专题一：求函数值域十六法
重点高中数学求函数值域的7类题型和16种办法
精心整理求函数值域的 7 类题型和 16 种方法一、函数值域基本知识1．定义：在函数 yf (x) 中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的会集） 。
2．确定函数的值域的原则①当函数yf ( x) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的会集；②当函数yf ( x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；③当函数 y f ( x) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法规唯一确定； ④当函数 yf ( x) 由实责问题给出时，函数的值域由问题的实质意义确定。
二、常有函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法规，不论采用什么方法球函数的值域均应试虑其定义域。
一般地，常有函数的值域：1.一次函数 y kx b k 0 的值域为 R.二次函数 y ax 2 bx c a 0 ，当 a 0 时的值域为 4ac b 2 , ，当 a 0 时的值域为 2.4a, 4acb 2 .，4a3.反比率函数 yk k 0 的值域为 yR y0 .x4.指数函数 y a x a 0且a 1 的值域为 y y 0 .5.对数函数 ylog a x a 0且a 1 的值域为 R.6.正，余弦函数的值域为 1,1 ，正，余切函数的值域为 R.三、求解函数值域的 7 种题型题型一：一次函数 y ax b a 0 的值域（最值）1、一次函数： yax b a0 当其定义域为 R ，其值域为 R ；2、一次函数 y ax b a 0 在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。
若区间的形式为, n 或 m, 等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数 f (x)ax 2bx c(a 0) 的值域（最值）精心整理1、二次函数2、二次函数4ac b 2 0yaf (x)ax 2bx c(a0)，当其定义域为 R 时，其值域为 4a b 24ac 0y a4af (x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域 (最值 )第一判断其对称轴 xb与区间 m, n 的地址关系2a（1）若 bm, n ,则当 a 0 时， f (b ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；2a2a当 a 0时， f (b) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f ( n) 中较小者。
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法求函数值域是数学中的一个重要问题，涉及到了函数的性质和特点。
接下来，我将为您介绍求函数值域的十种基本方法。
1.函数特性法首先，我们可以通过函数的特性来判断其值域。
例如，如果函数是线性函数，那么它的值域是整个实数集；如果函数是二次函数，那么它的值域可以通过求解二次方程得到。
2.函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
值域可以通过观察函数图像的最高点、最低点以及其他特殊点得出。
3.函数解析式法通过函数的解析式，可以对其进行分析，确定函数的值域。
例如，对于一个多项式函数，可以通过求导，找出函数的极值点，从而得到值域。
4.函数区间法将函数的定义域划分为若干个区间，在每个区间内分别求出函数的最大值和最小值，然后取这些最值的并集，即可得到函数的值域。
5.函数性质法根据函数的性质，判断其值域。
例如，若函数是奇函数，那么其值域与定义域对称；若函数是周期函数，那么值域只需要求出一个周期内的值。
6.函数导数法通过求函数的导数，可以找出函数的极值点，然后确定函数的值域。
导数为零的点是函数的极值点，其中最大值和最小值即为函数的值域的上界和下界。
7.函数符号法通过研究函数的符号变化，可以确定函数值域。
例如，对于一个有理函数，可以研究当自变量趋于正无穷和负无穷时，函数值的变化情况。
8.函数求导法对于一些复杂的函数，可以通过对函数进行求导，并求出导函数的零点，从而找到函数的极值点。
极值点即为函数的值域的边界点。
9.函数的逆函数法若函数的逆函数存在，可以通过研究逆函数的定义域来确定函数的值域。
逆函数与原函数的值域相同，因此可以求出函数的逆函数，然后通过研究逆函数的值域来确定函数的值域。
10.函数的一些特点法对于一些具有特殊特点的函数，可以通过对这些特点进行分析，来确定函数的值域。
例如，对于一个增函数，函数的值域是从函数图像的最低点到最高点。
函数值域的求法总结
函数值域的求法总结引言函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
在分析函数时，除了研究其定义域和解析性质外，了解函数的值域也是很有意义的。
本文将从不同的角度总结函数值域的求法，并通过例子加以说明。
1. 图像法图像法是最常用的求函数值域的方法之一。
可以通过绘制函数的图像来观察函数的取值范围。
具体步骤如下：1.根据函数的定义域，选择恰当的自变量值。
2.分别计算这些自变量对应的函数值。
3.绘制函数的图像。
4.观察图像的纵坐标范围，即为函数的值域。
下面以函数f(x) = x^2 - 3为例进行说明：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-5, 5, 100) # 定义自变量的取值范围y = x **2-3# 计算函数值plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.title('Graph of f(x) = x^2 - 3')plt.grid(True)plt.show()根据绘制的图像可以看出，函数的值域为负无穷到负3的闭区间和零到正无穷的闭区间，即函数值域是[-3, ∞)。
2. 解析法解析法是根据函数的表达式来求解函数的值域。
具体步骤如下：1.对函数进行分析和化简，找出函数值域的特点。
2.根据特点确定函数值域的区间。
3.引入极限的概念，求解函数的值域。
下面以函数g(x) = (x + 1)/(x - 2)为例进行说明：由于x - 2不能为零，所以x ≠ 2。
根据函数的表达式，当x趋向于正无穷时，(x + 1)/(x - 2)趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，(x + 1)/(x - 2)趋向于负无穷。
因此，在x ≠ 2的条件下，函数的值域为负无穷到正无穷的开区间，即(-∞, ∞)。
3. 导数法导数法是通过对函数求导来求解函数的值域。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法
1. 通过图像观察函数的值域
2. 分析函数的定义域和性质来求值域
3. 使用函数的极限来求值域
4. 使用反函数来求值域
5. 使用微积分方法求值域
6. 利用代数方法求值域
7. 使用函数的导数来求值域
8. 使用平移、伸缩和反转等变换来求值域
9. 使用图像变换方法来求值域
10. 利用函数的周期性来求值域
11. 利用函数的分段定义来求值域
12. 使用函数的周期性来求值域
13. 利用对称性来求值域
14. 使用级数和级数收敛性来求值域
15. 利用函数的特殊性质和特殊值来求值域。
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。
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求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。
遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。
原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。
本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。
一、基本知识1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2． 函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。
从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有解的y 得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。
⑸．其他。
3． 函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1：求函数()1y x =≥的值域。
)+∞例2：求函数y = [)1,+∞例3：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤ ∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。
解：由3-2x-x2≥0，解出定义域为［-3，1］。
函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。
∴函数的值域是［0,2］例2：求函数2x y =，[]2,2x ∈-的值域。
1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3：求函数2256y x x =-++的值域。
73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
例1：求函数1212xxy -=+的值域。
解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+， ∵20x>，∴101yy->+，∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。
（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=，用复合函数法来求值域。
例1：求函数125xy x -=+的值域。
解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
例1：求函数2y x =解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。
∴函数2y x =5(,]4-∞。
（7）、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例1：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。
解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例1：求函数y x =解：∵当x 增大时，12x -随x的增大而减少，x 的增大而增大，∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。
∴1122y ≤-=，∴函数y x =-1(,]2-∞。
例2．求函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。
分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则()()()()212121211x x x x x x x f x f --=-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min =y 于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
例3：求函数()x x x f -++=11的值域。
分析与解答：因为110101≤≤-⇒⎩⎨⎧≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。
现构造相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。
()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，()2≤⇒x g ，()202≤≤x g ，又()()422=+x g x f，所以：()422≤≤x f，()22≤≤x f 。
（9）、基本不等式法利用基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取""=成立的条件.例1 求函数12++=x x y 的值域.解答:211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例2 求函数1222+++=x x x y 的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:22))(1(2++=+++x x c b x x , (2)将上面等式的左边展开, 有:)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;ⅰ)当1->x 时, 01>+x , 011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y . 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例3. 求函数的值域。
解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立 故原函数的值域为：例4. 求函数的值域。
解：当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例1：求函数2211x y x -=+的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。
例2．求函数1212--=x x y 的值域[解析]：函数的有界性由1212--=x x y 得112--=y y x11011,022-<>⇒>--∴>y y y y 或 例3：求函数2cos 13cos 2x y x +=-的值域。
[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦例4：求函数2sin 2sin xy x-=+的值域。
1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。