高中数学(人教A版,选修4-1)同步课件：1.1《平行线等分线段定理》
数学人教A版选修4-1课件：1.1 平行线等分线段定理
过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.
证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC', ∴AA'∥BB'∥CC'. ∵AB=BC, ∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点.
-13-
D典例透析 IANLI TOUXI
知识拓展三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边长的一半.
-8-
M 一 平行线等分线段定理
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
123
【做一做2】 如图,DE是△ABC的中位线,点F是BC上任一点,AF
-14-
M 一 平行线等分线段定理
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
证明:过点A作MN∥D5B. 则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
交DE于点G,则有( )
A.AG>GF B.AG=GF C.AG<GF D.AG与GF的大小不确定
解析:∵DE是△ABC的中位线, ∴在△ABF中,DG∥BF.
又AD=DB,
高中数学 1.1平分线等分线段定理课件 新人教A版选修4-1
栏 目 链 接
10
点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
ppt精选
11
►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
ppt精选
5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
ppt精选
6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
ppt精选
16
分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
ppt精选
9
证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.
《平行线分线段成比例》课件7(人教A版选修4-1)
A D
l1
B
E
l2
C
F
l3
图1 8
我们可以将上述问题化归为平行 线间距离相等的情形 . AB 2 如图1 9, 如果 , 设线段 BC 3 AB的中点为P1 , 线段BC 的三分 点为P2、P3 , 这时有 AP P1 B BP2 P2 P3 P3C . 1
l
A D B
l`
l1
观察图1 10 和图1 11 , 它们是图1 8 的特殊情形,即 l 与 l `的交点都在l1上 . 根 据 平行线分线段成比例定理可得 , AD AE . AB AC
l2
E C
l3
图1 10
l
D
A B C
l` E
l1
l2
如果把图 10 和图1 11中的直线l2 1 看成是平行于 ABC的BC 边的直线, 那么可以得到:
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC DE DF BC AC EF DF AB DE AC DF BC EF AC DF
是 是
是
是
综合以上，结论是对应线段成比例.
上 全 ; 上 全 B 下 全 ;C 下 全 上 上 ; 全 全 下 下 ; 全 全
A
D E
l1 l2
F
l3
. .
.
一般地, 我们有 平行线分线段成比例定理 三条平行线 截两条直线,所截的对应线段成比例.
思考:你怎样理解“对应线段成比例”
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B
人教A版高中数学选修4-1课件 平行线分线段成比例定理课件
A
B
预设：如右图所示，根据平行线等分线段定理可知 B平分线段2：3
请谈谈你的想法。
C
提出疑问
平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等 问题：一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,结论如何?
提出疑问
l A
如图所示:三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?
问题1
:
若
AB BC
34，那么DEFE
类 比
2)图形语言：如图l1//l2//l3，则有:
思 想
AB DE , AB DE , BC EF BC EF AC DF AC DF
.
变式有：AB DE
BC EF
, AB DE
AC DF
,BC EF
AC DF
定理说明
“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成 对应线段，如图中AB和DE；
E
F
问题2：由AD//BC//AB能否得出 AE DF EB CF
预设： AE DF , 即a c
b
?
EB CF b CF
CF bc (米)
a
B
C
例3，如图有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B 处均为直角，草地中间 另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.
人民教育出版社 高二选修4-1
第一单元
平行线分线段等比例定理
复习回顾
问题1：请同学们回忆一下平分线等分线段定理？ 预设：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段 也相等 问题2：请同学们回忆一下平分线等分线段定理两个推论？ 预设：推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
2014年人教A版选修4-1课件 1.平行线等分线段定理
思想: 借助平行四 边形对边相等.
已知: A1, A2, A3 是直线 l 上的点, A1A2=A2A3, 直线 l1//l1//l3. 直线 l 分别交 l1, l2, l3 于 B1, B2, B3. 求证: B1B2=B2B3.
证明: (2) 当 l//l 时 (如图), 作 B1C1//l, 交 l2于C1; B2C2//l, 交 l3于C2. ∵l1//l2//l3, ∴ A1A2C1B1, A2A3C2B2 是平行四边形, 则 A1A2=B1C1, A2A3=B2C2, 又∵A1A2=A2A3, ∴B1C1=B2C2. ① l A1 A2 A3
3
在什么条件下, 可能得什么结论, 请写出你的猜想.
问题 1. 请同学们画一直线 l, 并在 l 上取线段 A1A2=A2A3, 然后分别经过点 A1, A2, A3 画三条互相 平行的直线 l1, l2, l3. (1) 画直线 l//l, 依次交三条平行线于 B1, B2, B3. 量一量, B1B2 与 B2B3 相等吗? (2) 画直线 l 不平行 l, 依次交三平行线于 C1, C2, C3. 量一量, C1C2 与 C2C3 相等吗? l l l 猜想: A1 B1 C1 l 1 如果一条直线被三条 A2 B2 平行直线截得的线段相等, C2 l2 那么这三条平行线截其他 B3 A3 C3 l 直线所得的线段也相等. 3 猜想是否正确?
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
推广: 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条 直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的 线段也相等. l l l 问题3. 将 l 平移使 B1 与 A1B1 B1 l1 A1 重合, 类比推论 2, 你将又 A2 B2 B2 l2 得到什么结论? C1 C1 B3 B3 A3 l3 C2 C2
人教新课标版数学高二A版选修4-1课件1.1平行线等分线段定理
-14-
一 平行线等分线段定理
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明线段相等
【例2】如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点 (BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.
分析:过点D作DG∥AE交BC于G,利用平行线等分线段定理证明. 证明:过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD, DG∥AE,所以BG=GE. 又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC. 在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF, 所以DF=FC.
课堂篇 合作学习
反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤
1.作射线AC(与AB不共线);
2.在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; 3.连接DnB; 4.分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成n等份.
若AO=OD=DF,BE=10 cm,则OB的长为 ( )
A.130 cm C.52 cm
B.5 cm D.3 cm
解析:因为CD∥EF,OD=DF,
所以C为OE的中点,
因此OC=CE.
因为AB∥CD,AO=OD,
所以O为BC的中点,故BO=OC, 因此 OB=13BE=130 cm.
答案:A
课堂篇 合作学习
-15-
一 平行线等分线段定理
探究一
探究二
探究三
当堂检测
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲一平行线等分线段定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2 图1-1-32.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图1-1-5误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1–6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′，图1-1-7求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.问题·探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图1-1-8:图1-1-8问题2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图1-1-9探究:证明:如图1-1-9，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC ，则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合.所以DE ∥BC.同理，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ，则BF=FC.因为DE ∥FC ，DF ∥EC ，所以四边形DFCE 是平行四边形.所以DE=FC.又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.（1）(1)延长中位线DE 到F,使EF=DE.（2）(2)延长中位线DE 到F,使EF=DE 得ADCF.(3)作CF ∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1-1-11如图1-1-11，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E(梯形的这种辅助线也经常用到)，就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式MN=21(BC ＋AD)，可知当AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为MN=21BC.这就是三角形的中位线公式,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了它们之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题·热题例1如图11-1-2，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F.求证:BF=CF.图1-1-12思路分析：根据D 是AC 的中点，利用平行，得到E 是AB 的中点，再利用平行即可得到F 是BC 的中点.证明：在△ABC 中，∵D 是AC 的中点，DE ∥BC ，∴E 是AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF ∥AC 交BC 于F ，∴F 是BC 的中点，即BF=FC.深化升华 在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例2求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图11-1-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC.求证:ED=EC.图1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又F是DC中点，∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例3在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点，求证:AP=PQ=QC.图1-1-14思路分析：在△ADQ中，F是AD的中点，只要证明FP∥DQ，即可由推论1得AP=PQ；同理在△CPB中，根据E是BC的中点，EQ∥BP，由推论1得CQ=PQ，由此得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点.∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.深化升华本题两次利用了E、F是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证:AF=BF.图1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用,所以延长AE使它与BC相交就势在必行了.证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E,∴在△AEC与△MEC中,EC=CE,∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD.∴△AEC ≌△MEC.∴AE=ME.∴E 是AM 的中点.又在△ABM 中FE ∥BC,∴点F 是AB 边的中点.∴AF=BF.方法归纳 作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例5如图11-1-6,以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作ACED ，DC 的延长线交BE 于F,求证:EF=BF.图1-1-16思路分析：在△EAB 中，OF ∥AB.要说明EF=BF ，只要说明O 是AE 的中点，而O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道O 是AE 的中点，于是问题得证.证明：连结AE 交DC 于O,∵四边形ACED 是平行四边形,∴O 是AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD 是梯形,∴DC ∥AB. 在△EAB 中，OF ∥AB,又O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点.∴EF=BF.深化升华 证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC ，在梯形ABCD 内构造平行四边形，或以AB 、BE 、AD 的延长线为边构造梯形也可以得证. 例6如图1-1-17，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.图1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到O 是AC 的中点，利用平行得E 是BC 的中点，于是BE 应等于BC 的一半，BC 的长度可以由AD 获得.解：∵ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BC ＝AD.∵AB ∥DC ，OE ∥AB ，∴DC ∥OE ∥AB.又∵AD ＝12，∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6.。
人A版数学选修4-1课件：第1讲 1 平行线等分线段定理
图 113
平行线等分线段定理推论 2 的应用
如图 114 所示，梯形 ABCD 中，AD∥BC， DC⊥BC，∠B＝60° ，BC＝AB，E 为 AB 的中点．求证： △ECD 为等边三角形．
【精彩点拨】 过 E 作 EF∥BC，先证明 EC＝ED，
图 114
再连接 AC，证明∠BCE＝30° ，从而∠ECD＝60° .
一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得 如果一组平行线在___________
的线段也______ 相等 ．
2．图形语言 如图 111，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A，B， C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， A1B1＝B1C1 则____________.
上一页 返回首页 下一页
图 111
教材整理 2
平行线等分线段定理的推论
阅读教材 P4～P5“习题”以上部分，完成下列问题． 1．推论 1
中点 与另一边平行的直线必______ 平分 第三边． 经过三角形一边的______
2．推论 2
中点 ，且与底边______ 平行 的直线______ 平分 另一腰． 经过梯形一腰的______
上一页
返回首页
下一页
在梯形 ABCD 中，M，N 分别是腰 AB 与腰 CD 的中点，且 AD＝2，BC＝4， 则 MN 等于( ) 【导学号：07370000】 A．2.5 C．3.5
【答案】 B
B．3 D．不确定
【解析】 由梯形中位线定理知选 B.
上一页
返回首页
下一页
[ 质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9．如下图所示，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则
DG＝____，点H是______的中点，点F是______的中点．
答案：BG AC CD
10．如图所示，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，
CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝____；若 2 cmPM＝ 1 cm，则PC＝______. 4 cm
在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF， ∴G为CF的中点，即CG＝GF. 在△ADG中，E是AD的中点，BF∥DG，
1 ∴F是AG的中点，即AF＝FG.∴AF＝ AC. 3 点评：构造基本图形法是重要的数学思想方法．
如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F 分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线
1.1 平行线等分线段定理
1．理解平行线等分线段定理及推论．
2．掌握任意等分线段的方法
3. 能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题．
1．平行线等分线段定理：如果一组________在一条直 线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相
等．
2．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必________第三边． 3．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ________另一腰． 1．平行线 2．平分 3．平分
＝
3 ，则B′C′＝______. 2
3 2
7．顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是平行四边形 __________．
8．如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB， a AB＝AD＝a，CD＝ ，点E、F分别为线段AB、AD的中点， 2 则EF＝____.
a 解析：连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝ .又CD 2 a ＝ ，AB∥DC，CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形． 2 a 在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝ . 2
D．CE＞DE
3．如图所示，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，BC＝ 6，则BE为( A )
A．9 C．11
B．10 D．12
1 4.AD是△ABC的高，DC BD ，M，N在AB上，且 3 AM=MN=NB，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，则FC=( C )
2 A. BC 3
2 B.BD 3
1 ∴AM＝BN＝ 2 (20－8)＝6 cm.
∴DM＝ AD 2 AM 2 ＝ 122 62 ＝6 3 cm. ∴S梯形＝EG· DM＝14×6 3 ＝84 3（cm2）.
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，
E为AB的中点．求证：EC＝ED.
证明：过点E作EF∥BC交DC于点F. 在梯形ABCD中，AD∥BC，
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线
A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、
பைடு நூலகம்
D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.
如下页图所示.
已知：如图所示，AD是BC边上的中线，E 1 是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AF＝ AC. 3
证明：如图，过点D作DG∥BF交AC于点G.
2．平行线的条数还可以更多，可以推广．
11．梯形中位线长10 cm，一条对角线将中位线分成的 两部分之差是3 cm，则该梯形中的较大的底是______cm. 13
12.如图，F是AB的中点，FG∥BC，EG∥CD，则 AG= .AE= ．
答案：GC
ED
13.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=12 cm, AC交梯形中位线EG于点F.若EF=4 cm，FG=10 cm求梯形ABCD 的面积.
3 C. BC 4
3 D. BD 4
5．在梯形ABCD中，M、N分别是腰AB与腰CD的中点， 且AD＝2，BC＝4，则MN等于( A．2.5 C．3.5 B．3 D．不确定 )B
6．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、
c交于点A、B、C和点A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′
∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE. ∴∠AME＝∠CNE.
1．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（ C ）
2．如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1、l2、l3相交于 点A、E、B，直线CD与l1、l2、l3相交于点C、E、D，AE
＝EB，则有( C )
A．AE＝CE
C．CE＝DE
B．BE＝DE
解析：作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形． ∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点． ∴DC＝2EF＝8 cm，AB＝2FG＝20 cm，MN＝DC＝8 cm.
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC， ∴△ADM≌△BCN.
已知线段AB，求作AB的五等分点. 分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射 线AM，在AM上任意截取5条相等线段，连接最后一等分的后
端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交
AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等分了.
解析：(1) 作射线AM. (2)在射线AM上截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5.
∴AD∥EF∥BC.
∵E是AB的中点， ∴F是DC的中点． ∵∠BCD＝90°， ∴∠DFE＝90°.
∴EF⊥DC于点F，且F是DC的中点，
∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)
1．平行线等分线段定理的条件是a、b、c互相平行，构 成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与 已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截．
交于点M、N.求证：∠AME＝∠CNE.
证明：如图，连接BD，取BD的中点G，连接GE、GF. 在△ABD中，
∵点G、F分别是BD、AD的中点， 1 ∴GF＝ 2 AB，GF∥BM. 1
同理可证：GE＝ 2 CD，GE∥CN. ∵AB＝CD，∴GF＝GE. ∴∠GEF＝∠GFE.
∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.