向量的减法081213
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
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向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
数学向量减法知识点总结
数学向量减法知识点总结向量是代数和几何的重要概念，向量减法是在数学上对两个向量进行减法运算的操作。
向量减法的结果是一个新的向量，表示原始向量之间的差异。
在本文中，我们将介绍向量减法的定义、性质以及使用向量减法解决问题的方法。
一、向量减法的定义向量减法的定义是：给定两个向量a和b，它们的差向量a-b是一个新的向量，它的起点与向量a的起点相同，终点与向量b的终点相同。
向量减法的几何意义是两个向量之间的减法运算，它表示了两个向量之间的相对位置关系，以及它们之间的夹角和长度之间的关系。
二、向量减法的性质向量减法满足以下性质：1. 结合律：对于任意三个向量a、b和c，(a-b)-c = a-(b+c)。
2. 交换律：对于任意两个向量a和b，a-b = -(b-a)。
3. 分配律：对于任意三个向量a、b和c，a-(b+c) = a-b -a-c。
这些性质表明向量减法与实数减法类似，满足一些基本的运算规律。
三、向量减法的计算方法向量减法的计算方法是通过几何图形或坐标表示来实现的。
给定两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的差向量a-b=(a1-b1, a2-b2)。
在几何上，向量减法的计算方法是通过平移和相反向量的相加来实现的。
即将起点相同的两个向量进行平移，然后将它们的终点相连，得到一个新的向量，这个新的向量就是它们的差向量。
在坐标表示下，向量减法的计算方法是通过对应坐标的减法来实现的。
即将第一个向量的对应坐标减去第二个向量的对应坐标，得到一个新的向量。
四、向量减法的应用向量减法的应用主要包括几何和物理两个方面。
在几何上，向量减法的应用主要是用于计算向量之间的相对位置关系，以及它们之间的夹角和长度之间的关系。
例如，通过向量减法可以计算两个向量之间的夹角，或者计算一个向量在另一个向量上的投影。
在物理上，向量减法的应用主要是用于计算力和速度之间的关系。
例如，通过向量减法可以计算合力，或者计算物体在不同速度下的位移。
向量的减法
A
C
D
方法：平移向量a、b使它们起点相同， b的终点指向a的终点的向量就是a-b
4.特殊情况
1.共线同向
a
b
a-b
AC
B
2.共线反向
a
b
a-b
B
AC
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d,
求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B a-b A
b a
O
D d c-d
C c
例2：化简
(1)AB + BC -AD=(D )
变式四：证明： a b a b a b ,并说明什么时候取等号？
练习
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
b
D共
作法：
起
作 AB= a, AD =b,以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 AC = a + b 。
点
向量加法的平行四边形法则。
向量减法 简记:终点向量减去始点向量
1.已知：a、b，作OA=a，OB=b则
A
b
a
向+量BBAA叫=做 a 与 b 的差,并记作 a
a-b
BA= a - b=OA-OB
obba向量ba叫做oaob如果把两个向量的始点放在一起则这两个向量的差是减向量的终点为始点被减向量的终点为终点的向量一个向量ba等于它的终点相对于点o的位置向量oa减去它的始点相对于点o的位置向量ob特点
2.1.3 向量的减法
向量的减法知识点总结
向量的减法知识点总结一、向量的定义1.1 向量的概念向量是一个箭头，它有大小和方向。
向量的大小叫做向量的模，用 ||a|| 表示，向量的方向可以用夹角表示。
向量可以用有序对(a,b)或者i,j,k 表示，通常向量标记用字母的小写字母来表示。
1.2 向量的运算向量的运算包括加法和乘法两种。
向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量；向量的乘法有数量积和矢积两种。
二、向量的减法规则2.1 向量减法的定义设有两个向量 a 和 b，向量的减法 a-b 是指将向量 b 的方向取反，然后与向量 a 进行加法运算，得到的结果就是 a-b 的值，即 a-b = a+(-b)。
2.2 向量减法的表示向量减法可以用有序对(a-b)或者i,j,k 表示，其中 a-b = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)。
2.3 向量减法的运算法则(1) 当两个向量的方向相同时，向量减法就是将两个向量的模相减。
(2) 当两个向量的方向相反时，向量减法就是将两个向量的模相加。
2.4 向量减法的例子例1：求向量a(2,3)与向量b(1,2)的差。
解：a-b = (2,3)-(1,2) = (2-1,3-2) = (1,1)。
三、减法的几何意义减法的几何意义是指向量减法所对应的几何图形及其性质。
向量的减法其实反映了向量的平移性质，即一个向量减去另一个向量，就相当于从第一个向量的终点出发，沿着第二个向量的方向进行平移。
四、向量的应用4.1 动力学中的向量减法在物理学中，向量的减法有着广泛的应用。
例如在力学中，当一个物体受到多个力的作用时，可以利用向量减法来求合力。
4.2 平面几何中的向量减法在平面几何中，向量减法可以用来求线段的连接、平移和大小关系等问题。
4.3 电磁场中的向量减法在电磁场中，向量减法可以用来求解电场、磁场的合成问题，分析电磁场强度大小和方向的关系。
4.4 计算机图形学中的向量减法在计算机图形学中，向量减法可以用来求解几何平移、旋转和缩放等问题，对图形的处理有着重要的应用价值。
向量减法运算及几何意义
向量减法在三维空间中的应用
平行六面体的性质
通过向量减法，可以证明平行六面体 的相对面向量相等，即$vec{AB} = vec{CD}$。
球面距离的计算
在三维空间中，可以通过向量减法计 算球面上两点之间的最短距离，即球 面距离。
向量减法的几何解释
向量减法的几何意义是向 量的合成与分解
向量减法可以看作是向量的合成与分解的过 程，即$vec{AB} - vec{CD} = vec{AC} + vec{CB}$。
解析实例一：平面向量问题
总结词
平面向量问题主要涉及二维空间中的向 量，通过向量减法运算可以求解速度、 力等物理量。
VS
详细描述
在平面向量问题中，我们常常需要计算两 个向量的差，即向量减法。例如，在速度 和力的合成与分解问题中，通过向量减法 可以求得相对速度或力的大小和方向。
解析实例二：空间向量问题
零向量性质
向量的差等于零向量时，两个向量相等，即$vec{A} - vec{B} = vec{0}$当且仅当$vec{A} = vec{B}$。
线性性质
向量差满足线性运算，即对于任意实数$k$， 有$k(vec{A} - vec{B}) = kvec{A} - kvec{B}$。
05
向量减法运算的实例解析
详细描述
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照原方向的反方向进行平移得到的。 具体来说，设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，它们的起点分别为$A$和$B$，终点分别为$C$和$D$， 则$vec{A} - vec{B}$的起点为$B$，终点为$C$，方向与$vec{A}$相同。
重要性及应用领域
向量减法在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、力的合成与分解、运动轨迹 的描述等。
向量的减法运算
详细描述
向量的模可以通过勾股定理计算得出，即向量模的平方等于分量的平方和。在二维平面中，向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$；在三维空间中，向量模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有传递性、 三角不等式等基本性质。
反身性
$vec{A} + (-vec{A}) = vec{0}$。
03
向量的减法运算
向量减法的定义
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则 进行计算得到的。
数学表示
设$vec{A} = (x_1, y_1)$和$vec{B} = (x_2, y_2)$，则$vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
05
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量与任意向量相 减，结果仍为该任意 向量。
零向量无法与非零向 量进行除法运算。
零向量减去零向量结 果仍为零向量。
减法运算与加法运算的关系
01
向量的减法可以看作是加法运算的逆运算。
02
向量A减去向量B等于向量A加上向量B的相反向量。
03
向量减法满足结合律和交换律，即A-B-C=A-(B+C) 且A-B=B-A。
化。
电流与电压的减法运算
总结词
描述电流与电压的减法运算在物理中的具体应用。
详细描述
在电路分析中，电流和电压是描述电路工作状态的重 要物理量。向量的减法运算在电流与电压的计算中具 有实际意义。通过电流的减法运算，可以计算出电路 中的总电流和分支电流；通过电压的减法运算，可以 分析电路中电位的变化和电能的传输情况。通过这些 计算和分析，可以进一步了解电路的工作原理和性能 特点，为电子设备和系统的设计提供理论支持。
向量的减法运算
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|Ԧ − | = |||
Ԧ − |||成立的充要条件是与同向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量.
Ԧ
向量的三角不等式
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
Ԧ + ≤ Ԧ + ，当且仅当Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
a
b
B
a-b
几何意义 Ԧ − 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
思考3 向量的三角不等式是什么？
Ԧ − ≤ Ԧ ± ≤ Ԧ +
A
A．[3，8]
B．(3，8)
C．[3，13]
D．(3，13)
经典例题
向量减法的几何意义
Ԧ
Ԧ
例1（教材P12 例3）如图，已知向量,
Ԧ , ,
Ԧ ，求作向量
Ԧ − ，Ԧ − .
a
b
b
d
d
a
c
c
O
练一练 如图，已知向量,
Ԧ , 不共线，求作向量
Ԧ
Ԧ + − .
Ԧ
经典例题
经典例题
用已知向量表示未知向量
例3（教材P12例4）如图，在平行四边形中， = ，
Ԧ
= ，用
,
Ԧ 表示向量, .
注意向量的方向
向量 AC a + b
向量 DB a - b
练一练 如右图, 在四边形中，设 = ，
Ԧ
= ，
Ԧ + Ԧ − .
(2) − − ( − ).
解：(1)原式= − = ;
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三、参考例题
1、如图，平行四边形ABCD中，AB a，
AD b，E是AB的中点., F是DE与AC的交点，
试用向量a，b表示AC、BD, DE, BF .
AC a b D
BD AD AB b a
DE AE AD 1 a b 2
b F
BF
DF DB
2 DE 3
ab
一、复习引入
向量的加法
(1)三角形法则
ab
b
a
(2)平行四边形法则
a ab
b
二、讲授新课
1、相反向量
定义：与向量a长度相等、方向相反的向量 叫做a的相反向量，记作 a.
a和 a是互为相反向量. 规定，零向量的相反向量仍是零向量,即 0 0. (a) a;
a (a) (a) a 0; 如果a、b是互为相反向量，则 a b，b a，a b 0.
熟练地掌握用三角形法则作出两向量的 差向量；
能结合图形进行向量计算以及用两个向 量表示其它向量。
向量的三角不等式：
|| a | | b ||| a b || a | | b |
五、作业：
习题2-2 A4，B4
若为△ABC内一点O， OA OB OC 0 ，则O是
△ABC 的（ D）
D
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 b
AC=a+b;由作向量差 A a 的方法，知DB=AB-
C B
AD=a-b.
例5 已知|a|=6，|b|=8，且|a+b|=|a-b|，
求|a-b|.
变式 已知|a|=2，|a+b|=|a-b|=3，
求|b|.
巩固练习：
1、如图，已知a，b，求作a b
A．内心
B．外心 C．垂心
D．重心
作向量a-b+c.
C
c
c a-b+c
D
b a
B a-b
b
O
a
A
解：在平面上任取一点O，作OA a,OB b,则BA a b 再作BC c，并以BA，BC为邻边作平行四边形BADC，则 BD BA BC a b c.
试一试：如图：平行四边形ABCD 中，AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
A
a
O
b
ab
BA OA OB a b
B
从向量差的作法我们可以得到这样的结论： 从同一点出发的两个向量a, b，
a b就可以表示为从向量b的终点指向 向量a的终点的向量. （向量减法的三角形法则）
思考：若a // b，那么a b ?
a与b同向 a
b
a与b异向
a
b
a ab
b
a
b
ab
例4.已知：向量a、b、c如图所示，求
2、向量的减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，
即a b a b .
求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 向量减法是向量加法的逆运算.
如图，已知a,b，那么如何作出a b？
a
b
在平面内任取一点O,
作OA
a,
则OD a (b) D
OB1A b
a b
ab
a
B1
b O
bB
A
2 1 a b a b 2 a 1 b
32
33
aE
C B
2、如图，任意画出互不共线的三个向量a,b, c,
作图验证a b c a b c
作法：在平面内任取一点O,
a
作OA a,OB b, BC c
B
c
c
b
b ab
C
bc
O
aA
四、小结
向量的减法的定义是建立在向量加法的 基础上的；
a
b a
ab
a
b
b
ab
2.已知：向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
∴BA =a-b DC =c-d
B
A： (1) AB AD ____D_B_____ (2)BA BC ____C_A______ (3) AB AC DB ___C_D_____ (4) AB BC AD DB __B__C____