空间中的平行关系(2)课件
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空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
2019届高三数学最新复习课件：空间中的平行关系.ppt
同理可证明 GN∥平面 BCE. ∵MG∩NG＝G， ∴平面 MNG∥平面 BCE. 又 MN 平面 MNG， ∴MN∥平面 BCE.
【误区警示】 线面平行没有传递性，即平 行线中的一条平行于一平面，另一条不一定 平行该平面．
平面与平面平行的判定
判定平面与平面平行的常用方法有： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相 交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直 接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个 平面内的两条相交线来证明两平面平行．
2AD 2CD ∴MADG＝MCDN＝NACG＝13. 又△ACD 为正三角形， ∴△MNG 也为正三角形， 且边长为31×2＝32，
面积 S＝ 43×94＝ 93.
【名师点评】 面面平行常转化为线面平行， 而线面平行又可转化为线线平行，需要注意 其中转化思想的应用．
直线与平面平行的性质及应用
利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线 平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平 行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已 知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平 行转化．
3．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，
那么另一条也与这个平面平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没
有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
例3 (2011年济源质检)如图所示，在四面体 ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截 面在什么位置时，其截面面积最大？
高中数学必修二空间中的平行关系
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面 推论3：经过两条平行直线, 有且只有一个平面
注：确定平面的方法。
2021/8/2
7
共面直线的定义：空间中几条直线都在同一平面内。
异面直线的定义：既不相交又不平行的直线。（不 在任意一平面内）
第二课时 辽宁师范大学 王晓桐
2021/8/2
1
1.2.1 平面的基本性质与推论
2021/8/2
2
2021/8/2
3
P23-例1.38
2021/8/24Βιβλιοθήκη 注：证明直线在平 面内的依据
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即 直线在平面内。
P23-例1.39
异面直线
画法： a b
b
b
a
a
2021/8/2
8
位置 图 关系
示 表示方法 公共点个 数
相
a
两 交 α Ab
a bA
一个
直
线平
a
a∥b
没有
共行
b
面
异面
Ab
α
a、b是异 面直线
没有
2021/8/2
9
①用定义（多用反证法），即证明两条直线既不相 交又不平行；
②判定定理：与一平面相交于一点的直线与平面内 不经过该点的直线是异面直线。
2021/8/2
17
例1.48：已知AA1是正方体ABCD-A1B1C1D1的 一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）
空间中的平行关系介绍数学课件PPT模板
点 E 在 棱 PC 上 ． 问 点 E 在 何 处 时 ， PA// 平面EBD ，并加以证明.
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
必修2__空间平行关系
a
四、面面平行的性质
Biblioteka 如果两个平行平面分别和第三个平 面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
// , a, b
a // b
b
a
小结——空间平行关系的相互转化
线 线 平 行
线 面 平 行
面 面 平 行
练习
过三棱柱ABC-A‘B’C‘任意两条棱的
b
练习
如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为 DD’的中点，试判断BD’与平面AEC的位 置关系并证明之
O
练习
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在 的平面相交，M是线段EF的中点， 求证：AM//平面BDE
O
练习
如图，已知P、Q是正方体ABCD-A1B1C1D1 的面ABCD和面A1B1C1D1的中心，求证： PQ//平面ADD1A1
小结——空间平行关系的判定
面内 面外 平行 面内 相交 平行
线 线 平 行
线 面 平 行
面 面 平 行
相交平行相交
三、空间线、面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过该直线 的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行 符号表示：
// a, a , b a // b
中点做直线，其中与平面ABB’A‘平 行的直线有 6 条
练习
练习
如图，平面内两正方形ABCD与ABED，点M， 2）若AM：MC=2：3，在线段AB上是否存 N分别则对角线AC，FB上且AM：MC=FN： 在一点G，使平面MGN//平面CBE，若存在 NB，沿AB折叠图形使CB⊥BE 请确定点G的位置 1）证明：折叠后MN//面CBE
空间中直线、平面的平行(第2课时)2022-2023学年高二数学(人教A版2019选修第一册)
平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,
从而证明直线与平面平行.
跟踪训练
2.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 , AF=1,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,
墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌
楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼
上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下
边线与地面平行。这是为什么呢?
空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的
关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的
平行
________________.
1. 证明面面平行
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
a
b
P
n
v
v.
方向向量u，
2
x
z
3 x 4 y 0
3
3 x 2 z 0
y 1 z
2
取z 6， 则x 4，y 3, 所 以 ，
n 4,3,6是 平 面 的 一 个 法 向 量 。
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,
从而证明直线与平面平行.
跟踪训练
2.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB= 2 , AF=1,M是线段EF的中点.
求证:AM∥平面BDE.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系.设AC∩BD=N,连接NE,
墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、
木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌
楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。
如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼
上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下
边线与地面平行。这是为什么呢?
空间中直线的方向向量、平面的法向量是确定空间中的直线、平面的
关键量，能否用直线的方向向量、平面的法向量来刻画直线、平面的
平行
________________.
1. 证明面面平行
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
a
b
P
n
v
v.
方向向量u，
2
x
z
3 x 4 y 0
3
3 x 2 z 0
y 1 z
2
取z 6， 则x 4，y 3, 所 以 ，
n 4,3,6是 平 面 的 一 个 法 向 量 。
第47讲空间中的平行关系 公开课一等奖课件
因为平面 ABC∥平面 DEFG，平面 ABC∩平面 ADEB＝ AB，平面 DEFG∩平面 ADEB＝DE， 所以 AB∥DE，所以 AB∥FM，又 AB＝DE，所以 AB＝ FM，所以四边形 ABFM 是平行四边形，即 BF∥AM. 又 BF⊄平面 ACGD，故 BF∥平面 ACGD，故选 A.
证明：连接 B1C，与 BC1 相交于 O，连接 OD，如图． 因为四边形 BCC1B1 是矩形，所以 O 是 B1C 的中点． 又 D 是 AC 的中点，所以 OD∥AB1. 因为 AB1⊄平面 BDC1，OD⊂平面 BDC1， 所以 AB1∥平面 BDC1.
【拓展演练 2】 (2012· 广东省深圳市模拟)如图，AA1、BB1 为圆柱 OO1 的 母线， BC 是底面圆 O 的直径， D、 E 分别是 AA1、 CB1 的中点， DE⊥平面 CBB1.证明：DE∥平面 ABC.
证明：连接 EO，OA. 因为 E，O 分别为 B1C，BC 的中点， 1 所以 EO∥BB1，且 EO＝ BB1. 2 1 又 DA∥BB1，且 DA＝ BB1， 2 所以 DA 綊 EO， 所以四边形 AOED 是平行四边形， 即 DE∥OA，DE⊄平面 ABC，OA⊂平面 ABC 所以 DE∥平面 ABC.
2．(原创)如图，矩形 ABCD 中，E，F 分别在线段 BC 和 AD 上，EF∥AB，将矩形 ABEF 沿 EF 折起．记折起后 的矩形为 MNEF，且平面 MNEF⊥平面 ECDF，则下列叙述 不正确的是( D ) A．NC∥平面 MFD B．NC∥MD C．EF 与 ND 异面 D．EF∥NC
三
平面与平面平行的判定与性质
【例 3】(2012· 东北四校第二次联考)如图，边长为 1 的正
1.2.2空间中的平行关系(2)2012-12-18王荣福
l与α没有公共点，
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内，且没有公共点， 所以l //m.
这条定理，由“线面平行”去判断“线线平行”
例1. 已知空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，在△ABD中， 因为E，F分别是AB，AD的中点，
秀
个
人
得分 4 2 12 6 0 6 2 10 6
王晓宁、赵治国、王春雨
刘力、王世鑫、王红玉
魏涛、张艳东、李小琦、卢可鑫、毛源敏
孙琳、姚秀丽、李学鑫
学案反馈（2班）
小 组 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 优
邵梦君、刘林
郝开发、刘千
秀
个
人
陈子凯、王伟童、牟立强
郭鑫、朱春丽、林磊
合作探究
重点讨论内容： 1. 空间中直线与平面的位置关系； 2.对线面平行的判定和性质定理的应用条件； 3.证明题的证明过程怎样规范书写。 4.自己的疑难问题. 目标：
（1）小组长首先安排讨论任务，人人参与，热烈讨论，积极表达自己的观点， 提升快速思维和准确表达的能力。 （2）小组长调控节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展 提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示 质疑。
高效展示
展示问题
问题导学1、2 问题导学3和自测 例1 拓展 例2
展示位置 展示小组
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 7组 1组 5组 4组 9组
目标： （1）展示人规范快速， 总结规律（用彩 笔）； （2）其他同学讨论完 毕总结完善，A层 注意拓展，不浪 费一分钟； （3）小组长要检查落 实，力争全部达 标
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内，且没有公共点， 所以l //m.
这条定理，由“线面平行”去判断“线线平行”
例1. 已知空间四边形ABCD中，E，F分别 是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，在△ABD中， 因为E，F分别是AB，AD的中点，
秀
个
人
得分 4 2 12 6 0 6 2 10 6
王晓宁、赵治国、王春雨
刘力、王世鑫、王红玉
魏涛、张艳东、李小琦、卢可鑫、毛源敏
孙琳、姚秀丽、李学鑫
学案反馈（2班）
小 组 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 优
邵梦君、刘林
郝开发、刘千
秀
个
人
陈子凯、王伟童、牟立强
郭鑫、朱春丽、林磊
合作探究
重点讨论内容： 1. 空间中直线与平面的位置关系； 2.对线面平行的判定和性质定理的应用条件； 3.证明题的证明过程怎样规范书写。 4.自己的疑难问题. 目标：
（1）小组长首先安排讨论任务，人人参与，热烈讨论，积极表达自己的观点， 提升快速思维和准确表达的能力。 （2）小组长调控节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论，AA力争拓展 提升，BB、CC解决好全部展示问题。 （3）讨论时，手不离笔、随时记录，未解决的问题，组长记录好，准备展示 质疑。
高效展示
展示问题
问题导学1、2 问题导学3和自测 例1 拓展 例2
展示位置 展示小组
前黑板 前黑板 后黑板 后黑板 后黑板 7组 1组 5组 4组 9组
目标： （1）展示人规范快速， 总结规律（用彩 笔）； （2）其他同学讨论完 毕总结完善，A层 注意拓展，不浪 费一分钟； （3）小组长要检查落 实，力争全部达 标