高数复习题 (1)

选择题
1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ C ）. A.12 B.13 C.14 D.15
2.函数()
22arcsin y x z +=的定义域为（ A ）.
A.(){}10,22≤+≤y x y x
B.(){}
10,2
2<+<y x y x
C.()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
+≤20,22πy x y x D.()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
+<20,2
2πy x y x
3.函数22232y x xy z --=的极大值为（ A ）. A.0 B.1 C.1- D.2
1
4.设2
2
3y xy x z ++=，则
()
=∂∂2,1x
z （ C ）.
A.6
B.7
C.8
D.9
5.若几何级数
∑∞
=0
n n
ar
是收敛的，则（ C ）.
A.1≤r
B. 1≥r
C.1<r
D.1≤r
6.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ A ）. A.cx
e y = B.x
ce y = C.x
e y = D.x
cxe y = 7、二元函数x
xy
sin z =
在（0，0）点处的极限是（B ） A 1 B 0 C ∞ D 不存在
8、函数1
122
2
22-++
--=
y x y x y 的定义域是（ C ）.
A.(){
}21,22≤+≤y x y x B.(
){}
21,2
2<+<y x y x
C.(){
}21,2
2
≤+<y x y x D (){
}21,2
2
<+≤y x y x
9、函数xy y x z 333-+=的极小值是（ D ）. A.2 B.2- C.1 D.1-
10、设y x z sin =，则
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy
z ＝（ A ）.
A.
2
2
B.22-
C.2
D.2-
11、正项级数
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
满足关系式n n v u ≤，则（ B ）
A 若
∑∞
=1n n
u
收敛，则
∑∞
=1n n
v
收敛 B 若
∑∞
=1n n
v
收敛，则
∑∞
=1n n
u
收敛
C 若∑∞
=1
n n
v
发散，则
∑∞
=1
n n
u
发散 D 若
∑∞
=1
n n
u
收敛，则
∑∞
=1
n n
v
发散
12、微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ A ）. A.cx e y = B.x ce y = C.x e y = D.x
cxe y =
填空题
1.函数xy
e z =的全微分为______()xdy ydx e xy
+._______________.
2.微分
方程
03=-y d x x d 在1
1
==x y
条件下的特解为
_____3
x y =______________________
3、（0.98）2.03的近似值为____0.96___,sin100的近似值为___0.17365_________。

4、二重积分⎰⎰≤+D
y x D d 的值为1:,2
2σ____л_______ 5、级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的必要条件是 0=∞
→n n u lim
6、函数286422++-+=y x y x )y ,x (f 在点 （3，-1） 处取得极小值，极小值为 -11
7、（0.98）2.03的近似值为____0.96___,sin100的近似值为___0.17365_________。

计算题
1. 设v e z u
sin =，而y x v xy u +==,，求
.,y
z x z ∂∂∂∂ 答案：.()()[]y x y x y e x z xy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y
z xy +++=∂∂cos sin .
2. 已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求
.,y
z
x z ∂∂∂∂ 答案：2.1
2,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.计算
σd y x D
⎰⎰+22sin ，其中2
2224:ππ≤+≤y x D . 答案：
⎰
⎰=⋅π
π
π
ρρρϕ20
2sin d d 26π-.
4、计算
⎰⎰===D
x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ
解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：
1≤y ≤2 y ≤x ≤2
故：
⎰⎰
⎰⎰⎰=-==21
2
1
328
11)22(][dy y y dy xydx xyd y
D
σ
5、用特征根法求y``+4y`+4y=0的一般解 解：特征方程为r 2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0
得重根r 1=r 2=-2，其对应的两个线性无关解为y 1=e -2x ,y 2=xe -2x 所以，方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x
6、已知：y x z =，求：
x
z
∂∂，y z ∂∂．
解：y x y
z yx x z y y ln 1=∂∂=∂∂-
7、求x e x f -=)(展开成x 的级数。

答：
8、设(
)
xy y x f z ，2
2-=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，试求x z ∂∂，y
x z
∂∂∂2．
解：
212f y f x x
z
'+'=∂∂ ， ()
2221222112224f xyf f y x xyf y
x z
++-+-=∂∂∂ ．
9、已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求
.,y
z x z ∂∂∂∂ 答案：2
2,z xy xz
y z z xy yz x z +-=
∂∂+-=∂∂
10、计算二重积分()⎰⎰
+D
dxdy y x ，其中x y x D 22
2≤+：． 解：
作极坐标变换θθsin cos r y r x ==，，有
()()()πθθθθθθθπ
π
π
πθ
=+=
+=+⎰⎰⎰⎰⎰--2
2
3
2
2
cos 20
2
cos sin cos 38
sin cos d dr r d dxdy y x D
11、计算
⎰⎰===D
x y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ
解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：
1≤y ≤2 y ≤x ≤2
故：
⎰⎰
⎰⎰⎰=-==21
2
1
328
1
1)22(][dy y y dy xydx xyd y
D
σ
12、求微分方程012
=+''y y 的积分曲线，使该积分曲线过点⎪⎭
⎫
⎝⎛
210，，且在该点的切线斜率为2．
解：
这是一个不显含自变量x 的微分方程． 设p y ='，则有dy dp p
y =''，代入方程，得 12
-=dy
dp p y 解此方程，得
121
21C y
p +=．由()210=y ，()20='y ，得01=C ．因此有方程
y
dx dy 2
=
．其解为，22
3
232C x y +=，由()210=y ，得2
322132⎪⎭⎫ ⎝⎛=C ，因此所求积分曲线为
2
32
3
21223⎪⎭
⎫
⎝⎛+=x y 或 2
321321⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y
13、.)0(121的敛散性判别级数>⎪⎭⎫
⎝⎛+∑∞
=a n an n n
解
因为
应用题
1.要用铁板做一个体积为23
m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？（7分）
答案：长、宽、高均为m 32时，用料最省.
1. 当轮船的前进速度为0v 时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为mk ，其中0>k 为常数，而m 为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？ 解：
由题意，得方程 2
m k v dt dv m
-=，()00v v =，解方程，得 C kt v
+=1， 由初始条件()00v v =，得 01v C =
，因此，有 0
1
1v kt v +=． 当20v v =时，01kv t =，即经过时间0
1
kv t =，船的速度减为原速度的一半．。