北师大2013版第四章三角形复习与小结2

合集下载

七年级数学下册章末小结第四章三角形作业课件新版北师大版

所以BC＝BE＋EC＝10. (2)因为∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝75°－30°＝45°,
所以∠BAE＝∠CAD＝45°, 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°.
四、全等三角形的判定
13．如图,已知AB＝CB,若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD,需要补充的一个条件是(C)
二、三角形的三边关系
6．(2018·长沙)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(B)
A．4 cm,5 cm,9 cm
B．8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D．6 cm,7 cm,14 cm
7．(2018·陇南)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a－7|＋(b－1)2＝0,c为奇数,则c＝7.
C．65°
D．75°
3．如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于O点,∠DAC＝30°,∠ECA＝35°,则∠ABO
等于(A)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4．(2018·株洲)如图,直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,过l1上的点A作AB⊥l3交
l3于点B,其中∠1＜30°,则下列结论一定正确的是(D)
17．如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延
长线于点F.
(1)试说明△ABE≌△理由；
(2)若AD＝2,BC＝6,求AB的长．
解：(1)因为 AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA，所以∠BAE＝∠EAF，∠ABE ＝∠EBC ，因为 AD∥BC ，所以 ∠EBC ＝ ∠F ，所以 ∠ABE ＝∠F ，在 △ABE 和 △AFE 中， ∠ABE＝∠F， ∠BAE＝ ∠EAF ， AE＝AE ，所以△ABE ≌△AF E(AAS)． (2)因为△ABE≌△AFE，所以 BE ＝EF，AB＝AF.

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理含解析北师大版

4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin 2α+cos 2α= . (2)商数关系:sinαcosα= (α≠π2+kπ,k ∈Z).2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π+α (k ∈Z )π+α -α π-απ2-α π2+α正弦sin α余弦cos α 正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变, 符号看象限1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (1)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α; (2)sin α=tan αcos αα≠π2+k π,k ∈Z ;(3)sin 2α=sin 2αsin 2α+cos 2α=tan 2αtan 2α+1; (4)cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对任意的角α,β有sin 2α+cos 2β=1. ( ) (2)若α∈R ,则tan α=sinαcosα恒成立.( ) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( ) (4)若cos(n π-θ)=13(n ∈Z ),则cos θ=13.( )2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55,α∈π,3π2,则tan α=( )A.2B.32C.1D.123.(2020河北唐山模拟,理4)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边上一点A (2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=( )A.12B.-12C.√32D.-√324.函数f (x )=15sin x+π3+cos x-π6的最大值为( ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)若tan(α-π)=12,则sin2α+1cos2α-sin2α=()A.-12B.-2C.12D.2(2)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于()A.-43B.54C.-34D.45解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=sinαcosα(α≠kπ+π2,k∈Z)可以实现角α的弦切互化.2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tanπ4.3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.对点训练1(1)已知α是第四象限角,sin α=-1213,则tan α等于()A.-513B.513C.-125D.125(2)若3sin α+cos α=0,则1cos2α+2sinαcosα的值为()A.103B.53C.23D.-2考点利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin θ-cos θ=√2,θ∈(0,π),则tan θ=()A.-1B.-√22C.√22D.1(2)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程2x2+(√3-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ=()A.1-√32B.1+√32C.√3D.-√3解题心得1.通过平方,对称式sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α之间可建立联系,若令sin α+cos α=t ,则sin αcos α=t 2-12,sin α-cos α=±√2-t 2(注意根据α的范围选取正、负号).2.利用上述关系,对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,可以知一求二.对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知α∈(-π2,0),sin(π-2α)=-12,则sin α-cos α=( )A.√52 B.-√52C.√62D.-√62考点诱导公式的应用【例3】(1)已知sin(π-α)=log 814,且α∈-π2,0,则tan(2π-α)的值为( ) A.-2√55B.2√55C.±2√55 D.√52(2)已知θ是第四象限角,且sin θ+π4=35,则tan θ-π4= .解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等. 对点训练3(1)已知A=sin (kπ+α)sinα+cos (kπ+α)cosα(k ∈Z ),则A 的值构成的集合是( )A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}(2)sin 600°+tan 240°的值等于 . (3)已知sin7π12+α=23,则cos α-11π12= . 考同角三角函数基本关系式和诱导点公式的综合应用【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin 33π14+α=-5cos5π14+α,则tan5π14+α=( )A.-53B.-35C.35D.53(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=( )A.3√55B.3√77C.3√1010D.13解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.对点训练4(1)已知角tan θ=√2,则sin 2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos 2θ等于( ) A.-√26B.√26C.-23D.23(2)已知sin α=2√55,则tan(π+α)+sin(5π2+α)cos(5π2-α)= .1.同角三角函数基本关系式可用于统一函数名;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值与化简必会的三种方法:(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosαα≠k π+π2,k ∈Z ;形如asinx+bcosx csinx+dcosx,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x 等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan π4等.(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化.3.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.1.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)1 (2)tan α2.-sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α -tan α考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)×2.A ∵cos α-π2=sin α=-2√55,又α∈π,3π2,∴cos α=-√55,∴tan α=2.故选A .3.A 由三角函数定义得tan α=32sinα,即sinαcosα=32sinα,得3cos α=2sin 2α=2(1-cos 2α),解得cos α=12或cos α=-2(舍去).故选A . 4.A 因为cos x-π6=cosπ2-x+π3=sin x+π3,所以f (x )=15sin x+π3+sin x+π3=65sin x+π3,故函数f (x )的最大值为65.故选A .关键能力·学案突破例1(1)D (2)D (1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tan α=12,sin 2α+1cos 2α-sin 2α=2sin 2α+cos 2αcos 2α-sin 2α=2tan 2α+11-tan 2α=2×(12) 2+11-(12) 2=2.(2)sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ-2tan 2θ+1,又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45.对点训练1(1)C (2)A (1)因为α是第四象限角,sin α=-1213,所以cos α=√1-sin 2α=513,故tan α=sinαcosα=-125.(2)由题知,3sin α+cos α=0,且cos α≠0,故tan α=-13, 1cos 2α+2sinαcosα=cos 2α+sin 2αcos 2α+2sinαcosα=1+tan 2α1+2tanα=1+(-13) 21-23=103.例2(1)A (2)B (1)由sin θ-cos θ=√2,得1-2sin θcos θ=2,所以2sin θcos θ=-1,又α∈(0,π),所以cos θ<0,所以θ∈π2,π,则(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=0,解得sin θ+cos θ=0,所以tan θ=-1.(2)由题意,sin θ+cos θ=1-√32,sin θcos θ=m 2,则(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ·cos θ=1+m=2-√32,解得m=-√32.因为θ为第二象限角,所以sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0, 因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-m=1+√32,所以sin θ-cos θ=√1+√32=√2+√32=√4+2√34=1+√32.故选B .对点训练2D 因为sin(π-2α)=-12,所以sin2α=-12,即2sin αcos α=-12.所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+12=32.又因为α∈(-π2,0),所以sin α<cos α.所以sin α-cos α=-√62.故选D .例3(1)B (2)-43(1)sin(π-α)=sin α=log 814=-23,又因为α∈-π2,0,则cos α=√1-sin 2α=√53,∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sinαcosα=2√55.(2)∵sin θ+π4=35,∴cos θ-π4=cos θ+π4-π2=sin θ+π4=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin θ-π4=-45. ∴tan θ-π4=-43. 对点训练3(1)C (2)√32(3)-23(1)当k 为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2; 当k 为奇数时,A=-sinαsinα−cosαcosα=-2.(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-√32+√3=√32. (3)cos α-11π12=cos 11π12-α=cos π-π12+α=-cosπ12+α,而sin 7π12+α=sin π2+π12+α=cosπ12+α=23,故cos α-11π12=-23.例4(1)A (2)C (1)由3sin33π14+α=-5cos 5π14+α,得sin 5π14+α=-53cos 5π14+α,所以tan5π14+α=sin(5π14+α)cos(5π14+α)=-53cos(5π14+α)cos(5π14+α)=-53.(2)由已知得{3sinβ-2tanα+5=0,tanα-6sinβ-1=0.消去sin β,得tan α=3,∴sin α=3cos α,代入sin 2α+cos 2α=1, 化简得sin 2α=910,则sin α=3√1010(α为锐角).对点训练4(1)D (2)52或-52 (1)sin 2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-√2cos 2θ=sin 2θ+sinθcosθ-√2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ-√2tan 2θ+1=(√2)2+√2-√2(√2)2+1=23.(2)∵sin α>0,∴α为第一或第二象限角,tan(α+π)+sin(5π2+α)cos(5π2-α)=tan α+cosαsinα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.①当α是第一象限角时,cos α=√1-sin 2α=√55,原式=1sinαcosα=52;②当α是第二象限角时,cos α=-√1-sin 2α=-√55,原式=1sinαcosα=-52.综合①②知,原式=52或-52.。

第二单元认识三角形和四边形(易错梳理)-四年级下册数学单元复习讲义北师大版

认识三角形和四边形知识盘点知识点1：图形的分类立体图形圆（由曲线围成）平面图形三角形（3条边）三角形、四边形平行四边形（由线段围成）四边形（4条边）长方形正方形知识点2：三角形的认识1、直角三角形：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形按角分锐角三角形：有一个角是直角的三角形是直角三角形三角形分类钝角三角形：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形按边分等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形任意三角形 2、三角形内角和及三边关系① 任意一个三角形内角和等于180度。

② 三角形任意两边之和大于第三边。

已知两条边的长度，那么第三边的长度要大于已知两边之差小于两边只差。

知识点3：四边形的认识由四条线段围成的封闭图形叫作四边形。

四边形中有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

只由一组对边平行的四边形是梯形。

长方形、正方形是特殊的平行四边形。

正方形是特殊的长方形。

⭐注意易错集合易错点1：四边形的概念典例判断：由四条线段组成的图形就是四边形。

（）解析误认为只要四条线段组成的图形就是四边形，忽略了四条线段需要首尾相连。

解答 ×✨针对练习1你能解释为什么吗？易错点2：三角形的分类典例猜一猜被遮挡住的可能是什么三角形？解析直角三角形和钝角三角形都有两个锐角，可以根据露出的这个角是直角或钝角来判断是直角三角形还是钝角三角形；当露出来的角是锐角时，则无法直接断定是什么三角形。

解答直角三角形钝角三角形可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形⭐点拨由四条线段首位顺次连接组成的封闭图形叫作四边形。

⭐点拨四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。

✨针对练习2将下面的三角形进行分类（填写序号）锐角三角形有（）；直角三角形有（）；钝角三角形有（）；等腰三角形有（）；等边三角形（）。

易错点3：三角形的内角和问题典例求出图中三角形未知角的度数。

甘肃省瓜州县第二中学七年级数学下册第四章三角形回顾与思考学案2(无答案)(新版)北师大版

1 / 2课题第四章三角形学习目标 1.通过自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。

2.合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养分析问题和解决问题的能力，培养小组合作意识和合作能力。

3.理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。

重点难点重点：掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。

难点：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题教法选择讲练法课型复习课课前准备练习题是否采用多媒体否教学时数4课时教学时数第3课时备课总数第53 课时课堂教学过程设计教学内容一、基础练习：1．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. 2cm ，3cm ，4cmB. 1cm ，4cm ，2cmC.1cm ，2cm ，3cmD. 6cm ，2cm ，3cm2．在下列各组图形中，是全等的图形是（）3. 下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（）A. 一个锐角对应相等B. 两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D. 两条边对应相等4．已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（）A ．4对B ．．3对C 2对D ．1对4题 5．如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去6．如图中三角形的个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．97．下列条件中，不能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的是（） ② ① ③ 5题 C D A B E F 6题2 / 2 教学内容A ．∠A=∠A ′， ∠C=∠C ′，AC=A ′C ′B ．∠A=∠A ′， BC=B ′C ′，AB=A ′B ′C ．∠A=∠A ′=80O ， ∠B=60O ，∠C=40O ，AB=A ′B ′D ．∠C=∠C ′=90O ， BC=B ′C ′，AB=A ′B8．在下列条件中：①∠A +∠B=∠C ，②∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B ，④∠A=∠B=12∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9．如图1所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是；（2）在△AEC 中，AE 边上的高是；10．如图4，△ABC ≌△AED ，∠C=400，∠EAC=300，∠B=300，则∠D= ，∠EAD= ；11．若一个等腰三角形两边长分别是3 cm 和5 cm ，则它周长是 ____ cm 。

北师大新版七年级下册《第4章三角形》2含解析版答案

北师大新版七年级下册《第4章三角形》一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠24．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有对全等三角形．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD ≌△CDB．（只需写一个）18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是（填出一个即可）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件，使得△ABO≌△CDO．三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．北师大新版七年级下册《第4章三角形》参考答案与试题解析一、选择题（共11小题）1．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠BDF＝∠C+∠E＝90°+30°＝120°，∵△BDF中，∠B＝45°，∠BDF＝120°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣120°＝15°．故选：A．2．如图，点C在AB的延长线上，∠A＝35°，∠DBC＝110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D＝∠DBC﹣∠A＝110°﹣35＝75°．故选：C．3．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．【解答】解：A、当BE＝FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF＝ED，∴BE＝DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1＝∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选：C．4．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选：C．5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE、DF、EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．∠A＝∠DFE B．BF＝CF C．DF∥AC D．∠C＝∠EDF 【分析】根据三角形中位线的性质，可得∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，根据SAS，可判断B、C；根据三角形中位线的性质，可得∠CFE＝∠DEF，根据AAS，可判断D．【解答】解：A、∠A与∠DEF没关系，故A错误；B、BF＝CF，F是BC中点，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DF∥AC，DE∥BC，∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故B正确；C、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，∵DF∥AC，∴∠CEF＝∠DFE在△CEF和△DFE中，∴△CEF≌△DFE（ASA），故C正确；D、点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠CFE＝∠DEF，，∴△CEF≌△DFE（AAS），故D正确；故选：A．7．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．8．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；故选：D．9．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝BC【分析】由条件可得∠A＝∠D，结合AE＝DF，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AE＝DF，∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，故选：A．10．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC ≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．11．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC ≌△DEF（）A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；故选：C．二、填空题（共12小题）12．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有 3 对全等三角形．【分析】由OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，得到PE＝PF，∠1＝∠2，证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出AP＝BP，于是证得△AOP≌△BOP，和R t△AOP ≌R t△BOP．【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE＝PF，∠1＝∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP＝BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．13．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：△ADF≌△CBE．【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC，在△ADF与CBE中，，∴△ADF≌△CBE（AAS），故答案为：△ADF≌△CBE．14．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF15．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC＝BC或∠DAC＝∠BAC．【分析】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS 即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC＝BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC＝∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC16．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD ＝∠CBD或AD＝CD．．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD＝∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD＝CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB＝CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）【分析】先根据平行线的性质得∠ABD＝∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB＝CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，∴当添加AB＝CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．故答案为AB＝CD．18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，请添加一个条件AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE），使△ABC≌△DEF．【分析】可选择利用SSS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．【解答】解：①添加AC＝DF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．②添加∠B＝∠DEF．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．③添加AB∥DE．∵BE＝CF，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（或∠B＝∠DEF或AB∥DE）．19．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A＝∠EDF＝90°，AB ＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝25°．【分析】由∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC．∠E＝30°，∠BCE＝40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵∠EDF＝90°，∠E＝30°，∴∠F＝90°﹣∠E＝60°，∵∠ACE＝∠CDF+∠F，∠BCE＝40°，∴∠CDF＝∠ACE﹣∠F＝∠BCE+∠ACB﹣∠F＝45°+40°﹣60°＝25°．故答案为：25°．20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD＝CE．（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD＝CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD＝∠CAE等．【解答】解：BD＝CE，理由是：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD＝CE．21．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是AB＝CD（答案不唯一）（填出一个即可）．【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝CD，理由是：∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．22．如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB＝DE（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】求出BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB＝DE，理由是：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝DE．23．如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件∠A＝∠C，使得△ABO≌△CDO．【分析】首先根据对顶角相等，可得∠AOB＝∠COD；然后根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，则只需∠A＝∠C即可．【解答】解：∵∠AOB、∠COD是对顶角，∴∠AOB＝∠COD，又∵AB＝CD，∴要使得△ABO≌△CDO，则只需添加条件：∠A＝∠C．（答案不唯一）故答案为：∠A＝∠C．（答案不唯一）三、解答题（共7小题）24．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．25．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．【解答】解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．26．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【分析】根据中点定义求出AC＝CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD＝∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．27．如图，点C，F在线段BE上，BF＝EC，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【分析】先求出BC＝EF，添加条件AC＝DF，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】AC＝DF．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．求证：△BED≌△CFD．【分析】首先根据AB＝AC可得∠B＝∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．29．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD ≌△AEC．【分析】根据∠BAC＝∠DAE，可得∠BAD＝∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（SAS）．30．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由．【分析】根据∠BCE＝∠ACD＝90°，可得∠3＝∠5，又根据∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∠2+∠D＝90°，可得∠1＝∠D，继而根据AAS可判定△ABC≌△DEC．【解答】解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ACD中，∠ACD＝90°，∴∠2+∠D＝90°，∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．。

2022-2023学年北师大版数学七年级下册+第四章+三角形++期末复习题(2)

第四章三角形期末复习（二）一．选择题1．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm2．如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为（）A．4米B．5米C．6米D．7米3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，过点A作AH⊥BD交BD延长线于点H，交BC延长线于点M，若满足BD＝2AH，那么∠CBD的度数为（）A．30°B．25°C．22.5°D．20°4．如图，D、E分别是AC、BD的中点，△ABC的面积为12cm2，则△BCE的面积是（）A．6cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm25．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（）A．①B．②C．③D．④6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，S△DEF＝2，则S△ABC＝（）A．16B．14C．12D．107．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，3，4B．2，3，5C．2，2，4D．2，2，59．如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．12B．14C．16D．1810．若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm二、填空题36．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠B＝35°，则∠ADC的度数为°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE．若∠A＝40°，则∠FDE＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B ＝40°，DE交线段AC于点E．下列结论：①∠CDE＝∠BAD；②BD＝CE；③当D为BC中点时，DE⊥AC；④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝30°．其中正确的是（填序号）．三、解答题15．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE．（1）求证：△ABF≌△DCE．（2）已知∠AFC＝80°，求∠DEC的度数．16．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF．17．如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．18．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB．求证：AC＝AE．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上（BD＜BE），BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）若∠ADE＝2∠B，BD＝2，求AE的长．20．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①小明发现，此时AC平分∠BCD．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE＝CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当∠BAD＝90°时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC＝180°．请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明．21．已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在射线BF上，连接CE．（1）如图1，BD与CE是否相等？请说明理由；（2）如图1，求∠BCE的度数；（3）如图2，当D在BC延长线上时，连接BE，△ABE、△CDE与△ADE的面积有怎样的关系？并说明理由．22．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD．以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝90°．解答下列问题．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD＝CE，BD⊥CE．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）．先画出相应图形，再说明理由．4 5 5。

北师大版七年级下册数学[《三角形》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.2. 理解并会应用三角形三边关系定理；3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的分类【与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．2.三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.要点四、全等三角形的性质与判定1.全等三角形的性质全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点五、用尺规作三角形1.基本作图利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；要点诠释：要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.【典型例题】类型一、三角形的内角和【与三角形有关的角练习（3）】1.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于H，则∠BHC的度数为 .【答案】135°.类型二、三角形的三边关系及分类2.（2016春?故城县期末）已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c﹣a|+|b﹣c ﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.【思路点拨】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【答案与解析】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c=2c﹣2a．【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．举一反三【变式】（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．【答案】8．解：设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3﹣2＜x＜3+2，即：1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x=3，∴这个三角形的周长为2+3+3=8.3.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．4. 有一个等腰三角形，它的两个角的度数比是1：2，这个三角形按角分类可能是什么三角形？【思路点拨】因为该等腰三角形的两个角的度数比是1：2，则这个三角形三个角度数的比为1：2：2或1：1：2，进而根据按比例分配知识，分别求出三角形的最大角的度数，进而根据三角形的分类进行判断即可．【答案与解析】解：（1）1+1+2=4，180×24=90°∴该三角形是直角三角形；（2）又1+2+2=5，180×25=72°∵最大角为72度，是锐角，∴该三角形的三个角都是锐角，即该三角形是锐角三角形；综上所述：该三角形是直角三角形或锐角三角形．【总结升华】解答此题用到的在知识点：（1）三角形的内角和180度；（2）按比例分配知识；（3）三角形的分类；举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型三、三角形的重要线段5. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠ B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°．即∠FCD =16°．【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠D AE=35°类型四、全等三角形的性质和判定6. （2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【思路点拨】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【答案与解析】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．类型五、全等三角形判定的实际应用7. 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP 并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；（2）如图所示，也可先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C，D?两点，?使BC=CD．接着过点D作BD的垂线DE交AC的延线长于E，则测出DE的长即为A，B的距离．?你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD⊥AB，ED⊥BF的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？【思路点拨】本题两种测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知AB的距离．【答案】（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．（2）由△ACB≌△ECD得DE=AB．目的是使DE∥AB，可行．【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决．类型六、用尺规作三角形8.已知：线段a，b求作：△ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】首先画线段AC=2a，再以A为圆心，a长为半径画弧，再以C为圆心，b长为半径画弧，两弧交于点B，连接AB、BC即可．【答案与解析】解：如图所示：，△ABC即为所求．【总结升华】此题主要考查了作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的方法；利用三角形全等判定定理”边边边”解决本题．举一反三【变式】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=2∠α+∠β．【答案】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．。

湘东区第二小学四年级数学下册二认识三角形和四边形知识点总结2 北师大版

二认识三角形和四边形【三角形】1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。

三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法。

3、三角形的特性：1、物理特性：稳定性。

如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、边的特性：任意两边之和大于第三边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)13、等边三角形是特殊的等腰三角形14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°15、图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。

16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

18、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。

19、密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形等。

课堂巩固练习一、用心选一选。

1、一个三角形有（）条高。

A、1B、3C、无数2、如果直角三角形的一个锐角是20°，那么另一个角一定是（）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

试判断AB与ED有什么关系？并说明理由。
课堂小结
交流本节课的收获，说说存在的困惑
布置作业
1、总结第三环节中练习中的错题，对其中的某些题还有什么好的建议或变形 2 、通过交流把自己的总结再完善和改进后粘贴到班级的板报中
C D
（三）回顾“三角形三条重要线段”
1、三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD =S△ADC，则AD为（）. A.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定 2、如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形 ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为＿＿＿＿＿＿．
2、已知一个三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长x的取值范围是 ;若x是奇数，则x的值是 ; 此三角形的周长p的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
3、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是 9cm ,则这个三角形的周长是 cm 4、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是 7cm ,则这个三角形的周长是 cm
（二）回顾“三角形内角和”
1、在△ABC中，（1）∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度；（2）∠B=100°，∠A=∠C，则∠C= 度；（3）2∠A=∠B+∠C，则∠A= 度。（4） ∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5，则∠A = ∠B= ∠C= 。 A 2、如图，已知五角星ABCDE，求 E B ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和为。
C
A D
B
4、如图所示：要说明△ABC≌△BAD，（1）已知∠1=∠2，若要以SAS为依据，则可添加一个条件是；（2）已知∠1=∠2，若要以AAS为依据，则可添加一个条件是；
（3）已知∠C=∠D=90°，若要以HL为依据，则可添加一个条件是；
C D
A
1
2
B
5 如图，点C，F在BE上，∠A= ∠D,AC//DE, BF=EC,
A E B 图1 D C
2．如图2所示，已知∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（） A、AB＝AD，BC＝DE B、BC＝DE，AC＝AE C、∠B＝∠D，∠C＝∠E D、AC＝AE，A，则利用（）可说明△ABC与△ADE全等. A. SAS B. AAS C. SSA D. HL
3、在△ABC中，∠B=24°，∠C=104°，则∠A的平分线和BC边上的高的夹角等于＿＿＿．
4、如图，△ABC中BC边上的高为＿＿＿＿．
A D C
E
B F
（四）回顾“全等三角形性质及判定”
1．如图1所示,在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由 “SSS”可以判定是（） A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE C．△ABE≌△ACE D △ABE≌△CDE
第三章
三角形
回顾与思考(1)
小组展示交流
各小组加分情况
第一组第二组第三组第四组第五组
练习提高（一）回顾 “三角形三边关系”
1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）（1） 1， 3， 3 （2） 3， 4， 7 （3） 9， 13， 5 （4） 11， 12， 20 （5） 14， 15， 31