调区间。

例3.证明：函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f >)(2x f . ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数. 例5.已知1()1f x x m=++在区间（-2，+∞）上是减函数，求m 的取值范围。

例6.求函数()21f x x =-点拨：⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）； ⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）； ⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.四【过关精练】一、选择题1.若函数b mx y +=在),(+∞-∞上是增函数，那么（ C ）A.b>0B.b<0C.m>0D.m<02.函数32)(2+-=mx x x f ，当),2[+∞-∈x 时是增函数，当]2,(--∞∈x 时是减函数，则)1(f 等于（ B ）A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数3.设函数)(x f 在),(+∞-∞上为减函数，则( D ))2()(.a f a f A > )()(.2a f a f B < )()(.2a f a a f C <+ )()1(.2a f a f D <+4.下列函数在(),0-∞上是减函数的是（ D ） A.21y x =- B.1y x =-C.y=x-1D.4y x= 5.下列函数函数中只有一个单调区间的是（ C ）A.2y x=-B.2(3)y x =+C.y=x (11)x -≤≤D.2(23)y x =- 6.在(),0-∞上单调递减的函数是（ A ）A.1xy x =- B.21y x =- C.y=2x+3 D.22y x x =+ 7.函数21()y x x x R =++∈的递减区间是（ C ）A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦D.R 8.下列函数中，在（0，2）上是增函数的是（ B ） A.1y x=B .y=2x-1 C.y=1-2x D.2(21)y x =- 二、填空题9.如果函数5)1()(2+--=x a x x f 在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f 的取值范围是__)2(f ≥7__.10.已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的取值范围是__0<a<12_ 三、解答题11.求函数1y x=的最值。

12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x > （1）求证：()10f =且()f x 是增函数；（2）若()21f =，解不等式：()()3482f f x +->.第9讲 参考答案一.选择题1．C ； 2．B ；3．D ； 4．D ； 5．C ； 6．A ； 7．C ；8。

B 。

二.填空题9. [)7,+∞； 10. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭。

三.解答题11. min 1y =-，无最大值。

12．（1）证明：令1x y ==得：()()()()11110f f f f =+⇒=；设120x x <<<+∞，则221110x x f x x ⎛⎫>⇒> ⎪⎝⎭。

()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭()()2111xf f x f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭210x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭ ()()21f x f x ∴>()f x ∴在()0,+∞上是增函数（2）()()()211224f f f =+=+=∴不等化为：()()3484f x f ⋅->⎡⎤⎣⎦()480134843x x x ->⎧⎪⇔⇔<⎨⋅->⎪⎩解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。