高考空间中平行关系课件(共52张PPT)
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空间中的平行关系课件
（Ⅱ）设平面 A1BD1 与平面 ABC 的交线为 l ，
A1
C1 B1 D1
A
C
B
D
l
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
A1
C1 B1 D1
ACBD来自l例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
法一： 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，D1为B1C1的中点 平面A1 BD1 // 平面AC1 D, 又A1 D1 平面A1 B1C1， A1 D1 // 平面ABC A1 D1 平面A1 BD1， 平面A1 BD1 平面ABC l A1 D1 // l 又由（ 1）可知A1 D1 // AD l // AD
D1 A1 MD N B1 C1
A
B
C
思考1 如图所示，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 AA1 、 A1D1 、 D1D 、 DA 的 中 点 ， N 是 AB 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其 内部运动，则M满足条件________时， 有MN∥平面B1BDD1.
A D B
C
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
高中数学 1.2.2.3 空间中的平行关系课件 新人教B版必修2
名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则 a⊂α b⊂α a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β
α∥β.即
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行，则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性： 两个平面同时和第三个平面平行， 则这两个平面平行．
2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来 作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 α∥β ⇒a∥β，可用来证明线面平行． 面，即 a⊂α ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行 ( 平面平行的传递性 ) 即 α∥β ⇒α∥γ. γ∥β
B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明Βιβλιοθήκη (1)如图所示，连接 SB.
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1.
规律方法
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键
是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是其应
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
2019届高三数学最新复习课件：空间中的平行关系.ppt
同理可证明 GN∥平面 BCE. ∵MG∩NG＝G， ∴平面 MNG∥平面 BCE. 又 MN 平面 MNG， ∴MN∥平面 BCE.
【误区警示】 线面平行没有传递性，即平 行线中的一条平行于一平面，另一条不一定 平行该平面．
平面与平面平行的判定
判定平面与平面平行的常用方法有： (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：转化为判定一个平面内的两条相 交直线分别平行于另一个平面．客观题中，也可直 接利用一个平面内的两条相交线分别平行于另一个 平面内的两条相交线来证明两平面平行．
2AD 2CD ∴MADG＝MCDN＝NACG＝13. 又△ACD 为正三角形， ∴△MNG 也为正三角形， 且边长为31×2＝32，
面积 S＝ 43×94＝ 93.
【名师点评】 面面平行常转化为线面平行， 而线面平行又可转化为线线平行，需要注意 其中转化思想的应用．
直线与平面平行的性质及应用
利用线面平行的性质，可以实现由线面平行到线线 平行的转化．在平时的解题过程中，若遇到线面平 行这一条件，就需在图中找(或作)过已知直线与已 知平面相交的平面．这样就可以由性质定理实现平 行转化．
3．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，
那么另一条也与这个平面平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没
有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
例3 (2011年济源质检)如图所示，在四面体 ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截 面在什么位置时，其截面面积最大？
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
• 练习：如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,S是B1D1 的 中点，E. F. G分别是BC、CD和SC的中点。
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
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5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
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课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
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5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
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课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
空间中的平行关系PPT教学课件
2.631020 J
v12
3RT1 M mol
3 8.311273 28 103
1064
m s1
t2
3 2
k
T2
3 1.381023 273 5.651021J 2
v22
3RT2 M mol
38.31 273 28 10 3
493
m s1
t3
3 2
kT3
2.55 10 21
RT
mN mNA
kNA T
NkT
理想气体物态方程：
P nkT
标准状态下的分子数密度：
洛喜密脱数： no 2.69 1025 (m 3 )
例3.1;3.2(p107-108)
§4 气体动理论压强公式
4.1 压强的成因 压强:气体作用于容器壁单位面积上的垂直作用力 分子数密度 31019 个分子/cm3 = 3千亿个亿；
物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。
宏观法与微观法相辅相成。
气体动理论 §1 分子运动的基本概念
一.热力学系统 热力学研究的对象----热力学系统. 热力学系统以外的物体称为外界。 孤立系统:系统和外界完全隔绝的系统
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1， AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
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栏目 导引
第八章 立体几何
【解】 (1)平面α∥平面β,平面α与β没 有公共点,但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF, ∴不一定有AD∥BE∥CF.
栏目 导引
第八章 立体几何
(2)过 A 点作 DF 的平行线,交 β,γ 于 G,H 两 点,AH∥DF.过两条平行线 AH,DF 的平面 交平面 α,β,γ 于 AD,GE,HF. 根据两平面平行的性质定理,有 AD∥GE∥ HF,
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第八章 立体几何
【名师点评】 利用线面平行的性质定 理证明线线平行,关键是找出过已知直 线的平面与已知平面的交线.
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第八章 立体几何
考点4 平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定与性质,同直线 与平面平行的判定与性质一样,体现了 转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平 面,通过作辅助平面得到交线,就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平 行,注意作平面时要有确定平面的依据.
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第八章 立体几何
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 直线与平面平行的判定 判定直线与平面平行,主要有三种方法 ： (1)利用定义(常用反证法).
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第八章 立体几何
(2)利用判定定理：关键是找平面内与 已知直线平行的直线.可先直观判断平 面内是否已有,若没有,则需作出该直线, 常考虑三角形的中位线、平行四边形的 对边或过已知直线作一平面找其交线. (3)利用面面平行的性质定理：当两平 面平行时,其中一个平面内的任一直线 平行于另一平面.
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第八章 立体几何
特别提醒：线面平行关系没有传递性, 即平行线中的一条平行于一平面,另一 条不一定平行于该平面.
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第八章 立体几何
例1 如图,正方体 ABCD－A′B′C′D′中,E、F分别是 DD′、DB的中点,求证：EF平行于平 面ABC′D′.
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第八章 立体几何
【思路分析】 要证直线与平面平行, 可转化为证明直线EF与平面ABC′D′ 内的一条直线平行,要找出这条直线,可 联系条件E、F分别是DD′、DB的中 点,利用中位线定理证明.
第八章 立体几何
栏目 导引
第八章 立体几何
4.正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ,E 是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________. 答案：平行
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第八章 立体几何
5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的 中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的 直线共有__________条. 答案：6
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第八章 立体几何
(3)利用面面平行的传递性： αγ∥∥ββ⇒α∥γ. (4)利用线面垂直的性质： αβ⊥⊥ll⇒α∥β.
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第八章 立体几何
例2 如图所示,正三棱柱ABC－ A1B1C1各棱长均为4,E、F、G、H分别 是AB、AC、A1C1、A1B1的中点. 求证：平面A1EF∥平面BCGH.
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第八章 立体几何
规范解答 例 (本题满分12分)(2010·高考陕
西卷)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP＝ AB,BP＝BC＝2,E,F分别是PB,PC的中 点. (1)证明：EF∥平面PAD; (2)求三棱锥E－ABC的体积V.
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第八章 立体几何
第八章 立体几何
第4课时 空间中的平行关系
第八章 立体几何
教材回扣•夯实双基
基础梳理 1.直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与_此__平__面__内__的__一__条__直__线_
平行,则该直线与此平面平行.
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第八章 立体几何
(2)性质定理： 一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 _平__行___.
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第八章 立体几何
∴S△ABC＝12AB·BC＝12× 2×2＝ 2,10 分 ∴VE－ABC＝13S△ABC·EG＝13× 2× 22＝13.12 分
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第八章 立体几何
【名师点评】 本题主要考查了空间几 何体中的线面平行关系和三棱锥的体积 公式.同时考查空间想象能力,推理论证 能力和运算求解能力.难度中等.本题对 于考生来说是比较容易入手的,但第(1) 问中有的考生一入手就写“EF∥AD”, 这是不规范的.
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第八章 立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
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第八章 立体几何
【名师点评】 利用面面平行的判定定 理证明两个平面平行是常用的方法,即 若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,a∩b＝O,则α∥β.
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第八章 立体几何
3.(教材改编)a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ
为三个不重合的平面,现给出六个命题：
①a∥c b∥c
⇒a∥b
②a∥γ b∥γ
⇒a∥b
③α∥c β∥c
⇒α∥β
④α∥γ β∥γ
⇒α∥β
⑤aα∥∥cc ⇒α∥a
⑥aα∥∥γγ ⇒α∥
栏目 导引
其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①④⑤⑥ 答案：C
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第八章 立体几何
考向瞭望•把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,直线与平面 平行的判定,以及平面与平面平行的判 定是高考的热点,题型既有选择题、填 空题,也有解答题,难度为中等偏高;
栏目 导引
第八章 立体几何
本节主要考查线面平行的判定,考查线 ∥线⇌线∥面⇌面∥面的转化思想,并且 考查学生的空间想象能力以及逻辑推理 能力. 预测2013年高考仍将以线面平行的判定 为主要考查点,重点考查学生的空间想 象能力和逻辑推理能力.
AAGD∥ ∥DGEE⇒AGED 为平行四边形, ∴AG＝DE,同理 GH＝EF.
栏目 导引
第八章 立体几何
又过 AC,AH 两相交直线的平面与平面 β,γ 的交线为 BG,CH. 根据两平面平行的性质定理,有 BG∥CH, 在△ACH 中,ABBC＝GAGH, 而 AG＝DE,GH＝EF, ∴ABBC＝DEFE, 即 λ＝μ.
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第八章 立体几何
例3 如图,已知四边形ABCD是平行四 边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的 中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面 交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【思路分析】 要证AP∥GH,只需证 PA∥面BDM.
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第八章 立体几何
【证明】 如图,连结 AC,设 AC 交 BD 于 O,连结 MO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点. 又∵M 是 PC 的中点,∴MO∥PA. MO⊂平面 BDM,PA⊄平面 BDM, ∴PA∥平面 BDM. 又经过 PA 与点 G 的平面交平面 BDM 于 GH, ∴AP∥GH.
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第八章 立体几何
(2)证明线面平行：①线面平行的定义; ②线面平行的判定定理;③面面平行的 性质定理. (3)证明面面平行：①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理.
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第八章 立体何
失误防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线 不在平面内,否则,会出现错误. 2.可以考虑向量的工具性作用,能用向 量解决的尽可能应用向量解决,可使问 题简化.
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第八章 立体几何
2.平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的__两__条__相__交__直__线____与另一 个平面平行,则这两个平面平行. (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线_平__行__.
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第八章 立体几何
思考探究 能否由线线平行得到面面平行? 提示：可以.只要一个平面内的两条相 交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线,这两个平面就平行.
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第八章 立体几何
互动探究 在本例中,若D是BC上一点,且A1B∥平 面AC1D,D1是B1C1的中点. 求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
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第八章 立体几何
证明：如图所示,连结 A1C 交 AC1 于点 E, 连结 ED, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴E 是 A1C 的中点, ∵ A1B ∥ 平 面 AC1D, 平 面 A1BC∩ 平 面 AC1D＝ED, ∴A1B∥ED,
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第八章 立体几何
【证明】
如图所示,连结 D′B. 在△DD′B 中,E、F 分别是 DD′、DB 的 中点, ∴EF∥D′B. 又∵D′B⊂平面 ABC′D′, EF⊄平面 ABC′D′, ∴EF 平行于平面 ABC′D′.
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第八章 立体几何
【方法指导】 证明直线与平面平行 时,可先直观判断平面内是否存在一条 直线与已知直线平行,如本题利用中位 线的性质可知EF∥D′B,若没有,可以 考虑通过面面平行得到线面平行.同时 注意化归与转化思想的应用,如平行问 题间的转化：
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第八章 立体几何
考点2 平面与平面平行的判定 判定平面与平面平行的常用方法有： (1)利用定义(常用反证法). (2)利用判定定理：转化为判定一个平面 内的两条相交直线分别平行于另一个平 面.客观题中,也可直接利用一个平面内的 两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线来证明两平面平行.
【解】 (1)证明：在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点, ∴EF∥BC.2 分 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴BC∥AD, ∴EF∥AD.4 分 又∵AD⊂平面 PAD,EF⊄平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.6 分
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【解】 (1)平面α∥平面β,平面α与β没 有公共点,但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF, ∴不一定有AD∥BE∥CF.
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第八章 立体几何
(2)过 A 点作 DF 的平行线,交 β,γ 于 G,H 两 点,AH∥DF.过两条平行线 AH,DF 的平面 交平面 α,β,γ 于 AD,GE,HF. 根据两平面平行的性质定理,有 AD∥GE∥ HF,
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第八章 立体几何
【名师点评】 利用线面平行的性质定 理证明线线平行,关键是找出过已知直 线的平面与已知平面的交线.
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第八章 立体几何
考点4 平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定与性质,同直线 与平面平行的判定与性质一样,体现了 转化与化归的思想. 性质过程的转化实施,关键是作辅助平 面,通过作辅助平面得到交线,就可把面 面平行化为线面平行并进而化为线线平 行,注意作平面时要有确定平面的依据.
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第八章 立体几何
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 直线与平面平行的判定 判定直线与平面平行,主要有三种方法 ： (1)利用定义(常用反证法).
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(2)利用判定定理：关键是找平面内与 已知直线平行的直线.可先直观判断平 面内是否已有,若没有,则需作出该直线, 常考虑三角形的中位线、平行四边形的 对边或过已知直线作一平面找其交线. (3)利用面面平行的性质定理：当两平 面平行时,其中一个平面内的任一直线 平行于另一平面.
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特别提醒：线面平行关系没有传递性, 即平行线中的一条平行于一平面,另一 条不一定平行于该平面.
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第八章 立体几何
例1 如图,正方体 ABCD－A′B′C′D′中,E、F分别是 DD′、DB的中点,求证：EF平行于平 面ABC′D′.
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第八章 立体几何
【思路分析】 要证直线与平面平行, 可转化为证明直线EF与平面ABC′D′ 内的一条直线平行,要找出这条直线,可 联系条件E、F分别是DD′、DB的中 点,利用中位线定理证明.
第八章 立体几何
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第八章 立体几何
4.正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ,E 是 DD1 的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 __________. 答案：平行
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第八章 立体几何
5.过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的 中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的 直线共有__________条. 答案：6
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第八章 立体几何
(3)利用面面平行的传递性： αγ∥∥ββ⇒α∥γ. (4)利用线面垂直的性质： αβ⊥⊥ll⇒α∥β.
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第八章 立体几何
例2 如图所示,正三棱柱ABC－ A1B1C1各棱长均为4,E、F、G、H分别 是AB、AC、A1C1、A1B1的中点. 求证：平面A1EF∥平面BCGH.
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第八章 立体几何
规范解答 例 (本题满分12分)(2010·高考陕
西卷)如图,在四棱锥P－ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP＝ AB,BP＝BC＝2,E,F分别是PB,PC的中 点. (1)证明：EF∥平面PAD; (2)求三棱锥E－ABC的体积V.
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第八章 立体几何
第八章 立体几何
第4课时 空间中的平行关系
第八章 立体几何
教材回扣•夯实双基
基础梳理 1.直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 平面外一条直线与_此__平__面__内__的__一__条__直__线_
平行,则该直线与此平面平行.
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第八章 立体几何
(2)性质定理： 一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线 _平__行___.
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第八章 立体几何
∴S△ABC＝12AB·BC＝12× 2×2＝ 2,10 分 ∴VE－ABC＝13S△ABC·EG＝13× 2× 22＝13.12 分
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第八章 立体几何
【名师点评】 本题主要考查了空间几 何体中的线面平行关系和三棱锥的体积 公式.同时考查空间想象能力,推理论证 能力和运算求解能力.难度中等.本题对 于考生来说是比较容易入手的,但第(1) 问中有的考生一入手就写“EF∥AD”, 这是不规范的.
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第八章 立体几何
又 A1F⊄平面 BCGH,CG⊂平面 BCGH, ∴A1F∥平面 BCGH. 又∵A1F∩EF＝F, ∴平面 A1EF∥平面 BCGH.
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第八章 立体几何
【名师点评】 利用面面平行的判定定 理证明两个平面平行是常用的方法,即 若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,a∩b＝O,则α∥β.
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第八章 立体几何
3.(教材改编)a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ
为三个不重合的平面,现给出六个命题：
①a∥c b∥c
⇒a∥b
②a∥γ b∥γ
⇒a∥b
③α∥c β∥c
⇒α∥β
④α∥γ β∥γ
⇒α∥β
⑤aα∥∥cc ⇒α∥a
⑥aα∥∥γγ ⇒α∥
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其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①④⑤⑥ 答案：C
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第八章 立体几何
考向瞭望•把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,直线与平面 平行的判定,以及平面与平面平行的判 定是高考的热点,题型既有选择题、填 空题,也有解答题,难度为中等偏高;
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第八章 立体几何
本节主要考查线面平行的判定,考查线 ∥线⇌线∥面⇌面∥面的转化思想,并且 考查学生的空间想象能力以及逻辑推理 能力. 预测2013年高考仍将以线面平行的判定 为主要考查点,重点考查学生的空间想 象能力和逻辑推理能力.
AAGD∥ ∥DGEE⇒AGED 为平行四边形, ∴AG＝DE,同理 GH＝EF.
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第八章 立体几何
又过 AC,AH 两相交直线的平面与平面 β,γ 的交线为 BG,CH. 根据两平面平行的性质定理,有 BG∥CH, 在△ACH 中,ABBC＝GAGH, 而 AG＝DE,GH＝EF, ∴ABBC＝DEFE, 即 λ＝μ.
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第八章 立体几何
例3 如图,已知四边形ABCD是平行四 边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的 中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面 交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【思路分析】 要证AP∥GH,只需证 PA∥面BDM.
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第八章 立体几何
【证明】 如图,连结 AC,设 AC 交 BD 于 O,连结 MO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点. 又∵M 是 PC 的中点,∴MO∥PA. MO⊂平面 BDM,PA⊄平面 BDM, ∴PA∥平面 BDM. 又经过 PA 与点 G 的平面交平面 BDM 于 GH, ∴AP∥GH.
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第八章 立体几何
(2)证明线面平行：①线面平行的定义; ②线面平行的判定定理;③面面平行的 性质定理. (3)证明面面平行：①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理.
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失误防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线 不在平面内,否则,会出现错误. 2.可以考虑向量的工具性作用,能用向 量解决的尽可能应用向量解决,可使问 题简化.
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2.平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理： 一个平面内的__两__条__相__交__直__线____与另一 个平面平行,则这两个平面平行. (2)性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的交线_平__行__.
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思考探究 能否由线线平行得到面面平行? 提示：可以.只要一个平面内的两条相 交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线,这两个平面就平行.
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第八章 立体几何
互动探究 在本例中,若D是BC上一点,且A1B∥平 面AC1D,D1是B1C1的中点. 求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
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第八章 立体几何
证明：如图所示,连结 A1C 交 AC1 于点 E, 连结 ED, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴E 是 A1C 的中点, ∵ A1B ∥ 平 面 AC1D, 平 面 A1BC∩ 平 面 AC1D＝ED, ∴A1B∥ED,
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第八章 立体几何
【证明】
如图所示,连结 D′B. 在△DD′B 中,E、F 分别是 DD′、DB 的 中点, ∴EF∥D′B. 又∵D′B⊂平面 ABC′D′, EF⊄平面 ABC′D′, ∴EF 平行于平面 ABC′D′.
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第八章 立体几何
【方法指导】 证明直线与平面平行 时,可先直观判断平面内是否存在一条 直线与已知直线平行,如本题利用中位 线的性质可知EF∥D′B,若没有,可以 考虑通过面面平行得到线面平行.同时 注意化归与转化思想的应用,如平行问 题间的转化：
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第八章 立体几何
考点2 平面与平面平行的判定 判定平面与平面平行的常用方法有： (1)利用定义(常用反证法). (2)利用判定定理：转化为判定一个平面 内的两条相交直线分别平行于另一个平 面.客观题中,也可直接利用一个平面内的 两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线来证明两平面平行.
【解】 (1)证明：在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点, ∴EF∥BC.2 分 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴BC∥AD, ∴EF∥AD.4 分 又∵AD⊂平面 PAD,EF⊄平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.6 分