空间一般力系

Fy = −Fxy cos β = −F cosα cos β n
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§5-2 力对轴的矩
y
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
z
r r Mz (F) = Mo (Fxy ) =±Fxy ⋅ h
x
空间的力对轴之矩： 空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）、（c） （b）、（ ）力与轴相交，力对轴的力矩等于零； ）、（ 力与轴相交，力对轴的力矩等于零；
X Y Z 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = F F F
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⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量； 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求 与平面汇交力系的合成方法相同， 合力。 合力。
⒊ 二次投影法（间接投影法） 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时， 面上， 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴 上。 X =F⋅sinγ ⋅cosϕ=F ⋅cosϕ=F⋅cosθ⋅cosϕ 即：
Y =F⋅sinγ ⋅sinϕ=Fxy ⋅sinϕ=F⋅cosθ⋅sinϕ Z = F ⋅ cosγ = F ⋅ sinθ
Fxy
作用点： 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。 的接触之点。
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一次投影法（直接投影法） ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： 由图可知： X =F⋅cosα,
Y =F⋅cos β, Z=F⋅cos γ 其 ： 中 cosα cosβ cosγ 别 为 , , 分 称
力对 于,,三 的 向 弦 F 应 xyz 轴 方 余
Ry Rx Rz 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = R R R
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例
r 已知： n 在三个坐标轴上的投影。 已知：F、β 、 求：力 F 在三个坐标轴上的投影。 α n
解：
Fz = −F sin α n
Fxy = F cosα n
Fx = −Fxy sin β = −F cosα sin β n
；④列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。 列方程求解。最好使每一个方程有一个未知量，以方便求解。
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由：
Y ∑Y = 0;YA − P = 0,Q A = P = 352(N) y y my = 0;−P ×50 +100×Q⋅ cos 20o = 0,∴Q = 746(N) ∑ z
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⒉
空间平行力系的平衡方程
设各力线都 // z 轴 因此
m ∑ z (F)=0 ∑X =0 Y ∑ =0
均成为了恒等式，而自然满足。 均成为了恒等式，而自然满足。
即有： 即有：
∑Z=0 ∑mx (F)=0 ∑my (F)=0
三个独立的方程， 三个独立的方程，只能求解三个未知量
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x
0.2m 2m
P
∑F = 0
z
− P− P + FA + F + F = 0 1 B D
∑M (F) = 0
x
−0.2P −1.2P+ 2F = 0 1 D
0.8P + 0.6P −1.2FB −0.6FD = 0 1
F = 5.8kN, F = 7.77kN, FA = 4.43kN D B
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合力 R=∑Xii +∑ i j+∑ i k Y Z
Rx =∑Xi
Ry =∑ i Y
Rz =∑ i Zห้องสมุดไป่ตู้
定理: 定理: 空间力系的合力在任一轴上的投影， 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。 ⑵ 合力的解析求法
2 2 2 大小：R = Rx + Ry + Rz = (∑X)2 + (∑Y)2 + (∑Z)2 大小：
Mz ( F) = −F ( l + a) sinθ
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§ 5-3
⒈
空间一般力系的平衡方程及应用
一、空间一般力系平衡的充要条件 空间一般力系平衡的充要条件 一般 平衡的充要条件 都等于零， R′ 和主矩 MO 都等于零，即：
力系的主矢
R'=0=∑F =0
MO =∑ O(F )=0 m i
R' = R' = (∑X)2 +(∑Y)2 +(∑Z)2 = 0
空 间 力 系
§5–1 1 §5–2 2 §5–3 3 空间汇交力系 力对点的矩与力对轴的矩 空间一般力系的平衡方程及应用
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工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 即空间力系，空间力系是最一般的力系。 图为空间汇交力系； 图为空间任意力系； ( a )图为空间汇交力系； )图为空间任意力系； ( b ( c )图中去掉风力后为空间平行力系。 图中去掉风力后为空间平行力系。 迎 面 风 力
例4-2 求： x M
已知： 已知：F, l, a,θ
( )
r r r F , My F , Mz F
( )
( )
r 解：将力 F 分解如图
Fz = − F cos θ Fx = F sin θ r Mx F = −F ( l + a) cosθ r My F = −F cosθ l
( ) ( )
R=F +F +F + +F =∑ i F 1 2 3 L n
即：合力等于各分力的矢量和 (由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采 由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便， 用此方法合成） 用此方法合成）
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⒉ 解析法 ⑴ 合力投影定理 由于 F =X ii +Yi j+Zi k i 代入上式
r F 等于力在垂直于 轴 等于力在垂直于z轴
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 ）， 对该轴的矩为零。 对该轴的矩为零。 正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。 正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
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mz = 0; 300P −50P −200XB −50Qcos200 = 0,∴XB = 437(N) ∑ x y
0 ∑X = 0; XA + XB − P −Qcos20 = 0,∴XA = 729(N) x 0 ∑mx = 0; 200ZB +300P −50Qsin 20 = 0,∴ZB = −2040(N) z 0 ∑Z = 0; ZA + ZB + P +Qsin 20 = 0,∴ZA = 385(N) z
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xy
⒋
力沿坐标轴分解 若以 F , F , F x y z
表示力沿直角坐标轴的正交分 量，则： F =F +Fy +F x z 而： F = Xi , F =Y , F = Zk j z x y 所以： 所以： ⒌
Fz Fy Fx
F =Xi +Yj+Zk
已知力的投影求该力
大小： 大小： F = X 2 +Y2 + Z2
MO = MO = (∑mx (F))2 +(∑my (F))2 +(∑mz (F))2 = 0
空间一般 空间一般 力系平衡 必要 充分
R′ = 0 MO = 0
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⒉解析法平衡充要条件
∑X = 0, ∑m (F) = 0 x ∑Y = 0, ∑my (F) = 0 ∑Z = 0, ∑m (F) = 0 z
已知： 作用在E点 作用在 ， ） P 例 已知： P=8kN作用在 点（0.6m，1.2m），1 =10kN, 作用在C点 作用在 点（0.8m，0.2m）， 求：A、B、D 处约束力 ， ）， ur z FA 解：1）研究对象：小车 ）研究对象： P1 1.2m ur r r r FD ur O 0.6m 约束力： A, F , F , 约束力： F B D y FB 0.6m 2）列平衡方程 ）
∑M (F) = 0
y
3）解方程组
[例]
已知: 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N
的约束反力？ 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ 平衡时(匀速转动) 受力分析如图； 解：①选轮轴为研究对象； ②受力分析如图； 选轮轴为研究对象； ③选Axyz坐标
亦称为空间一般力系的平衡方程 亦称为空间一般力系的平衡方程 一般 六个独立的方程，只能求解六 六个独立的方程， 个未知量。 个未知量。
二、由空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 空间一般力系的平衡方程导出的其它方程 一般 ⒈ 空间汇交力系的平衡方程
因为各力线作用都汇交于一点， 作用都汇交于一点 ∑ X = 0 因为各力线作用都汇交于一点，各轴都通 过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。 ∑Y = 0 过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。 ∑Z = 0 三个独立的方程，只能求解三个未知量。 三个独立的方程，只能求解三个未知量。
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方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面 方法( :将空间力系投影到三个坐标平面内， 将空间力系投影到三个坐标平面内 力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。 力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。