余弦函数图像和性质练习含答案

课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．函数f (x )＝cos(2x －π
6)的最小正周期是( )
B ．π
C ．2π
D ．4π
解析：本题考查三角函数的周期． T ＝2π
2
＝π.
余弦型三角函数的周期计算公式为2π
ω
(ω>0)．
答案：B
2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3个
单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
B ．3
C ．6
D ．9
解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π
3)＝
cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π
3
ω＝2k π，
∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时，
ω有最小值6，故选C.
答案：C
3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π
2
的函数，若f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2≤x ≤0，sin x
0<x ≤π，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－15π4的值等于( ) A ．1 C ．0
D ．－2
2
解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π
2
×
－3＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝2
2
.
答案：B
4．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π
6
)的图象，则φ等于( )
解析：∵y ＝sin(x －π6)＝cos[π2－(x －π6)]＝cos(x －2π
3)．
将y ＝cos x 的图象向右平移2π3个单位可得到y ＝cos(x －2π
3)的
图象，
∴要得到y ＝sin(x －π
6)的图象应将y ＝cos x 的图象左移φ＝2π
－2π3＝4π
3
个单位． 答案：C
5．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为( )
∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3
∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3
∪(0,1)∪(1,3)
D ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
解析：f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f (x )<0的解集为(－3，
－1)∪(0,1)，当x ∈(－π，π)时，cos x >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，cos x <0
的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2，π，
故f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3.
答案：B
6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4π3，0中心对称，
那么|φ|的最小值为( )
解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
8π3＋φ＝0 ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ) ∴φ＝k π＋π2－8π
3(k ∈Z ) ∴|φ|的最小值为|φ|＝|2π＋π2－8π3|＝π6.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．若f (x )＝cos x 在[－b ，－a ]上是增函数，那么f (x )在[a ，b ]
上是________函数．
解析：∵f (x )＝cos x 是偶函数，且偶函数在对称区间的单调性相反，
∴f (x )在[a ，b ]上是减函数． 答案：减
8．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为____________．
解析：由题意知0≤cos x ≤1， ∴2k π－
π2≤x ≤2k π＋π
2
，k ∈Z . 答案：[2k π－π2，2k π＋π
2
](k ∈Z )
9．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
解析：本题考查三角函数的图象及求值问题．
由题意cos π3＝sin(2×π3＋φ)，即sin(2π3＋φ)＝12，2π
3＋φ
＝k π＋(－1)k ·
π6，(k ∈Z )，因为0≤φ<π，所以φ＝π6
. 答案：π
6
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．比较下列各组数的大小 (1)cos 32，sin 110，－cos 74
；
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7，cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
cos 3π7.
解：(1)∵sin 1
10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110≈，
－cos 74＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π－74≈，cos 3
2＝，
又0<<<<π，y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴<<.
即cos 32<sin 110<－cos 7
4
；
(2)∵cos 3π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－3π7＝sin π14，
而0<π14<3π7<π
2，y ＝sin x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，
∴0<sin π14<sin 3π7<1<π
2
，
y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上是减函数，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π14>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin 3π7.
即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π7>cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
sin 3π7.
11．求当函数y ＝sin 2
x ＋a cos x －12a －3
2
的最大值为1时，a 的值．
解：y ＝1－cos 2
x ＋a cos x －12a －32＝－cos 2
x ＋a cos x －12a －12
＝－(cos x －a
2
)2＋a 2
4－12a －1
2
设cos x ＝t ，∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.
∴求函数y ＝－(cos x －a
2)2
＋a 24－12a －1
2
的最大值为1时a 的值，
等价于求闭区间上的二次函数y ＝－(t －a
2
)2
＋a 24－12a －12
(－1≤t ≤1)
的最大值为1时a 的值．
(1)当a
2<－1，即a <－2时，
t ＝－1时，y 有最大值为－32a －3
2
，
由题设可知－32a －32＝1，∴a ＝－5
3>－2(舍去)．
(2)当－1≤a
2
≤1，即－2≤a ≤2时， t ＝a 2
时，y 有最大值为a 24
－a 2－1
2
，
由题设可知a 24－a 2－1
2
＝1，
解得a ＝1－7，或a ＝1＋7(舍去)．
(3)当a 2>1，即a >2时，t ＝1时，y 有最大值为a 2－32
，
由题设可知a 2－3
2＝1，∴a ＝5.
综上可得a ＝1－7或a ＝5. 12．已知函数f (x )＝2cos(π
3
－2x )．
(1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π4，求x 的值；
(2)求f (x )的单调增区间． 解：(1)根据题意cos(π3－2x )＝1
2
，
因为π3－2x ＝2k π±π
3
(k ∈Z )，
而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π4，故x ＝0.
(2)令2n π≤π
3－2x ≤2n π＋π(其中n ∈Z )，
解得－n π－π3≤x ≤－n π＋π
6(其中n ∈Z )，
即k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )，
从而f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )．。