第六章 均匀平面波的反射和透射
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电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
哈密顿算子：矢量微分算子（ Hamilton、nabla、del ）
ex
x
ey
y
ez
z
★ 标量场的梯度
gradu u u xˆ u yˆ u zˆ ( xˆ yˆ zˆ)u x y z x y z
★ 矢量场的散度计算公式：
divA＝ • A Ax Ay Az x y z
1
2=∞ nˆ • D1 s
nˆ E1 0 nˆ B1 0
nˆ H1 Js
2、理想介质表面上 的边界条件
1=0
2=0
nˆ • (D1 D2) 0 nˆ (E1 E2 ) 0
nˆ B1 B2 0
nˆ H1 H2 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
静电场中: E 0
圆柱坐标和球坐标的公式了解:
Bx By Bz
圆柱坐标系中的体积微元: dV=(d)(d)(dz)= d d dz
分析的问题具有圆柱对称性时可表示为：dV=2ddz
球坐标系中的体积微元: dV=(rsind)(rd)(dr)
分析的问题具有球对称性 时可表示为:
=r2sindrdd dV=4r2dr
★ 标量场的等值面方程 u x, y, z 常数C
程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理
◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。
● 镜像法求解电位问题的理论依据是“唯一性定理”。
点电荷对无限大接地导体平面的镜像
z
r1
P
q h
r r2 介质
x
h
介质
q
点电荷对接地导体球面的镜像。
P
r
a
r2
o θ q
d
’d
第6章 均匀平面波的反射与透射
θi θ r
Er
kr
Hr
Et
θt kt
Ht
也称P波或P分量 （E的方向平行 入射面）；因其 磁场H只有y分 量，又常称为T M波（叙述方便， 文献中常出现， 不严格）。
z
垂直极化波 指入射波电场垂直于入射面。
Ei Hi
介质1 介质2
ki
θi θ r
Er
kr
(驻波波节)
波节 波腹
E
z
磁场强度的振幅
2 H1 (t Eim cos( β1 z
最大值2Eim/1，其位置
1
最小值0，其位置
nλ1 β1 z nπ z , n 0,1, 2 , ... 2 (波腹)
π λ1 β1 z (2n 1 z (2n 1 , n 0,1, 2 , ... 2 4
若为理想介质，1=0， 1c= 1为实数。
2
界面上反射波的平均功率密度：
* 1 Sav,r Re Er H r z 0 2 * 1 E rm ˆ Re ex Erm e y ˆ η , 2 1c
2 2 Γ Eim 1 ˆ Re ez * 2 η1c
ˆ e x 100e
j ( βz π 2
ˆ e x 200 sin βz je-j π 2
z<0区域的磁场：
H H i (z H r (z 1 100 j ( βzπ 2 j ( βz π 2 ˆ ˆ e y 100e ey e η0 η0 ˆ ey 200 cos βz e -j π 2 η0
Er
kr
Hr
Et
θt kt
Ht
也称P波或P分量 （E的方向平行 入射面）；因其 磁场H只有y分 量，又常称为T M波（叙述方便， 文献中常出现， 不严格）。
z
垂直极化波 指入射波电场垂直于入射面。
Ei Hi
介质1 介质2
ki
θi θ r
Er
kr
(驻波波节)
波节 波腹
E
z
磁场强度的振幅
2 H1 (t Eim cos( β1 z
最大值2Eim/1，其位置
1
最小值0，其位置
nλ1 β1 z nπ z , n 0,1, 2 , ... 2 (波腹)
π λ1 β1 z (2n 1 z (2n 1 , n 0,1, 2 , ... 2 4
若为理想介质，1=0， 1c= 1为实数。
2
界面上反射波的平均功率密度：
* 1 Sav,r Re Er H r z 0 2 * 1 E rm ˆ Re ex Erm e y ˆ η , 2 1c
2 2 Γ Eim 1 ˆ Re ez * 2 η1c
ˆ e x 100e
j ( βz π 2
ˆ e x 200 sin βz je-j π 2
z<0区域的磁场：
H H i (z H r (z 1 100 j ( βzπ 2 j ( βz π 2 ˆ ˆ e y 100e ey e η0 η0 ˆ ey 200 cos βz e -j π 2 η0
第6章---- 平面电磁波的反射与折射
1
1
zˆ Ei
yˆ
Ei 0
1
e jk1z
Hi
Er y o
z
Hr
②
①1, 1,1 0 2 , 2 , 2
反射波(reflected wave)： Er xˆ Er 0e jk1z
Hr
1 1
(zˆ) Er
yˆ
Er 0 1
e jk1z
其中
k1
11
2 1
,
1
1 1
4
§6.1 平面波对平面边界的垂直入射
第6章 平面电磁波的反射和折射
Reflection and Refraction of Plane Waves
实际应用中电磁波在传播中会遇到不同媒质的分界面。 如：金属波导中传播的微波；光导纤维中传播的光波；地面上传播的无线电波。
电磁波到分界面后，一部分能量被反射形成反射波，另一部分能量穿过界面， 形成折射波。
2 z , 3 , 5 ,
1
22 2
z
0， 1 / 4,
5
4
,
这些最大点的位置也不随时间而改变，称为电场波腹点。
6
§6.1 平面波对平面边界的垂直入射
E1(t)
=
xˆ 2Ei0
sin(k1z)cos(wt
-
p
2
)
=
xˆ 2Ei0
sin(k1z)sinwt
=
xˆ 2Ei0
sin(k1z)sin(
e jk1z )]
1 2
zˆ
Re[Ei0 2
j
sin(k1z)
Ei0
1
2 cos(k1z)]
0
驻波没有单向流动的实功率，它不能传输能量，只有虚功率。
第6章 均匀平面波的反射和透射
0
(3) 理想导体表面电流密度为
J S e z H1
0
z 0
200 jπ / 2 400 ex e ey ex j0.53 ey 1.06
0
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射 x
介质 1： 1 , 1 介质 2： 2 , 2
第6章 均匀平面波的反射与透射
9
6.1.2 对理想导体表面的垂直入射 媒质1为理想介质，σ1＝0
x
媒质1： 1 , 1 , 1
媒质2为理想导体，σ2＝∞
则 故
Ei
媒质2： 2
1 11 , 1
1 , 2 0 1
在分界面上，反射 波电场与入射波电 场的相位差为π
2 1 2 2 jk2c j 2 2c j 2 2 (1 j ) 2
2c 2 2 (1 j 2 )1 2 2 (1 j 2 )1 2 2c 2 2 2
2c
在分界面z = 0 上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即
E1 (0) E2 (0) H1 (0) H 2 (0)
1 (E E ) 1 E im rm tm
1c 2c
Eim Erm Etm
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
8
定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场的振幅与入射波电
场振幅之比、透射系数τ为透射波电场的振幅与入射波电场振幅 Erm 2c 1c 之比，则 Eim Erm Etm Eim 2c 1c 1 (E E ) 1 E Etm 22c 1c im rm 2c tm 讨论： Eim 2c 1c
电磁场与电磁波(第4版)第6章部分习题参考解答
G
G E(z)
G
=
eGx100e− j(β z+90D )
+
G ey
200e− jβ z
由 ∇ × E = − jωμ0H 得
G H
(z)
=
−
1 jωμ0
∇×
G E(z)
=
−
1 jωμ0
⎡ ⎢
G ex
⎢∂
⎢ ⎢
∂x
G ey ∂ ∂y
G ez ∂ ∂zຫໍສະໝຸດ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥=
−
1 jωμ0
G (−ex
∂Ey ∂z
G (1) 电场 E = 0 的位置；(2) 聚苯乙烯中 Emax 和 Hmax 的比值。
解：(1)
令
z
'
=
z
−
0.82
，设电场振动方向为
G ex
，则在聚苯乙烯中的电场为
G E1 ( z
')
=
G Ei
(z
')
+
G Er
(z
')
=
G −ex
j2Eim
sin
β
z
'
G 故 E1(z ') = 0 的位置为 β z ' = −nπ, (n = 0,1, 2,")
G ex
G × Ei (x)
G = ez
1
− j2 πx
e3
12π
A/m
G
G
(2) 反射波电场 Er 和磁场 Hr 的复矢量分别为
G Er (x) =
G
j2 πx
−ey10e 3
G V/m ， Hr (x)
均匀平面波的反射和透射课件
波的传播速度
波的传播速度与介质有关，与频率和波长无关。
平面波的传播特性
平面波的定义
波面是一系列平行的平面的波。
平面波的传播特性
波在传播过程中，波面保持为平面，且波速与波长成正比。
02
均匀平面波的反射
反射定律
01
反射定律总结了波在界面上的反射行为，指出 入射波、反射波和折射波之间的关系。
02
入射波、反射波和折射波的振幅、相位和传播 方向满足一定的关系。
均匀平面波的反射和透射课件
$number {01}
目录
• 引言 • 均匀平面波的反射 • 均匀平面波的透射 • 均匀平面波的反射和透射实例 • 均匀平面波的反射和透射的应用 • 结论与展望
01 引言
波的基本概念
1 2
3
波动
物体振动产生波，波在空间中传播形成波场。
波形
波的形状和大小随时间变化，波形包括正弦波、方波等。
电磁波在通信中的应用
01
02
03
无线通信
利用电磁波传输信息，实 现无线通信，如手机、无 线网络等。
有线通信
利用电缆传输信息，实现 有线通信，如电话、互联 网等。
卫星通信
利用卫星反射和透射电磁 波，实现远距离通信，如 卫星电话、卫星电视等。
06
结论与展望
总结均匀平面波的反射和透射的规律
要点一
总结词
反射波的相位也会发生变化，这 取决于入射角、界面性质和传播 方向。
在某些情况下，反射波的振幅可 能会超过入射波的振幅，这被称 为反射增强。
在其他情况下，反射波的振幅可 能会小于入射波的振幅，这被称 为反射减弱。
03
均匀平面波的透射
透射定律
波的传播速度与介质有关，与频率和波长无关。
平面波的传播特性
平面波的定义
波面是一系列平行的平面的波。
平面波的传播特性
波在传播过程中，波面保持为平面，且波速与波长成正比。
02
均匀平面波的反射
反射定律
01
反射定律总结了波在界面上的反射行为，指出 入射波、反射波和折射波之间的关系。
02
入射波、反射波和折射波的振幅、相位和传播 方向满足一定的关系。
均匀平面波的反射和透射课件
$number {01}
目录
• 引言 • 均匀平面波的反射 • 均匀平面波的透射 • 均匀平面波的反射和透射实例 • 均匀平面波的反射和透射的应用 • 结论与展望
01 引言
波的基本概念
1 2
3
波动
物体振动产生波，波在空间中传播形成波场。
波形
波的形状和大小随时间变化，波形包括正弦波、方波等。
电磁波在通信中的应用
01
02
03
无线通信
利用电磁波传输信息，实 现无线通信，如手机、无 线网络等。
有线通信
利用电缆传输信息，实现 有线通信，如电话、互联 网等。
卫星通信
利用卫星反射和透射电磁 波，实现远距离通信，如 卫星电话、卫星电视等。
06
结论与展望
总结均匀平面波的反射和透射的规律
要点一
总结词
反射波的相位也会发生变化，这 取决于入射角、界面性质和传播 方向。
在某些情况下，反射波的振幅可 能会超过入射波的振幅，这被称 为反射增强。
在其他情况下，反射波的振幅可 能会小于入射波的振幅，这被称 为反射减弱。
03
均匀平面波的透射
透射定律
电磁场与电磁波-第六章-均匀平面波的反射和透射
(
z)
z 0
Er (z) (ex jey )Eme
jz
0
所以反射波是沿－z方向传播的左旋圆极化波
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
16
（2）在z<0区域的总电场强度
E1(z,
Re
Re
t()ex RejeyE)ie(zj)zE(r(ezx)
(ex
je
y
)
j2 sin
1= 2= 0
则
1 j1 j 11
2 j2 j 22
1c 1
1 1
, 2c
2
2 2
2 1 , 22
2 1
2 1
讨论
x
介质1：
1, 1
Ei
ki
Hi
kr
Er Hr
介质2：
2, 2
Et
kt
Ht
y
z
z=0
当η2>η1时，Γ> 0，反射波电场与入射波电场同相
当η2<η1时，Γ< 0，反射波电场与入射波电场反相
ex
Eim
(e
j1z
e
) j1z
H1(z) Hi (z) Hr (z) ey
媒质2中的透射波：
E2
(z)
Et
(z)
ex
Eime
j2 z
Eim
1
(e j1z
e j1z )
H2(z)
Ht
(z)
ey
Eim 2
e
j2 z
电磁场与电磁波
第6章 均匀平面波的反射与透射
20
合成波的特点
E1(z) ex Eim (e j1z e ) j1z ex Eim (1 )e j1z (e j1z e j1z ) ex Eim (1 )e j1z j2 sin 1z
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第6章 均匀平面波的反射与透射【圣才出品】
第6章 均匀平面波的反射与透射（一）思考题6.1 试述反射系数和透射系数的定义，它们之间存在什么关系？答：（1）反射波电场振幅E rm与入射波电场振幅E im的比值为分界上的反射系数；透射波电场振幅E tm与入射波电场振幅E im的比值为分界面上的透射系数。
（2）反射系数Γ和透射系数τ之间的关系为：6.2 什么是驻波？它与行波有何区别？答：频率和振幅均相同，振动方向一致，传播方向相反的两列波叠加后形成的波叫驻波。
行波在介质中传播时，其波等相面随时间前移，而驻波的波形不向前推进。
6.3 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，反射系数大于0？在什么情况下，反射系数小于0？答：均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界时，当时，反射系数Γ＞0；当时，反射系数Γ＜0。
6.4 均匀平面波向理想导体表面垂直入射时，理想导体外面的合成波具有什么特点？答：均匀平面波向理想导体表面入射时，理想导体外面的合成波具有特点如下：合成波电场和磁场的驻波在时间上有的相移，在空间上也错开了且在导体边界上，电场为零。
驻波的坡印廷矢量的平均值为零，不发生电磁能量的传输过程，仅在两个波节之间进行电场能量和磁场能量的交换。
6.5 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，分界面上的合成波电场为最大值？在什么情况下，分界面上的合成波电场为最小值？答：当均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，的位置时，分界面上的合成波电场为最大值。
的位置时，分界面上的合成波电场为最小值。
6.6 一个右旋圆极化波垂直入射到两种媒质分界面上，其反射波是什么极化波？答：右旋圆极化。
6.7 试述驻波比的定义，它与反射系数之间有什么关系？答：驻波比的定义是合成波的电场强度的最大值与最小值之比，即6.8 什么是波阻抗？在什么情况下波阻抗等于媒质的本征阻抗？答：在空间任意点，均匀平面波的电场与磁场强度的模值之比称为自由空间的波阻抗，在均匀无耗各向同性的无界媒质中，均匀平面波的电场与磁场的模值之比称为媒质中的阻波抗。
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面临的问题：进一步求解反射波的幅度 解决的方法：写出表达式，然后利用边界条件
11:53
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第6章 均匀平面波的反射和透射
反射波的求解
媒质1空间中(z<0)将同时存在入射波和反射波。
设:入射波电场为 E e E e jkz x m
反射波电场为 则入射波磁场为
2 2 Em ez ey Em cos t ex cos t
合成波的平均能流密度
1 Sav Re[ E合 H 合 ] 2 1 4 Re[ez j Em sin kz cos kz ] 0 2
结论：当平面波垂直入射到理想导体表面时，在介质空间的合成 波(驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。
E r //
反射波 kr
x
E r^ E t// Et
分界面
y
边界条件
z
E t^
kt
透射波
11:53
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第6章 均匀平面波的反射和透射
一般性应用问题：斜入射+一般性媒质
应用中的典型问题
垂直入射 一般性媒质 , , 理想导体 理想介质
斜入射
理想导体
理想介质
11:53
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第6章 均匀平面波的反射和透射
入射波
合成波 反射波 电场强度 入射波
合成电、磁场的关系： • 时间相位差π/2 • 空间距离相错λ/ 4 •为纯驻波
合成波
反射波
磁场强度
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11:53
第6章 均匀平面波的反射和透射 导体表面的场和电流
Ei
Hi Er
x
Et
Ht
入 y
透
z
Hr
2
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第6章 均匀平面波的反射和透射 反射波的求解
媒质一
入射波电场为(已知)
媒质二
设透射波电场为(待求)
Ei ex Eim e jk1z Eim jk1z H i ey e
Et ex Etm e jk2 z
min
11:53
z =－(n/2+1/4)λ1 z =－nλ1/ 2
(n 0,1, 2,) (n 0,1, 2,)
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第6章 均匀平面波的反射和透射
媒质1空间(z<0)中的合成波(续) 驻波系数（驻波比）
驻波系数定义为驻波电场强度振幅的最大值和最小值之比，即：
介质1中的平均坡印廷矢量
2 Eim Sav = Siav + S rav = ez 1- Γ 2 2η1
能二 量者 守相 恒等 定， 律符 合
反射、透射波功率之和
2 2 Eim Γ 2 τ 2 Eim ＋ = 2 η1 η2 2η1
合成场的实数（瞬时）形式：
E合 Re[ jex 2 Em sin kze jt ] ex 2 Em sin kz sin t
2 2 j t H 合 Re[ey Em cos kze ] ey Em cos kz cos t
合成场的复数形式：
－ jkz jkz jex 2 Em sin kz E合＝E E ＝ex Em (e e )
－ Em jkz 2 jkz H 合＝H H ＝ey (e e ) ey Em cos kz
1
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第6章 均匀平面波的反射和透射 反射波的求解（续） 由两种理想介质边界条件可知：
E1t E2t ( Eix Erx ) z 0 Etx z 0 H1t H 2t ( H iy H ry ) z 0 H ty z 0
11:53
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第6章 均匀平面波的反射和透射 媒质1空间(z<0)中的合成波 媒质1中合成波电场为：
E合 Ei Er ex Eim (e jkz e jkz ) ex Eim [(1 )e jk1z j 2 sin k1 z ]
Ei ki 入射波 Hi Er Hr 反射波 kr
媒质 1
Et
o
y
kt Ht
透射波
z
波透过分界面。
入射方式： 垂直入射、斜入射； 媒质类型： 理想导体、理想介质、导电媒质
媒质 2
均匀平面波垂直入射到两种不同媒 质的分界平面
入射面
Ei
Ei // ki
Er // Er
设反射波电场为(待求)
1
Etm jk2 z H t ey e
Er ex Erm e jk1z
1
2
E H r ey rm e jk1z
则媒质1中总的电场、磁场为：
E合 Ei Er ex ( Eim e jk1z Erme jk1z ) 1 H 合 H i H r ey ( Eime jk1z Erme jk1z )
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第6章 均匀平面波的反射和透射
对理想介质空间中合成波的讨论
入射波 Z向行波
合成波
24
24
驻波
反射波
电场强度 磁场强度
-Z向行波
波腹点位置（驻波电场最大值驻定点的位置）： (2n 1)1 距离导体平板的距离为 zmax (n = 0,1,2,3,…) 4 波节点位置（驻波电场最小值驻定点的位置）： 距离导体平板的距离为 zmin
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第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1.1 对理想导体的分界面的垂直入射
建立图示坐标系
z < 0中，媒质1 为理想介质， 1、1
E+
H
+
x
入
1 0
z > 0中，媒质 2 为理想导体 2
入射波沿x方向线极化
反
E
H
y
z
1 0
2
j k t r E 2 (r ) E t (r ) E tme
问题核心： 已知 E im , k i 求解 E rm , E tm ; k r , k t 利用关系：边界条件
入射面 Ei 入射波 E i^
E i// ki qi Er qr qt
第6章 均匀平面波的反射和透射 入、反、透波的功率密度
* 1 1 2 Ei H i = ez Siav = Re Eim 2 2η1 * 1 1 2 2 Er H r = - e z S rav = Re Γ Eim 2 2η1 * 1 1 2 2 Et H t = ez Stav = Re τ Eim 2 2η2
第6章 均匀平面波的反射和透射
第六章 均匀平面波的反射和透射
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第6章 均匀平面波的反射和透射
均匀平面波分析
j t
均匀平面波 无界单一介质空间
无界多层介质空间
第5章
第6章
11:53
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第6章 均匀平面波的反射和透射
讨论内容
反射系数和透射系数关系为：
2 1 22 1 1 1 2 1 2
当媒质2为理想导体时， 0 ，可知 1,即当电磁波垂直入射 到理想导体面上时，反射系数为－1。
故当电磁波从理想介质空间垂直入射到理想导体分界面上时，反
射波和入射波相位相差180度——半波损失。
已知
jkz E ex Eme
待求
1 jkz H ez ex Em e
由理想导体边界条件可知：
Et 0 ( E x E x ) z 0 0
1 jkz ey Em e
Em Em 0 Em Em
为行驻波
91 4 71 4 51 4 31 4 1 4 —— 驻波电场 —— 合成波 ——电场振幅 行波电场
z
51 / 2 21 31 / 2
z
1
1 / 2
—— —— 合成波 合成波电场 电场
若媒质 < 0 E1 ( z ) Eim 1 max E1 ( z ) Eim 1
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第6章 均匀平面波的反射和透射 反射波的求解（续）
Erm 2 1 定义：反射系数 Eim 2 1
透射系数
Etm 22 Eim 1 2
Er Ei ex Eim e jk1z Et Ei ex Eim e jk2 z
S=
E max E min
1+ Γ S -1 = Γ = 1 1- Γ S +1
讨论： 当Г＝0 时，S ＝1，为行波。 当Г＝±1 时，S = ，是纯驻波。 当 0 1 时，1< S < ，为混合波。S 越大，驻波分 量越大，行波分量越小；
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长沙理工大学物理与电子科学学院
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第6章 均匀平面波的反射和透射
6.1 均匀平面波对分界面的垂直入射