2019届高考文科数学一轮复习教师用书：4.4数系的扩充与复数的引入

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四节数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念 (1)复数的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模： 向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ―→ . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

2．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i

解析：选D 3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i. 3．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(2x＋i)(1－i)＝y，则y的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2

解析：选D (2x＋i)(1－i)＝(2x＋1)＋(1－2x)i＝y，所以1－2x＝0，解得x＝12，所以y＝2x＋1＝2. 4．若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则a的值等于( ) A．1 B．2 C．5 D．6 解析：选B 因为复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点为(a－1,3)，由题意得点在直线y＝x＋2上，所以3＝a－1＋2，解得a＝2. 5．若复数z满足zi＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．

解析：由zi＝1＋i可得z＝1＋ii＝1＋i－ii－i＝1－i，所以z的共轭复数是1＋i. 答案：1＋i 6．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________. 解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4. 答案：4 考点一 复数的有关概念 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]

复数的基本问题主要有复数的分类、相等、模、共轭复数等，单独考查较少，多与复数运算结合，以选择题、填空题的形式出现，属于低档题.

1．(2018·云南一检)已知i为虚数单位，则1＋2i1－i的共轭复数为( ) A．－12＋32i B.12＋32i C．－12－32i D.12－32i 解析：选C 因为1＋2i1－i＝1＋2i1＋i1－i1＋i＝－12＋32i，所以其共轭复数为－12－32i. 2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( ) A.12 B.22 C.2 D．2 解析：选C 因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i， 所以|z|＝2. 3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．

解析：由a－i2＋i＝a－i2－i2＋i2－i＝2a－15－2＋a5i是实数，得－2＋a5＝0，所以a＝－2. 答案：－2 4．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________. 解析：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，

∴ a2－b2＝3，2ab＝4，∴ a＝2，b＝1或 a＝－2，b＝－1， ∴a2＋b2＝5，ab＝2. 答案：5 2 [怎样快解·准解]

紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 考点二 复数的几何意义 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]

复数的几何意义是高考重点考查的内容之一，一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大.,在复习中理清复数与复平面内的点以及复平面内以原点为起点的向量的一一对应关系. 1．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选B 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以 a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1. 2．(2018·福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( ) A．1＋i B.35＋45i

C．1＋45i D．1＋43i 解析：选B 因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以z1z2＝2＋i2－i＝2＋i25＝35＋45i，故选B. 3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若OC―→＝λOA―→＋μOB―→ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________． 解析：由条件得OC―→＝(3，－4)，OA―→＝(－1,2)， OB―→＝(1，－1)， 根据OC―→＝λOA―→＋μOB―→得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，

∴ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4， 解得 λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1 [怎样快解·准解]

1．对复数几何意义的再理解 (1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 2．与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； 第二步，把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应． 考点三 复数的四则运算 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]

复数的四则运算是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，难度多为中低档题. 1．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( ) A．－2i B．2i C．－2 D．2

解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝1＋ii＝1i＋1＝1－i. ∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i. 2．若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为( )

A.55 B.55i C．1 D．i 解析：选A 由题意可知z＝|1＋2i|2－i＝52＋i2－i2＋i＝52＋i5＝255＋55i，故其虚部为55. 3．(2018·昆明质检)设复数z满足1＋i2z＝1－i，则z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i

解析：选C 由题意得z＝1＋i21－i＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i. 4．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 0181＋i，则复数z在复平面内对应点的坐标为________． 解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0， 而2018＝4×504＋2，

所以z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 0181＋i＝i＋i21＋i＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i1＋i1－i＝2i2＝i，对应的点为(0,1)． 答案：(0,1) [怎样快解·准解]

1．复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可． (2)复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (3)复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 2．记住以下结论，可提高运算速度

(1)(1±i)2＝±2i； (2)1＋i1－i＝i；

(3)1－i1＋i＝－i; (4)a＋bii＝b－ai； (5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜) A级——基础小题练熟练快 1．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3 i，z·z＝4，则a＝( ) A．1或－1 B.7或－7 C．－3 D.3 解析：选A 法一：由题意可知z＝a－3i， ∴z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. 法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. 2．若复数z＝(a＋i)2(a∈R)在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝( )