障碍期权定价的扩展研究

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当代财经
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一、障碍期权
所谓障碍期权是指在其生效过程中受到一定限制的期权。

其目的是把投资者的收益或损失控制在一定范围之内。

一种类型的障碍期权为封顶期权，分为封顶看涨期权和封顶看跌期权。

封顶看涨期权是在指数收盘价超过一特定价格时就自动执行的一种期权，而封顶看跌期权是在指数收盘价跌到一特定价格时就自动执行的一种期权。

另一种类型的障碍期权是敲出或敲入期权。

敲出期权是指当标的资产价格达到一特定价格时就自动作废的期权，又可分为下降敲出期权和上升敲出期权。

下降敲出期权也叫敲出看涨期权，给定的价格一般低于执行价格。

而上升敲出期权也叫敲出看跌期权，其障碍一般高于执行价格。

同样，所谓敲入期权是指当资产价格达到某特定障碍时该期权才有效的期权，它又可分为下降敲入期权和上升敲入期权。

下降敲入期权或敲入看涨期权，其障碍一般比执行价格小，而上升敲入期权或敲入看跌期权，其障碍一般比执行价格大。

通常都假设障碍是个常数，但更一般的情况是障碍应当随时间而改变。

本文假设>是常数，而障碍为>56?，其中6是无风险利率，并给出相应障碍期权的定价公式。

二、@98AB<3ACD95E 期权定价公式
从F"年代以来，随着布雷顿森林协议的垮塌，浮动汇率取代了固定汇率；金融市场上开始了一
系列金融创新，产生了许多金融衍生工具。

最基本的有期权、期货、远期和互换等。

金融衍生工具引入市场的主要作用是风险管理（当然会不可避免地被某些市场参与者用于金融投机）。

要对风险进行有效的管理，就必须为金融工具提供精确的定价方法。

以期权为例。

期权是一种权利（而不是责任）。

期权的持有者具有在某一特定时间或时间段内按某一预先确定的价格购买或出售某项资产（如股票、商品、外汇、金融指数等）的权利。

持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收益。

比如，对一份标准的欧式看涨期权（只在到期时刻才能执行），如果到执行时刻)时标的资产的价格3G)H 高于执行价格I ，那么该期权的收益就是差价3G)H <I ；否则，收益为零。

那么，期权买方该向卖方支付多少“期权费”以获得这种权利呢？这就是“期权定价”问题。

为了获得准确的期权定价公式，金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。

早在#$""年，法国数学家巴歇里（J4@8AC59756）就在他的博士论文“
投机的理论”中，把股票价格的变化描述为布朗运动（虽然布朗运动严格的数学基础在#$!%年才由美国数学家维纳建立起来）。

由此诞生了一对双胞胎：连续时间的随机过程数学与连续时间的期权定价经济学。

但他的工作直到K"年代才引起重视。

包括诺贝尔奖
障碍期权定价的扩展研究
梅国平
摘
要：障碍期权是一种受一定限制的特殊期权，其目的是减少投资者的风险。

一般关
于障碍期权的讨论往往只涉及比较简单的情况，即期权障碍是恒定不变的。

但期权障碍是会随时间而变化的，在此情况下的障碍期权的定价则是金融研究的关键问题。

关键词：障碍期权；期权定价公式；随机过程与停时
作者简介：梅国平，复旦大学管理学院应用经济学博士后，江西财经大学信息管理学院教
授，副院长（南昌
%%""#%）。

得主萨缪尔森（!"#$%&’()*+）在内的众多经济学家都试图攻克期权定价这一难题。

,-./年，布莱克、斯科尔斯和默顿在期权定
价方面取得了突破性进展。

他们的模型（称为“01#模型”
）可简述为，假设市场中仅有一种无风险债券和一种股票，无风险债券的价格随时间以指数的形式增长：
02304’52
其中5是无风险债券的利率；股票的价格#,服从“几何布朗运动”（即对数正态分布）：
6#23#2（!627"682）
其中82是一维标准05*9+运动，!和"均为常数，分别称为“期望收益率”和“波动率”（:*($2;(;2<）。

布莱克、斯科尔斯的基本思想是：在完全市场中，期权可以通过无风险债券和相应的标的股票的投资组合“复制”出来。

即期权风险可以被一定比例的股票组合所抵消，从而组成一个（瞬时）无风险的资产组合。

在默顿的帮助下，布莱克和斯科尔斯通过严密的数学推导和论证，在无套利机会、没有交易费用等一系列理想的假设下，推导出标的资产为不付红利股票的欧式看涨期权在时刻2的价格=（#，2）。

即著名的“布莱克—斯科尔斯公式”（下称“0—#公式”
）：=>#2，2）3#2?>6,@1A’15
>B12@
?>6C @
其中，A 是期权执行价格，?>・@为累积标准正态
分布函数，而
在“0—#公式”中，股票的现价、执行价格、到期期限、无风险利率都是可观测的，唯一不容易得到的变量是波动率。

一般地，波动率可从过去价格的涨跌中去估计，也可用所谓的隐含波动率方法。

这使得“01#公式”具有广泛的实用性和可操作性。

几乎在“0—#公式”发表的同时，证券商就开始应用该模型来对期权进行定价、套期保值与风险管理。

布莱克、斯科尔斯、默顿的定价理论是现代金融学最杰出的成就之一。

该理论为金融经济学的研究开辟了新的天地，二十多年来一直是金融理论探索的源泉。

三、障碍期权定价的扩展
由01#公式容易推导出障碍为常数D 时下降敲
出看涨期权的定价公式为：
…#
下面我们讨论期权障碍为D’52时，下降敲出看涨期权的定价问题。

像01#模型一样，假设
6#23!#2627"#2682
其中#2为标的资产价格，82为一维标准05*9+运动，!、"为#2的均值和均方差。

又设A 为期权的执行价格，则根据01#公式，障碍期权在2时刻的价值为：
:3E F%$G （#21AH 4）H $!BI
其中$为#2首次与障碍D’52相碰的时间，即
$3
;+J 2K#23D’5!"2L ，当上述集合为空集!
时由M2*公式知(+#2满足
6（(+#2）3（!N "C
C
）627"682
令#2O3(+#2152，则#2O 明显满足
6#2O3（!N "C
C
15）627"682
此时，$3
;+J 2K#O 23M+!"
D L ，当上述集合为空集!
时
对价格为#O 2的标的资产，其2时刻价值为(+#2152，其执行价格为(+A15B ，障碍变为常数(+D 。

此时，运用障碍为常数时的下降敲出看涨期权定价公式#式，得障碍为D’52时下降敲出看涨期权定价公式：
同理下降敲入看涨期权的价格为
:#（#2H 2）3=（#2H 2）1:（#2H 2）
利用停时的一般特性，我们推导出变界障碍期权的定价公式，它更符合实际情况。

———————————————————参考文献：
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责任编校：魏琳
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