等比数列前n项和1
等差和等比数列前n项和公式
等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。
下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。
等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。
由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。
等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。
由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。
以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。
- 1 -。
等比数列前N项和(一)
则有am an a p aq
与你作一笔交易：一个月30天算，我 每天给你5000元，而你只需第1天给我1 分钱，第2天给我2分钱，第3天给我4分 钱，第4天给我8分钱，由此类推，这样 的交易期为一个月，这笔交易你做吗？
这实际上是求以 1 为首项，2为公比的等比数 列的前30项的和。
S30 1 2 2 2 2 (1)
2 3 29
如果用公比2乘以上面等式的两边，得到：
2S30 2 2 2 2 2 (2)
2 3 29 30
为便于对上面两式进行比较，我们将它们列在一起：
S30 1 2 22 23 229 (1)
2 S30 = 2 + 22 + 2 3 +…..+ 2 29 + 230。。。。(2) (2) – (1) : S30 = 2 30 – 1 ≈1073.74万元
错位相减法
这笔交易不能做
等比数列前n项和公式的推导
Sn a1 a2 a3 an …… (1) Sn=a1+a2+ +an=? 1
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .
并能应用.
.了解等比数列的推导过程(错位相减)
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an
因为棋盘共有64格,所以各格中的麦子数 组成了一个64项的等比数列 1, 2, 22 , 23 ,263
1 2 264 1 1.841019 1 2
第30讲 等比数列及其前n项和1
从而 an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2)∵bn＝2n－1，∴log2bn＋1＝n， 1 1 ∴dndn＋1＝2－8＋n，∴dn＋1dn＋2＝2－7＋n， dn＋2 1 两式相除，得 d ＝2. n 1 由 d1＝16，d1d2＝2－8＋1＝128，可得 d2＝8，
学 科 能 力
返回目录
第30讲
等比数列及其前n项和
[ 方法解读 ]
a1 在等比数列的求和公式 Sn ＝ (1 － qn)(q≠1) 1－q
a1 a1 中， 求和公式中的 是不变的， 所以可以考虑将 作为一个 1－q 1－q 整体，即当作一个量参与化简与运算.
学 科 能 力
返回目录
第30讲
【跟踪练习】 A．5 2 B．7
例 1 【配例 1 使用】[2015· 青岛二模] 设{an}是等差数列，{bn}是 各项都为正整数的等比数列，且 a1＝b1＝1，a13b2＝50，a8＋b2＝a3＋a4 ＋5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 (2)若数列{dn}满足 dndn＋1＝ －8＋log2bn＋1(n∈N*)，且 d1＝16，试求数 2 列{dn}的通项公式及其前 2n 项和 S2n.
(2)1
第30讲
等比数列及其前n项和
思想方法
14.整体处理思想在等比数列运算中的应用
【典例】若等比数列{an}的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的和分 别为 Sn，S2n，S3n，求证：Sn2＋S2n2＝Sn(S2n＋S3n)．
思路 利用等比数列前 n 项和公式求解或者把前 n 项和作为一个 整体进行证明．
31 4
[总结反思] (1)与等差数列一样，求等比数列的基本量时也常运用方程 的思想方法． 从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公 式，共有五个量 a1，n，q，an，Sn，知道其中的三个通过构 造方程(组)可求出另外两个． (2)应用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对公比 q＝1 与 q≠1 的情况进行分类讨论．
等比数列的前n项和 (1)
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可 求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当 公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝ ＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a
等比数列的前n项和(1)
等比数列的前n 项和（1）【学习目标】1. 探索并掌握等比数列的前n 项和公式；学会用公式解决一些简单问题。
2.掌握从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的水平。
【课前导学】1. 在等比数列{a n }中，a 1=81,q =2,则a 4与a 8的等比中项是 2．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于【答案】（1）4 ；（2）－512；（3）54【课堂活动】一、建构数学1. 等比数列}{n a 的前n 项的和()111(1)1(1)n n a q q S q na q ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩【注意】（1）证法：错位相减法（2）当q=1时，等比数列的前n 项和公式为11S na =，应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．（3）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（4）如果已知a 1, a n ,q,n,Sn 五个量中的任意三个就能够求出其余两个（5）当ｑ≠１时，()111n n a q S q-=-1111n a a q q q -=+-- 当0,0A q ≠≠时⇔=++=)0(B A Bq A S n n ｛n a ｝是等比数列。
二、应用数学1、,,,,1a d n a S n n 五个量，知三个量，就能够求余下的两个量 【例1】 在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S ．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【解后反思】在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a ，ｄ，ｎ，n a ，n S 五个量，只要已知其中的三个量，就能够求出余下的两个量．合理使用用种形式，优化过程【例2】（1）在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n . （2）等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 求公比q 的值【解】（1）若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知263,2763==S S 是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以ｑ＝２，由此可得211=a ，所以（2）若ｑ＝１，a 3=71a =，S 3=21=13a ，满足题意；ｑ≠１．从而2313137(1)211a a q a q S q ⎧==⎪⎨-==⎪-⎩，将上面两个等式的两边分别相除，解得12q =-。
高一数学等比数列前n项和1
课后小结: 熟练掌握并灵活运用等比数列前n项 和的性质.
作业:
课本练习
S10 S4 1008.
讲授新课:
等比数列前n项和的性质
1.Sn Sm qm Snm
推导过程:
1当q 1时,
Sn na1, Sm ma1, Snm (n m)a1 此时,Sn Sm Snm成立
2当q 1时,
Sn
a11 qn 1 q来自,Sma1
1 qm 1 q
,
Sn Sm a1
qm qn 1 q
qma1 1 qn m 1 q
qm Sn m.
此时, Sm Sm qm Snm也成立.
2.若G.Pan有2n项, 则:
S偶 S奇
q.
推导过程:
S偶
a2
1 q2n 1 q2
, S奇
a1
1 q2n 1 q2
,
S偶 a2 q. S奇 a1
远洋地产12月28日公告，全资附属颖源及远洋地产与太古成都、太古及合营订立协议修订认购协议。根据修订协议内容，颖源可行使部分认购期权，以50%的期权股份及垫支合营50%认购期权股 款，共计6900万美元，相当于50%的原贷款及100%原贷款利息总和。 公告披露，预期买卖将于2013年1月8日完成。完成后，合营将由太古成都及颖源分别拥有63%及37%。 同时，交易完成后，剩余的50%期权股份及50%的原贷款将受余下认购期权（可有颖源行使）及余下认沽期权（可有太古成都行使）规限，以及认购期权期间将紧随上述完成日期后之日起延长12 认购期权及认沽期权的条款（包括10%的年利率）将保持不变。 远洋地产董事局认为，修订认购协议可延长最初从太古取得融资（用于为合营持有发展项目提供资金）的付款期限，并容许于合营的持股量有所增加以反映的出资比例。同时，仍获得一项选择权 透过购回余下期权股份而恢复于合营50%股权。 2012年1月6日，远洋与太古地产订立认购协议，根据协议，太古地产将向双方的合营乾林中国控股拨付2.3亿美元，用于支付成都大慈寺项目余下的土地款及运营资金。 资料显示，乾林中国于2010年9月成立，远洋地产和太古地产各持股50%。此番出资之后，太古地产在项目中的权益将增至81%，而远洋地产附属的权益将减至19%。 不过，这一股权比例仅反映双方出资现状。根据协议，太古地产同时向远洋地产授予了认购期权，远洋地产在太古地产增持项目权益后一年内，有权按10%利息向太古地产回购股份，恢复在合营 权。同时，太古地产也持有一项认沽期权：在远洋地产认购期权行使期结束前一周起计的一年内，太古地产有权要求远洋地产按10%利息回购太古地产50%权益以外的股份。 远洋地产彼时认为，订立此协议的好处是无须即时出资，同时又容许其后通过购回期权股份而恢复合营50%的股权。远洋地产首席财务长沈培英亦表示，此举是为未来资金流预留更多应用空间， 个月认购期内，远洋必须购回期权股份。 另据资料显示，双方在成都合作打造的大型综合发展项目，成都大慈寺文化商业综合体中的国际甲级办公楼部分正式命名为“PINNACLEONE(睿东中心)”，预计2014年落成。 武汉贷款：https:///
等比数列前n项和公式大全
等比数列前n项和公式大全等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an = a1q^(n-1)所以sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)qsn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项乘以（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项乘以（2）式的第n-1项。
（2）式的.第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是获得(1-q)sn = a1(1-q^n)即sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的性质①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成zhi等比数列.“g就是a、b的等比中项”dao“g^2=ab（g≠0）”.③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…就是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.特别注意：上述公式中a^n则表示a的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列的前n项和(1)
an q(n 1) 1.等比数列的定义： an 1
2.等比数列的通项公式：
an a1q , (a1 0, q 0).
3.a,G,b成等比数列
n1
G ab, (ab 0)
2
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋 的发明者,发明者说：“请在棋盘的第1个格 子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦 粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格 子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放 的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍， 直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现 上述要求”。国王觉得并不难，就欣然同意 了他的要求。你认为国王有能力满足发明者 的要求吗？
255 S8 256
1640 S8 81
练习1 求下列等比数列各项和
(1) 1, -1/2 ,1/4, -1/8, …-1/512
1 1 1 1023 512 2 Sn 1536 1 1 2
练习1 求下列等比数列各项和 (2)1, 3 ,9, , …,2187
1 2187 3 Sn 3280 1 3
练习2
在等比数列中
1023 (1)已知a1=-4,q=0.5,求S10 128
(2)已知a1=1,ak=243,q=3,求Sk =364
练习3 在等比数列{an}中已知 Sn=189,q=2,an=96,求a1,n
a1=3,n=6
等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是 即
Sn a1 a2 a3 an
2 n 2
Sn a1 a1q a1q a1q
a1q . ⑴
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数
Hale Waihona Puke 列3蓬溪中学数学组 编制
(1)求{an}的通项公式；
an (2)若 bn＝2n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
四、总结提炼 五、升华提高（选讲）
2 3 n 1.已知 f ( x) a1 x a2 x a3 x an x , 且a1 , a2 ,, an组成等差数列 （n为正偶数）又 f (1) n 2 , f (1) n.
1 2 1 4 1 8
（2） a1 27, a9
1 ,q 0 243
5、已知等比数列的前 n 项和 Sn＝4n＋a，则 a 的值等于_____
6、已知等比数列{an}的首项 a1＝1，且公比 q＝2，求数列{nan}的前 10 项的和．
7、设数列{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn，已知 a2＝2，S5＝15，
例．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前 n 项和 Sn＝126，
数 列
1
蓬溪中学数学组 编制
求 n 及公比 q．
1 1 1 1 例．求数列 1 , 2 , 3 , 4 ,....前 n 项的和。 2 4 8 16
例、已知{an}是等差数列，{bn}是各项为正数的等比数列，且 a1＝b1＝1，a3＋b5 ＝21，a5＋b3＝13． an (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若 cn＝b ，求数列{cn}的前 n 项和．
4
(2)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1,2S2,3S3 成等差数列，则数列{an} 的公比为________． (3)等比数列{an}的公比 q<0， 已知 a2＝1， an＋2＝an＋1＋2an， 则{an}的前 2 014 项和等于________ (4)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝7a1，则数列{an}的公比 q 的 值为_______
2.5.1 等比数列的前 n 项和
一、探索发现
（一） 、复习引入： 1．等比数列的定义． 2. 等比数列的通项公式: 3． ｛ an ｝成等比数列
a n 1 =q（ n N ,q≠0） an
an ≠0
4．性质：若 m+n=p+q， am an a p aq (二)、等比数列的前 n 项和公式：
2
蓬溪中学数学组 编制
nn＋1 ． 2
(1)求数列{an}的通项公式；
1 1 (2)求 f 2，并说明 f2<2．
三、演练反馈 1、已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，a5＝－2，a8＝16，则 S6 等于_______ 2、在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1 的值为________ 3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________． 4、 ：求下列等比数列前 8 项的和． （1） ， ， ，…
1 （1）求数列 an 的通项公式。 (2)试比较 f ( )与3 的大小，并说明理由。 2
数
列
4
蓬溪中学数学组 编制
n
例：求数列 1, 3a, 5a 2 , 7a 3 ,....,(2n 1)a n1 的前 n 项的和。
例、设 a 为常数，求数列 a，2a ，3a ，…，na ，…的前 n 项和；
2
3
n
例、已知数列{an}是 n 次多项式 f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn 的系数，且 f(1)＝
数
列
二、典例剖析 例、在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 q>0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 3 9 (3)若 a3＝2，S3＝2，求 a1 和公比 q．
1 S4 例、(1)设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则a ＝________．