例谈函数值域的几种解法
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求函数值域的几种常见方法
求函数值域的几种常见方法函数的值域可以定义为函数的输出或结果的集合。
确定一个函数的值域有几种常见的方法，包括图像法、符号法和算法法。
下面将详细介绍这些方法。
一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。
要使用图像法确定函数的值域，需要遵循以下步骤：1.根据函数的定义确定函数的自变量的取值范围。
通常需要考虑定义域和边界条件。
2.绘制函数的图像。
可以使用图表、软件或手工绘制。
3.根据图像确定函数的值域。
值域是函数图像上所有可能的输出值的集合。
可以观察图像找出最大值、最小值和其他可能的取值。
注意：图像法仅适用于可视化的函数。
对于复杂函数，可能需要使用其他方法来确定值域。
二、符号法符号法是利用函数的数学特性和符号来确定函数的值域。
符号法可以分为以下几种情况：1.对于代数函数，可以通过感性地观察含有未知数的表达式中的符号来确定函数的值域。
例如，对于一个二次函数，通过观察二次项系数的符号可以确定函数的开口方向和最值的取值。
2.对于三角函数，可以使用周期性和界限来确定函数的值域。
例如，对于正弦函数，它的值域在[-1,1]之间。
3.对于指数函数和对数函数，可以使用指数和对数的性质来确定函数的值域。
例如，指数函数的值域在(0,+∞)，对数函数的值域在(-∞,+∞)。
三、算法法算法法是通过算法或计算来确定函数的值域。
算法法常用于分段函数、复合函数和隐函数等情况。
以下是一些常见的算法法：1.对于分段函数，可以将定义域分成若干个区间，然后通过分析每个区间的函数表达式来确定函数的值域。
2.对于复合函数，可以从内层函数开始，将结果代入外层函数，逐步计算并确定函数的值域。
3.对于隐函数，可以通过假设一组函数值，然后解方程组，将解代入隐函数表达式来确定函数的值域。
注意：算法法可能需要进行大量的计算和推理，适用于复杂函数，但可能会带来较高的计算复杂性。
同时，算法法可能无法找到确切的值域，只能给出一个估计或范围。
总结：函数的值域可以通过图像法、符号法和算法法来确定。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法1、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。
(2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ， 当1≠y 时，y y x -+=132， 02≥x ，013≥-+∴yy ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ，故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。
2、利用函数的图象对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。
例2、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。
解析：去掉绝对值符号得 ：⎪⎩⎪⎨⎧-<=++-≤≤-+-=+-->=+--=)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2x x x x x x x x x x y 。
画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，-∈y 。
3、利用二次函数的性质对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。
例3、(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。
(2)求函数]231[27，，∈-=x x x y 的值域。
解析：(1)41)21(22+--=+-=x x x y ，]22[，-∈x ，416≤≤-∴y 故 所求函数的值域为 ]416[，-∈y(2)849)471(2722727222+--=+-=-=-=x x xx x x x y ， ]231[，∈x ，4273≤≤∴y 解得：, 故 所求函数的值域为 ]4273[，∈y 。
4、利用互为反函数的性质因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。
高中数学学习 函数值域的12种解法
高中数学学习函数值域的12种解法导语：许多如数、函数、几何等的数学对象反响出了定义在其中连续运算或关系的内部构造．下面就由为大家带来高中数学学习：函数值域的12种解法，大家一起去看看怎么做吧！通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3.∴函数的知域为。
点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
此题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)当函数的反函数存在时，那么其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法表达逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。
(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。
此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法分式函数值域的求解是函数理论中的一个重要问题。
以下列举了几种常用的方法：1.观察法通过观察函数的分子和分母，以及它们的增减性，来确定整个函数的增减性。
例如，如果一个分式函数可以化简为一个常数加上一个分子，而这个分子的根的判别式小于0，那么这个函数就是一个单调递减的分式函数。
2.极限法如果一个函数在某一点处的极限为无穷大，那么这个函数的值域就是无穷大。
因此，可以通过求解函数在某一点处的极限来确定函数的值域。
3.反解法如果一个分式函数可以表示为一个简单函数的倒数，那么可以通过反解这个简单函数来求得这个分式函数的值域。
例如，如果一个分式函数可以表示为y=1/x，那么可以通过反解x=1/y来求得这个分式函数的值域。
4.判别式法对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，可以利用判别式法进行求解。
通过求解一元二次方程的判别式来确定函数的值域。
5.换元法有时候，我们可以通过引入一个新的变量来简化函数的求解过程。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数，那么我们可以引入一个新的变量来求解这个二次函数的值域。
6.反函数法对于形如y=f(x)的函数，如果存在一个反函数x=g(y)，那么我们可以利用反函数法来求解函数的值域。
通过求解反函数的定义域来确定原函数的值域。
7.比例法对于形如y=kx/(b+kx)的函数，我们可以利用比例法进行求解。
通过将原函数转化为一个比例函数来进行求解。
8.对数法对于形如y=logax/(logbx)的函数，我们可以利用对数法进行求解。
通过将原函数转化为一个对数函数来进行求解。
9.均值不等式法对于形如y=a/(b+cx)的函数，我们可以利用均值不等式法进行求解。
通过求解均值不等式来确定函数的值域。
10.构造函数法有时候，我们可以通过构造函数来求解函数的值域。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数与一个指数函数的乘积，那么我们可以构造一个新的函数来求解这个函数的值域。
函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案
函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
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解法
适用类型
三 、 函 数 法 反
、
配 方法
适用类型： 二次 函数及能通过换元法等转化 为二次 函数 的题型 。
适用类型 ： 分子． 分母 只含 有一次项 的函数（ 即有理分式 一次型 ） 也可 ．
用于其它易反解出自变量的函数类型。
适用类 型 ： ： 次函数 及 能通过 换尢 法等 转化 为二次 函数 的题 型 。
的 斜 率 的 公 式 ｋ 毖二 ， 原 函 数 视 为 定 点 （ ， ） 动 点 （ Ｓ ，ｎ ） ＝ 将 ２３ 到 Ｃ Ｘｉ Ｏ Ｓ
Ｘ ２ 一 Ｉ
则 一 ｘ等 ｊ 札 ｘ ２ －
不妨令：， ： ＋ ， ＝ （（ 。从而 厂 ） ，。 ㈥ （一 ｇ ） ７ 厂 ） ） （ （ｅ ＋） 。
Ｌ ｊ
注 意 ：在本 题 ｌ若 出现 应 排除 ， ） ０ 闲 为 ｌ ） 为 分母 ． 以 ｝ １ （＝， 厂 作 （ 所
ｇ （］‘ 。故ｅ ， ｃ ， ．一 ；， － ［
二 、 别 式 法 判
点评 ： 题从函数本身 的形式人 手 ， 本 引入 直 线 的 斜 率 ， 合 图 形 ， 而 结 从 使 问题 得 到 巧 解 ． 六 、 等 式 法 不
说 明：花 求解 值域 （ 最值 ） 遇 到 分式． 式． 时， 根 对数式 等类 型 时要 注意 函数 本身定 义域 的 限制， 小题 为 ： ， ） 。 ’ ０ （ 例 ２ 若 ＋ ） ４ ． ０ｖ ０ 试求 Ｉ ＋ ｇ， ． ２ ＿ ， ＞ ．） ， － １ ７ ｇ ｌ１ Ｘ 的值域 。 分析 与解 ：本 题 可看 成第 … 琢限 动 点 ｐ ） 直线 ＋ Ｙ ４ 一 （ 在 ｖ ２ ＝ 上滑 动时 函数 ｌ ＋ ｇ ＝ ｇ ， 最大 值 。利用 两 点 （， ） （， ） 定… 条直 ｇ ｌ Ｉ． 的 ｘ ｙ ｕ ４ ０， ０２ 确
例 ．求 函数 ： 土
的值 域 。
２ 一 ＣＯ Ｓ
的值 域 ．
例 ：求瀚 数 ｙ ：
分析 与解 ： 察分 子 、 观 分母 Ｌ 均 含订 一 ｝ Ｊ ： 项， 利用 部 分分 式法 ： 可
分 析 与解 ： 到 该蛹数 的 形式 ， ｆ可 联 想到 直 线 中 已知 两 点求 直线 看 我ｆ Ｊ
的斜 率 ， 知动 点 （ ｓ ｉ ） 足 位圆 的方 程， 而问题 就 转化 为求 又 ｃ ｓ 满 ｏ ｎ 从
点 （ ， ）到 ２ ３ 位圆 连线的斜率问题， 作出圈形观察易得的最值在直
线 和圆 上点 的连 线和 圆相 切 时取 得， 从而解
ｔ ，
所以 ∈一， ：Ｙ ｛＝） １ １
◆ ◆ ◆
例 谈 函 数 值 域 的 几 种 解 法
◆ 包 永 海
（ 青海省黄南州中学数学教研组 ）
【 摘要】函数是 中学数 学的一个重点 ， 特别是到 了高中， 函数 的类 型多 了， 何 求函数的值域 是一 个重 点也是 一个难点 ， 如 而函数值域 （ 最 值） 的求解方法在高考 中更是 一个常考 点。因此 ， 能熟练掌握 其值 域（ 最值 ） 求法就显得十分重要 ， 文 旨在通过对典 型例题 的分析求解 本 来 归 纳 函数 值 域 （ 值 ） 求 法 。 最 的 【 关键词】函数值域
Ｘ ＋Ｉ ２一Ｙ
不妨 没： （ ＝ ４（ －≥ ） 方得 ： （ ： 《一）＋ ∈０ｂ 用 ｌ ） 一： ｘ （ ｏ 厂 ，】 Ｙ 一 ２ ４ ［４利 ，）
二次函数的相芙知识得， ） ［ 】从Ｉ得出：Ｙ ［２。 ’ ∈】 ， （ （ ， ４ ∈， ｏ】
适用 类型 ： 分式 ｆ 分 子． １ 分母 中柯 相似 的项 ， 过 浚方法 可 将原 函 通 数转 化 为为 ： ±， ） 为常 数） （ （ 的形式 ， 后 泔论 ， ） 然 （ 的值 域 来确 定
函数 Ｙ的值域 。
适用类 型： 函数本 身可和其几何意义相联系的 函数类型．
线， 出 图缘易得 ： 作
Ｘ∈（， ， ０２， Ｉｘ＋ ｇ ０） ４ Ｙ∈（． 而 ｇ ｌ Ｙ＝ｌ ＝ｌ［ （ — ． 】 ） ｇ ， ｇ３ ４ ２ ） ’
＝
即 ： —
２一
知识 网顾 ：反 函数 的定义 域 即 是原 函数 的值域 。 故 函数 的值 域 为 ： Ｅ 一 ， Ｕ ２ ） （。２ （， 。 。）
四 、 元 法 换
适用类型 ： 无理 函 数 、 角 函 数 （ 三 角代 换 ） 。 三 用 等
～
＼ ｙ
例 求 函数 Ｙ 一 ＝ 的值域 。 ： 分析 与解 ： ｊ题 中含 有 √ 由 二 不使 ｊ计 算 ， 如粜 令 ： ＝ — — 但 ｔ ４－ ｘ １２
ｌ ～ （ ） ＋２ ， ＝ ｇ 源自ｙ—Ｉ ［ 。 ｙ１适 用类 型 ： 分予。 母中 含有 次 项 的 函数类 型 ，此 函 数经 过变 分 形后 可 以化 为 Ａ ｙｘ ＋ Ｏ ＋ （） ０ 形式 ， （）！ Ｂ ， ｃ ： 的 再利 用 判 别式加 以判 断 。
２ ＼
＼
ｏ
４
时， ｌ ＋ ｇ 取 最火值 ｌ２ 然 无最 小值 。 ｇ ｌｙ ｘ ｇ ，
分 式 函数 用配 方 法 求值 域 ：
注 ｆ 从 得 ．： ＃＋ ｆ） （ 意≥ 而 ： ０ ＝ ・ 一 ｌ１≥ ∈ ． （ｏ 一 ｙ ｓ
点评 ： 用 换元 法换 元时 一定 要注意 新 变量 的范 围 ， 则将 会发 生错误 。 在使 否 五 、 形 结 合 法 数
例 １求函数 ｖ ２ ４ ＋ ｘｘ ，１ ． ＝ — ： ４（∈ ４ 的值域。 － ）
分析 与解 ：木 题 中含彳 次幽数 可利刷 配方 法求 解 ， 『 为便 于 计算
例 ：求 两数 ：
。
＋１
的值 域 。
分析 与解 ：由于 本题 中 分子 、 分母均 只含 肖 臼变餐 的 一 次 型， 一 易 反解 出 ｘ 从 丽便 于求 ｝ 反 函数 ｖ ． 反解得 ： ， ｉ ｊ ：兰 —