最新-2018届高考数学单元练习及解析：函数的定义域和值域 精品
2018届人教A版(文) 函数的定义域和值域 单元测试
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第二节 函数的定义域和值域A 基础巩固训练1. 【2016年山东济宁市模拟】函数()31log f x x=的定义域为（ ） A ． {}1x x < B ．{}01x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}1x x > 【答案】B【解析】函数()31log f x x =的定义域为{}3220log 0010x x x x x ⎧-≥⎪≠⇒<<⎨⎪>⎩2. 已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．012≤<-a B ． 012<<-a C ．31>a D ．31≤a 【答案】A3. 已知函数|21|(2)()3(2)1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，则()f x 的值域是（ ）A ． [0,)+∞B ．[1,3]-C ．[1,)-+∞D ．[0,3] 【答案】D【解析】当2<x 时，024,1213,0213x x x<<∴-<-<∴≤-<；当2≥x 时，3130≤-<x .所以)(x f 的值域为[0,3]，故选D. 4.【2016年云南曲靖一中模拟】已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，则()f x 的值域为（ ）A ．[5,9]B ．21[5,]4 C ．21[,9]4D ．[6,10] 【答案】A5. 已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是（ ）A. (]4,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：32x =.则325()24f =-，(0)4(3)f f =-=。
2018届高考数学第二章函数导数及其应用5函数的定义域和值域试题理
考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )A．(0,2] B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2] 答案 C解析f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0且x>0，所以0＜x≤2且x≠1.2．若函数y＝x2－4x的定义域是{x|1≤x<5，x∈N}，则其值域为( )A．[－3,5) B．[－4,5)C．{－4，－3,0} D．{0,1,2,3,4}答案 C解析分别将x＝1,2,3,4代入函数解析式，解得y＝－3，－4，－3,0，由集合中元素的互异性可知值域是{－4，－3,0}．3．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)答案 C解析由已知得0≤16－4x<16,0≤16－4x<16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)．4．若函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－9]∪[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[－9,1] D ．(0,1]答案 B解析 由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2,0] D ．[1,3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2,0]．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，所以1－2a >0，即a <12，同时，1－2a ＋3a ≥0，即a ≥－1，综上，－1≤a <12，故选C.7．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 B解析 当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103答案 B解析 因为F (x )＝f (x )＋1f x≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B.9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析 因为5－x＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为[0，＋∞)；因为1－x ∈R ，根据指数函数性质可知C 项中函数的值域为(0，＋∞)，故选C.10．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析 由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [0,1]解析 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))的值域为________． 答案 {2,3,5}解析 由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题13．[2014·山东高考]函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 14．[2014·上海高考]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．[2016·江苏高考]函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1. 16．[2015·浙江高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a＋b ＝－32.18．[2015·福建高考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.三、模拟小题19．[2016·湖南三校联考]函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( ) A ．[－1,4] B ．(－1,4] C ．[1,4] D ．(1,4]答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．[2017·内蒙古包头一中模拟]若函数f (x )＝1log 3x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．[2017·杭州联考]设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．[2017·邵阳石齐中学月考]已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0,1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2,2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．[2017·东北三校联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx ＋，x >0，x x －，x ≤0，则f (a )的值不可能为( )A ．2017B ．12016C ．0D ．－2答案 D解析 如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为[0，＋∞)，故f (a )不可能为－2. 24．[2016·汕头模拟]函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为________． 答案 [0,8]解析 当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为[0,8]．一、高考大题1．[2016·浙江高考]已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．[2017·贵州六盘水二中月考]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1,9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈[1,3]，∴log 3x ∈[0,1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6,13]．3．[2017·云南师大附中月考]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0， 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174，∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴－194≤f (a )≤4，即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 4．[2016·山西质检]已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3， 即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32， 又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减， 则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。
2018高考数学(理)(全国通用) 第二章 函数 Word版含解析
第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-， 所以()f x 是奇函数． 又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．解析 由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．第三节 二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析 函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析 解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟， 即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =时取等号），()h x=222x x +…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ． 解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x +>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节 指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg3lg10361lg380x =-=⨯-，即93.28x =， 所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（ ）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx=3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析 因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y mx mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x=-与y m 有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。
2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用5函数的定义域和值域试题理
考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题1．函数f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )A．(0,2] B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2] 答案 C解析f(x)＝1lg x＋2－x是复合函数，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0且x>0，所以0＜x≤2且x≠1.2．若函数y＝x2－4x的定义域是{x|1≤x<5，x∈N}，则其值域为( )A．[－3,5) B．[－4,5)C．{－4，－3,0} D．{0,1,2,3,4}答案 C解析分别将x＝1,2,3,4代入函数解析式，解得y＝－3，－4，－3,0，由集合中元素的互异性可知值域是{－4，－3,0}．3．函数y＝16－4x的值域是( )A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)答案 C解析由已知得0≤16－4x<16,0≤16－4x<16＝4，即函数y＝16－4x的值域是[0,4)．4．若函数y ＝kx 2－6x ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－9]∪[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[－9,1] D ．(0,1]答案 B解析 由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋8 ≤0，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－8，－3] B ．[－5，－1] C ．[－2,0] D ．[1,3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为[－2,0]．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，所以1－2a >0，即a <12，同时，1－2a ＋3a ≥0，即a ≥－1，综上，－1≤a <12，故选C.7．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 B解析 当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103答案 B解析 因为F (x )＝f (x )＋1f x ≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B.9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析 因为5－x＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为[0，＋∞)；因为1－x ∈R ，根据指数函数性质可知C 项中函数的值域为(0，＋∞)，故选C.10．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析 由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [0,1]解析 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))的值域为________． 答案 {2,3,5}解析 由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题13．[2014·山东高考]函数f (x )＝1log 2x 2－1的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 14．[2014·上海高考]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．[2016·江苏高考]函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案 [－3,1]解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1. 16．[2015·浙江高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1 ，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．[2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在[－1,0]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a＋b ＝－32.18．[2015·福建高考]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1＜a ≤2.三、模拟小题19．[2016·湖南三校联考]函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( ) A ．[－1,4] B ．(－1,4] C ．[1,4] D ．(1,4]答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．[2017·内蒙古包头一中模拟]若函数f (x )＝1log 3 2x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．[2017·杭州联考]设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．[2017·邵阳石齐中学月考]已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是[0,1]，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴[a ，b ]⊆[－2,2]．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．[2017·东北三校联考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋4 ，x >0，x x －4 ，x ≤0，则f (a )的值不可能为( )A ．2017B ．12016C ．0D ．－2答案 D解析 如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为[0，＋∞)，故f (a )不可能为－2. 24．[2016·汕头模拟]函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为________． 答案 [0,8]解析 当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为[0,8]．一、高考大题1．[2016·浙江高考]已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0， 当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为[2,2a ]． (2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．[2017·贵州六盘水二中月考]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，试求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为[1,9]，要使[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为[1,3]．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈[1,3]，∴log 3x ∈[0,1]，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域为[6,13]．3．[2017·云南师大附中月考]已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0， 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174，∴f (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴－194≤f (a )≤4，即f (a )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4. 4．[2016·山西质检]已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3， 即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32， 又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减， 则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。
2018高考数学考点突破函数与导数、定积分：函数及其表示 含解析 精品
函数及其表示【考点梳理】1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【考点突破】考点一、求函数的定义域【例1】(1)函数y＝3－2x－x2的定义域是________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． [答案] (1)[－3，1] (2)[0，1)[解析] (1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0，1)． 【类题通法】1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【对点训练】1．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A[解析] 由题意，自变量x 应满足⎩⎨⎧ 1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎨⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.2．已知函数f (2x )的定义域为[－1，1]，则f (x )的定义域为________.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2[解析] ∵f (2x )的定义域为[－1，1]， ∴12≤2x≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.考点二、求函数的解析式【例2】(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式． (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解析] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)． 【类题通法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式． 【对点训练】1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. [答案] x 2－1(x ≥1)[解析] (换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， 所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.[答案] 23x ＋13(x ＞0)[解析] 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13(x ＞0)．3．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x －1[答案] A[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.考点三、分段函数及其应用【例3】(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( )A ．2 016 B.14 C ．4 D.12 016[答案] (1)C (2)C[解析] (1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C. (2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C. 【例4】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3 D.3或－ 3[答案] D[解析] f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D. 【例5】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2(x ＋1)，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[答案] (1)－13 (2)(－∞，8][解析] (1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13. (2)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． 【类题通法】1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.[答案] 4[解析] ∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4. 2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －2)，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.[答案] 1[解析] 由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1B ．78 C ．34 D ．12[答案]D[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则522b -＝4，解得b＝12.4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[答案] A[解析] 由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74. 综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，2][解析]由题意得⎩⎨⎧ f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎨⎧f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2. 由⎩⎨⎧ a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎨⎧a ≥0，－a 2≥－2， 解得a ≤ 2.。
2018年高考数学(理)总复习课件：高考研究课(一) 函数的定义域、解析式及分段函数
函数方 程法
已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的问题，往往把右边的g(x) 整理构造成只含h(x)的式子，用x将h(x)替换 已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外， 还有其他未知量，如f(－x)，f，则可根据已知等式再 构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
[即时演练] 1． 如果 f 1 A.x 1 C. 1－ x
1 1 x＋ ＋f x－ 的定义域是________． 2 2
解析：因为函数 f(x)的定义域是[0,2]， 所以函数
1 1 g(x) ＝ f x＋2 ＋ f x－2 中 的 自 变 量
x 需要满足
1 0≤x＋2≤2， 0≤x－1≤2， 2 所以函数
1 x ＝ ， 则当 x 1－x
x≠0 且 x≠1 时， f(x)等于 1 B. x－1 1 D.x－1
(
)
1 1 解析：令x＝t，得x＝ t ， 1 1 ∴f(t)＝ ＝ ，∴f(x)＝ . 1 t－ 1 x－1 1－ t 1 t
1 3 解得 ≤x≤ ， 2 2
1 3 g(x)的定义域是2，2.
1 3 答案：2，2
函数解析式的求法
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待 定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目 难度不大，以选择题、填空题的形式出现.
[典例]
(1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与
因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－1≥0
对 x∈R 恒成立，即 2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0 恒成立，因此 有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0]
高三数学-2018年高考题分章节汇编 函数(一) 精品
2018年高考题分章节汇编第二章 函数(一)一、选择题1．(2018年高考·湖南卷·理2)函数f (x )＝x 21-的定义域是 （ ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）2．(2018年高考·湖南卷·文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.18x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A ．45.618B ．45.6C ．45.56D ．45.513．(2018年高考·辽宁卷6)若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(4．(2018年高考·辽宁卷7)在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 5．(2018年高考·辽宁卷10)已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 （ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ6．(2018年高考·辽宁卷12)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D7．(2018年高考·江西卷·文4)函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．（1，2）∪（2，3）B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．[1，3]8．(2018年高考·重庆卷·文5)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 ( )A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(9．(2018年高考·浙江卷·理3)设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝ ( )A ．21B ．413C ．－95D ．254110．(2018年高考·浙江卷·文4)设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f (21)]＝ ( )A ．－21 B ．0 C ．21 D ． 111．(2018年高考·全国卷Ⅰ·理7)设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 12．(2018年高考·全国卷Ⅰ·理8文8)设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使x x f 的0)(<取值范围是 （ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a13．(2018年高考·全国卷Ⅲ·文5)设713=x，则 （ ）A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<1二、填空题14．(2018年春考·北京卷·理14)若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是__________；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 15．(2018年高考·北京卷·文11)函数xx x f -++=211)(的定义域为 ． 16．(2018年高考·广东卷11)函数xex f -=11)(的定义域是 ．17．(2018年高考·湖北卷·文13)函数x x x x f ---=4lg 32)(的定义域是 ．18．(2018年高考·江苏卷15)函数)34(l o g 25.0x x y -=的定义域为_____________________．19．(2018年高考·江苏卷17)已知a ，b 为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则=-b a 5_________．20．(2018年高考·天津卷·文15)设函数x x x f -+=11ln )(，则函数)1()2()(xf x f xg +=的定义域为__________．三、解答题21．（本小题满分12分）(2018年春考·北京卷·理15)设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数121)(--=x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．22．（本小题满分12分）(2018年春考·北京卷·文15)记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．23．（本小题满分12分）(2018年高考·全国卷Ⅰ·文19)已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.。
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【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t )＝92－32·3t∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ；（4）0x 中的底数不等于0；（5）指数函数xy a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈;（2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.(3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域【1-1】函数y_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函定义域为_________．【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩【1-3】________．【答案】()()2,11,2 --【解析】得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.，解得()()4,11,4x ∈--.的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． 【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件．如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---， ，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得．所以a 的值为【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误； 求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。
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函数的定义域和值域
题组一 函数的定义域问题
1.(文)(2018·江西高考)函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为 ( )
A. B. D.
解析：求y＝－x2－3x＋4x的定义域，
即2340,0.xxx≥⇒.
答案：D
(理)(2018·江西高考)函数y＝ln(x＋1)－x2－3x＋4的定义域为 ( )
A.(－4，－1) B.(－4,1) C.(－1,1) D.(－1,1]
解析：定义域21>034>0xxx⇒－1＜x＜1.
答案：C
2.若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是 ( )
A.(0，34) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.(－∞，0]∪[34，＋∞) D.，则f(x＋a)·f(x－a)(0
＜a＜12)的定义域是 .
解析：∵f(x)的定义域为，
∴要使f(x＋a)·f(x－a)有意义，
须011,011.xaaxaxaaxa≤≤≤≤≤≤≤≤
且0
题组二 函数的值域问题
4.若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是
( )
A.a＝－1或3 B.a＝－1
C.a>3或a<－1 D.－1
－3＝0时，得a＝－1或3，但当a＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域
都为R，故a＝－1.
答案：B
5.若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是
A.[12，3] B. C.[52，103] D.
解析：令t＝f(x)，则12≤t≤3，由函数g(t)＝t＋1t在区间[12，1]上是减函数，在上是增函
数，则g(12)＝52，g(1)＝2，g(3)＝103，故值域为.
答案：B
6.对a，b∈R，记max{a，b}＝,,
A.0 B.12 C.32 D.3
解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，
由图象可得，其最小值为32.
答案：C
7.(2018·珠海模拟)若函数y＝f(x)的值域是，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是 .
解析：∵1≤f(x)≤3，
∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，
∴－5≤1－2f(x＋3)≤－1，
即F(x)的值域为.
答案：
8.分别求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1x－3；
(2)y＝－x2＋2x(x∈)；
(3)y＝x＋1－x2；
(4)y＝1－2x1＋2x.
解：(1)分离变量法将原函数变形为
y＝2x－6＋7x－3＝2＋7x－3.
∵x≠3，∴
7
x－3
≠0.
∴y≠2，即函数值域为{y|y∈R且y≠2}.
(2)配方法
∵y＝－(x－1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是.
(3)换元法
先考虑函数定义域，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，设x＝cosθ(θ∈)，则y＝sinθ＋cosθ
＝2sin(θ＋π4)，易知当θ＝π4时，y取最大值为2，当θ＝π时，y取最小值为－1，
∴原函数的值域是.
(4)分离常数法
y＝1221221121212xxxxx
∵1＋2x＞1，∴0＜212x＜2，
∴－1＜－1＋212x＜1，∴所求值域为(－1,1).
题组三 函数定义域和值域的综合问题
9.(2018·福建“四地六校”联考)设集合A＝，函数f (x)＝1,,22.xxAxxB(1-),若x0∈A，
且f ∈A，则x0的取值范围是 ( )
A.(0，14] B.[14，12] C.(14，12) D.
解析：∵0≤x0＜12，∴f(x0)＝x0＋12∈[12，1)ÜB，
∴f＝2(1－f(x0))＝2＝2(12－x0).
∵f∈A，∴0≤2(12－x0)＜12.
∴14＜x0≤12，又∵0≤x0＜12，∴14＜x0＜12.
答案：C
10.设f(x)＝2,2,,<1,xxxx≥若f(g(x))的值域是∪∪∪；
(2)函数f(x)＝k*x的值域是 .
解析：(1)1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1.
(2)f(x)＝k*x＝1]x)＋1＋x≥1.
答案：(1)1 (2)恒成立，试求b的取值范围.
解：(1)由已知c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2.
∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝22(1),(0),(1),(0).xxxx
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]恒成立，即b≤1x－x
且b≥－1x－x在x∈(0,1]恒成立，
根据单调性可得1x－x的最小值为0，
－1x－x的最大值为－2，
所以－2≤b≤0.