函数值域求法大全
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。
原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。
求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。
2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。
原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。
3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。
原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。
因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。
4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。
5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
求函数值域的十种常用方法
求函数值域的十种常用方法函数的值域是指函数在定义域上取到的所有可能的函数值的集合。
确定函数的值域是函数分析中的一个重要内容，对于了解函数的性质和作用有着重要的意义。
下面是常用的十种方法来确定一个函数的值域：1.通过求导数：对于一个实变函数，可以通过求导数找到函数的极值点和临界点，并确定函数在这些点的函数值，然后从中选择最大值和最小值作为函数的值域的边界值。
2.分析极限：通过求函数的极限可以确定函数的趋势和发散的情况，从而可以确定函数的值域。
3.分段函数的值域：对于一个分段函数，可以分析每个分段的值域，然后将这些值域合并在一起得到整个函数的值域。
4.利用平移、伸缩和翻转：通过对函数进行平移、伸缩和翻转等运算，可以改变函数的图像和函数值的取值范围，并进一步确定函数的值域。
5.利用对称性：如果函数具有对称性，如轴对称、中心对称等，可以利用对称性来确定函数的值域。
6.利用图像分析：通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的取值范围。
7.利用函数的性质：对于特定的函数，可以利用函数的性质，如增减性、单调性、周期性等来确定函数的值域。
8.利用函数的定义域：函数的值域一般不能超出其定义域，因此可以通过函数的定义域来确定其值域的范围。
9.利用复合函数的值域：如果函数可以表示为其他函数的复合，可以利用复合函数的值域和定义域来确定原函数的值域。
10.利用数学工具：如利用不等式、方程以及数列等数学工具来分析函数的取值范围和值域。
当然，以上只是常用的一些方法，对于一些特殊的函数，可能需要运用其他方法和技巧来确定其值域。
准确确定函数的值域需要结合具体的函数形式和问题的要求进行分析和计算。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
函数的值域求法大全
y1 2 x 5 , y 2 log3 x 1 解：令
则 y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数 所以 y y1 y 2在[2，10]上是增函数 1 y 2 log 2 1 当x=2时， 8 y max 25 log3 9 33 当x=10时， 故所求函数的值域为： 1 ,33
y x 2 6x 13 4 • 例6. 求函数 值域。 5x 6 4 6y
x • 解：由原函数式可得：
4 6y x 则其反函数为： 5y 3
5y 3
• • 故所求函数的值域为： , 3
5
3 x ，其定义域为： 5
五函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，反客为主来确定函数的值域
3 min 3
8
七、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的 距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
• 的值域。 y • 解：原函数可变形为： (x 3) 2 (0 2) 2 (x 2) 2 (0 1) 2 • 上式可看成x轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2), B(2,1) 的距离之和， • 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， • ymin | AB | (3 2) 2 (2 1) 2 43， • 故所求函数的值域为 [ 43,]
三判别式法
dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). 2
1 x x • 求函数 y 2 1 x
的值域。
• 解：原函数化为关于x的一元二次方程
函数值域求法大全
022解 （ 1 ） 令
u=x2+2x=(x+1)2 -1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；
故值域是y ∈ 〔1/2,+∞).
01
令u=x2+2x+1=-(x1)2+2≦2,
02 且u>0,
03
故y=log1/2u的 定义域为（0，2] 上的减函数，
04
即原函数值域的为 y ∈〔-1,+∞)。
y [ 2 , 2 ]
(1 ) y 2 x 2 2 x ;
01
例6 求下列函 数的值域：
(2 ) y lo g 1 ( x 2 2 x 1 ).
分析：求复合函数 的值域，利用函数 的单调性采用换元 法先求出外层函数 的值域作为内层函 数的定义域，然后 求原函数的值域， 要特别注意内层函 数的定义域的取值 范围。
例11 求函数
y=√x22x+10+√x2 +6x+13的值
域。
分析：本题求函数的 值域可用解析几何与 数形结合法解之。
B(-3,2)
y A(1,3)
P
o
x A1(1,-3)
解：函数变形为 y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.
y
将上式可看成为x轴上点
A(1,3)
P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的 B(-3,2)
解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤ 5,原函数变形为：
解法2：(判别 式法).
两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x), 再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥ 0, y看成常数,方程有实根的条件是 △ =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) ≥ 0, 注意到y2>0得y2-4≤0 即0<y2≤4而y2-2≥0 即有√2≤y≤2, ∴y∈[√2,2].
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x2 x 1 x2 x 1)
1
,
令u
x2
x
1
0,
y
u 2u 1
2
1
1
,
yБайду номын сангаас
1 2
,Q
y
2
1
1
在u
0上
u
u
是增函数，u取最小值时，y也取最小 值。
解法2：（函数的单调性法）
而u x 2 x 1 ( x 1 )2 3 24
3
故x
1 2 , ymin
4 2 3 1
3 10
4
∴原函数的值域为
2、考查抽象函数、发散思维能力以及解决函数综合问题的特殊思 想方法如数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等。
3、考查函数与不等式、数列、几何等知识交叉渗透以及综合应用。
4、考查以函数为模型的实际应用问题，培养学生的应用意识。
求函数值域方法很多，常用方法有：
（1） 配方法 （2） 换元法 （3）判别式法 （4）不等式法
y[ 3 ,1) 10 2
例3
求函数
y
ex 1 ex 1
的反函数的定义域.
分析：函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的
值域，可用不等式法求解。
解：变形可得
( y 1)ex 1 y,Q y 1,ex 1 y 0 1 y
即
y＋1 y-1
0
(
y
1)(
y
1)
0,故－1<y<1.
∴反函数的定义域为(-1,1)。
当a=3,b=3时取等号，
故ab ∈〔9，+∞）.
例5 求下列函数的值域：
(1) y 5 x 3x 1;
(2) y x 2 4 x2 ;
分析：带有根式的函数，本身求值 域较难，可考虑用换元法将其变形， 换元适当，事半功倍。
例5 求下列函数的值域：
(1) y 5 x 3x 1;
分析：函数是分式函数且都含有 二次项，可用判别式和单调性法 求解。
例2求 函 数y x 2 x 1 的 值 域 2x2 2x 3
解 法1： 由 函 数 知 定 义 域 为R， 则 变 形 可 得 ： (2 y 1)x 2 (2 y 1)x (3 y 1) 0
当2 y 1 0即y 1 时, 代 入 方 程 ， 2
（5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法）
（7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法
这些方法分别具有极强的针对性，每一种方 法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值 域的方法，下面就常见问题进行总结。
例1 求函数 y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
解：（1）令t= 3x-1 0,有
x= 1(t2+1), 3
于是y=5- 1(t2+1)+t=- 1(t- 3 )2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2,
ymax
65 ,故y (, 65]
12
12
(2)令x 2 cos , [0, ],
有y 2 cos 2 4 4 cos2
2(cos sin 1) 2 2 sin( ) 2
考点扫描：
函数是高中数学重要的基础知识，高考试题中始终贯穿考查函 数概念及其性质这一主线。特别是函数的三要素，反函数，函数的 奇偶性、单调性、周期性、对称性以及函数最值等有关性质已经成 为高考经久不衰的命题热点，而且常考常新，根据对近年来高考试 题的分析研究，函数综合问题呈现以下几个特点：
1、考查函数概念、逻辑推理能力和必要的数学解题思想方法。
解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得 u∈〔-1,+∞),则y=2u≧2-1=1/2；
故值域是y ∈〔1/2,+∞).
(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2, 且u>0, 故y=log1/2u的定义域为（0，2]上 的减函数， 即原函数值域的为y ∈〔-1,+∞)。
例7 求下列函数的值域：
(1) y x 3 5 x
(2) y x 3 5 x
分析：本题求值域看似简单，其实有 其技巧性，变形适当事半功倍。
分析：本题是求二次函数在区间上的值
域问题，可用配方法或图像法求解。
解：y (x 1)2 3 ,Q x 1,1,
y
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,
x
1,
ymax
3 2
,
3/2 o 1/2
如图，
-1 -3/4
1x
∴y∈[-3/4,3/2].
例2 求函数
y= x2 x 1 的值域。 2x2 2x 3
8
x 2
x 2
(3 3
x)
3
8.
当且仅当x/2=3-x时，即x=2时取等号。故
在0<x<3时函数y的值域为y∈〔9，+∞）。
（2）解法1(均值不等式)
由已知得b=
a+3 a-1
1
a
4 即ab=a+b+3=a+4+ 1
4 a-1
(a 1) 4 5,又由ab a b 3得， a 1
左 边 1 3 1 0故y 1
2
2
当2 y 1 0即y 1 时，因x R，必有 2
（2 y 1）2 （4 2 y 1）（3 y 1） 0
得 ：3 y 1
10
2
综 上 所 述 ， 原 函 数 的 值域 为y [ 3 ，1） 10 2
解法2：（函数的单调性法）
Q
y
2(
b(a 1) a 3 0,a 1 0.
ab (a 1) 4 5 2 (a 1) 4 5 9,
a 1
a 1
当且仅当a=3时取等号。
故ab∈〔9，+∞）
解法2：（不等式法）
由ab a b 3 2 ab 3
得ab 2 ab 3 0
即( ab 3)( ab 1) 0 由于 ab 0 ab 3 0 即 ab 3ab 9
4
[0, ], 2 sin( ) 1
2
4
4 y 2( 2 1)
即 值 域 为y [4,2 2 2]
例6 求下列函数的值域：
(1) y 2x22x; (2) y log1 (x2 2x 1).
2
分析：求复合函数的值域，利用函数的单调性 采用换元法先求出外层函数的值域作为内层函 数的定义域，然后求原函数的值域，要特别注 意内层函数的定义域的取值范围。
例4 求下列函数的值域： (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的
取值范围（99年高考题）。
分析：均值不等式可以解决诸多特殊条件的函
数值域问题，变形恰当，柳暗花明。
(1)解：原函数可变形为：
y=2x2(3-x)=24 x x (3 x) 22