最新2数理方程-波动方程的导出
2 数理方程-波动方程的导出
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细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x x+dx u(x+dx,t) L
相对伸长： 相对伸长： ux
{ u( x + dx , t ) − u( x , t ) = ux ( x + θdx , t ) dx
导数定义： 导数定义：
很小时， 当dx 很小时，有
ux ( x + θdx, t ) = ux ( x, t )
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弦振动问题定解条件
边界条件： 边界条件：
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0
或: 初始条件:
u(0,t)=0, u(L,t)=0
u(x,t)|t=0= ϕ (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= ϕ (x) , ut(x,0)=g(x)
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是杨氏模量。 截面应力 P = Y ux ,Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ] 用牛顿第二定律 SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρ S dxutt ， － ，
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细杆的纵向振动问题
均匀细杆长为 ， 均匀细杆长为L，线 长为 u(x,t) u(x+dx,t) 杨氏模量为Y， 密度为ρ，杨氏模量为 ， O x x+dx 杆的一端固定在坐标原 L 细杆受到沿杆长方向的扰动( 轴方向的振动) 点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动) 轴方向的振动 杆上质点位移函数 u(x，t)。 ， 。 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩， 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x， ， t) 改变，质点位移相对伸长记为 ux。 改变，
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
2波动方程
数 学 物 理 方 程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程—— 牛顿知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉王 翠 玲西安交通大学数学与统计学院wangcl8@数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.数 学 物 理 方 程 概 论☆ 数学和物理的关系☆ 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的☆ 数学物理方程的定义用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S. D. Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
二、边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。
不同的初始条件→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
数理方程的应用举例-波动
数理方程的应用举例-波动
波动是我们经常会遇到的现象，例如海上的海浪、声波在空气中的传播、光波在空间中的传递等。
数理方程便是处理这类波动现象时所必须掌握的基本工具。
波动的数学理论起源于十九世纪，当时物理学家正在探究各种波动形式中的共同规律。
他们发现，无论是光波、声波，或者水波，代表它们的方程都呈现相似的形式。
这些方程被称为波动方程，是数学家们对波动特征的精细描述。
波动方程描述了波在一定介质中传播的方式。
例如，在空气中传播的声波由于空气的压缩而产生，其波动方程可以表示为：∂2P/∂t2=γ∇2P
其中，P是声压强度，γ是空气的压缩系数，t是时间，∇2是Laplace算子，表示声波在空间中的传播方式。
除了声波之外，电磁波也是一种波动形式，可以用波动方程描述。
例如，光波的方程可以表示为：
∇2E=με∂2E/∂t2
其中，E是电场强度，μ是介质的磁导率，ε是介质的电介质常数。
这个方程描述了光波在介质中的传播，因为光波是由电磁场的变化产生的。
在数理方程的帮助下，我们可以更好地理解和利用波动现象。
例如，可以通过数学建模来预测海浪高度、风浪方向和气压变化，这对海上航行和港口管理有着重要的指导意义。
此外，通过研究声波在各种介质中的传播特性，我们可以创造出更先进的声学技术，例如医学中的超声波成像、工业中的声波检测、航空中的声纳技术等。
总之，波动方程是一种非常重要的数学工具，它可以帮助人们更好地理解和应用各种波动现象。
在未来，随着数学工具的不断完善和发展，我们相信波动方程的应用将会不断得到拓展和深化。
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
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例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
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• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
数理方程__波动方程的分析
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
波动方程的直观求解法
波动方程是物理学中的关键方程之一，解决这个问题是很重要的，但是有时候这个方程很难以理解。
在这篇文章中，我们将探讨一些直观的求解波动方程的方法。
一、分离变量法：这是求解波动方程的最常用方法之一。
分离变量意味着将变量分开，然后解决方程。
这种方法需要一定的数学知识，但是只要理解了它的原理，就可以轻松地应用它来解决波动方程。
二、超定平衡法：这种方法是通过将波特征的变化定义为超定平衡来解决波动方程的。
这种方法比较复杂，但是如果正确地应用它，就可以得到很精确的解决方案。
三、观察物理实验：物理实验可以非常直观地帮助我们理解波动方程。
通过观察实验，我们可以确定方程的一些基本要素，如波长、频率等等。
四、数值方法：数值方法是一种较为常见的解决波动方程的方法，它可以通过计算机程序来求解方程。
这种方法需要一些计算机科学和数学方面的知识，但是它可以帮助我们得到非常精确的解决方案。
五、借助解析法解决实际问题：在实际问题中，我们经常会遇到一些非常复杂的波动问题。
通过运用解析法，我们可以采用一些简单的模型来解决这些问题，这些模型可以帮助我们获得更准确和实际的结果。
总之，求解波动方程需要一定的数学和物理学知识，但是只要我们了解了基本的原理，就可以使用这些方法来得到我们需要的结果。
当然，在实际问题中，我们可能需要结合多种方法来获得最好的结果。
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
第一章_波动方程详解
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
------齐次方程
数学物理方程
§1.1 弦振动方程的导出
第一章 波动方程
如果弦非均匀，则 和T为x的函数，
x x[ u (x ,t t) u (x ,t)] dx
x
t
t
于是由冲量定理：
t t T [ u ( x x , t ) u ( x , t ) ] d x x t [ u ( x , t t ) u ( x , t ) ] d
t
x x x t t
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
数学物理方程
第一章 波动方程
T T'
其中： m ds
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
2u( x, t ) a t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
u( x, t ) x
把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。
数学物理方程
第一章 波动方程
§1.1 弦振动方程的导出
基本假设：
1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。
数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章
的通解可以写成
u=
F ( x − at ) + G ( x + at ) h−x
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t = 0 : u = ϕ (x ),
解：令 (h − x )u = v 则
∂u = Ψ ( x ). ∂t
∂v (h − x ) ∂u = u + ∂v , (h − x )2 ∂u = (h − x ) u + ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ,故 ( x, x + ∆x ) 上所受摩阻力为 ∂t ∂u − b ⋅ p( x )s ( x ) ⋅ ∆x ∂t
运动方程为:
ρ (x )s (x )∆x ⋅
∂ 2u
∂u ∂u ∂u x − b ⋅ ρ (x )s (x )∆x = ES x + ∆x − ES ∂x ∂t ∂t ∂t 2
∂ ∂v ∂u ∂ 2v 2 ∂u 2 ∂u [(h − x) = −(u + ) + (h − x) + (h − x) = (h − x)(u + 2 ) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x
又 代入原方程，得
(h − x ) ∂
2
u
∂t 2
=
∂ 2v ∂t 2
(h − x ) ∂
即
2
v
∂x 2
ρg (l − x) sin θ ( x); ρg (l − ( x + ∆x)) sin θ ( x + ∆x)
其中 θ ( x) 表示 T ( x) 方向与 x 轴的夹角 又 于是得运动方程
sin θ ≈ tgθ =
∂u ∂x.
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(x) 2 2h h(L /x L,x)/L,L 0/2x xL /L 2
u
h
x
O
L/2
L
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波动方程定解条件II
细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定
在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲
量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移
utt a2uxx, 0xL,0t u(0,t)0,u(L,t)0, 0t
u(x,0)0,ut(x,0)(x),0xL
(x) 0 I,/2 (),L o/2th e x rL/2
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波动方程定解条件III
u(L,t) O
L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
边界条件：
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0
ux
F(t)/SY
xL
[u + ux]x=L=0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
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习题2.1（P.22）1、2
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初始条件:
u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
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波动方程定解条件I
utt a2uxx, 0xL,0t u(0,t)0,u(L,t)0, 0t
u(x,0)(x),ut(x,0)0,0xL
dx
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截面应力 P = Y ux ,Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
ux(xd,d tx ) xux(x,t)ux(xx,t) 令a2 = Y/ , dx→0。化简，得
utt = a2 uxx
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弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初
始条件包括初始位移和初始速度。
•边界条件表示端点状态 •初始条件表示历史状态
电子科技大学10/16源自振动问题定解条件边界条件：
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0
或: u(0,t)=0, u(L,t)=0
2数理方程-波动方程的导出
牛顿第二定律: F=ma a—物体加速度; F—合外力; m—物体质量
虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—相对伸长
付里叶热传导定律:
Q dT ; Q—热量;T—温度;κ—热导率
u tt F (t) Sx Y (L u ,t)
F(t) – SY ux( L , t ) = 0
ux
F(t)/SY
xL
utt a2uxx,
0xL,0t
u|x00,ux
F(t)/SY,
xL
0t
u(x,0)0,ut(x,0)0, 0xL
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波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹 簧相接.受到扰动,作上下微小横振动。
在右端点处(张力=弹性力) :
Tux= -Ku
令 =T/K, 得[u + ux]x=L=0
utt a2uxx, u|x00,[ux
0xL,0t
u]xL 0,0t
u(x,0)0,ut(x,0)0, 0xL
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弦振动问题定解条件
初始条件:
u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)