高中数学应用题汇总

合集下载

高考数学应用题复习题集及参考答案

高考数学应用题复习题集及参考答案本文为高考数学应用题复习题集及参考答案，旨在帮助学生复习并加深对应用题的理解。

以下是一系列经典的数学应用题，每道题后附有详细的解答和解题思路。

希望能够对广大考生有所帮助。

一、函数与极限1. 设函数\[y = f(x) = \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]，求\[\lim_{{x\rightarrow 0}} f(x)\]的值。

解答：由于\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x = 0\]，且\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x} = 0\]，所以我们有：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]\[= \frac{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x}}{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x}}}\]\[= \frac{0}{0}\]（形式不定）利用洛必达法则，求导得：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\cos x}}{{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}}\]\[= \lim_{{x \rightarrow 0}} 2\sqrt{x} \cdot \cos x\]\[= 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0\]因此，\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = 0\]。

二、微分与导数2. 已知函数\[y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\]，求导函数\[y' = f'(x)\]。

解答：使用导数的定义，对函数进行求导：\[y' = \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{f(x+\Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 12 - (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{x^3 + 3x^2 \Delta x +3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3x^2 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4x -4\Delta x + 12 - x^3 + 3x^2 + 4x - 12}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2 - 6x - 3\Delta x - 4)\]\[= 3x^2 - 6x - 4\]因此，导函数\[y' = f'(x) = 3x^2 - 6x - 4\]。

高中数学应用题

函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分由2180015001500015000x x -++>，得506x << ……8分（2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分设点()00,y x A ，则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。

(完整版)高中数学应用题

高中数学题库-高考数学应用题归类解析

高考数学应用题归类解析类型一：函数应用题1.1 以分式函数为载体的函数应用题例 1. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x (万件)间的关系为：10,623x c x p x c⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（c 为常数，且0<c <6）. 已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元.（1）将日盈利额y (万元)表示为日产量x (万件)的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝次品数产品总数×100%)【解】（1）若c x ≤<0，则)6(293623)6(3x xx x x x x x y --=-⋅---=，若c x >，则03223)32(3=⋅--=x x x y ， ⎪⎩⎪⎨⎧--=∴0)6(2)29(32x x x yc x cx >≤<0 （2）当c x ≤<0，则222')6()9)(3(3))6()1)(29()6)(49(23x x x x x x x x y ---=------⋅= 若30≤<c ，则0'>y ，函数在(]c ,0上为增函数，)6(2)29(3,2maxc c c y c x --==∴若63<<c ，在)3,0(上为增函数，在),3(c 上为减函数，∴当3=x 时，29max )3(==f y . 综上，若30≤<c ，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若63<<c ，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.例2. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100kC x x k x =≥+为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.（1）试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；（2）当x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？【解】（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由(0)24100kC ==,得2400k =，所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++；（2）因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥-=+. 当且仅当18000.5(5)5x x =++，55x =时取等号，所以当x 为55平方米时, F 取得最小值为59.75万元.1.2 以分段函数为载体的函数应用题例3. 在等边ABC ∆中,AB =6cm ，长为1cm 的线段DE 两端点,D E 都在边AB 上，且由点A 向点B 运动（运动前点D 与点A 重合），FD AB ⊥,点F 在边AC 或边BC 上；GE AB ⊥,点G 在边AC 或边BC 上，设AD xcm =.（1）若ADF ∆面积为1()S f x =,由,,,DE EG GF FD 围成的平面图形面积为2()S g x =，分别求出函数(),()f x g x 的表达式；（2）若四边形DEGF 为矩形时0x x =，求当0x x ≥时, 设()()()f x F xg x =，求函数()F x 的取值范围 .解：（1）① 当03x <≤时，F 在边AC 上，0tan 60FD x ==，2()f x x ∴=；当35x <≤时，F 在边BC 上，0(6)tan 60)FD x x =-=-,()(6)2f x x x ∴=-，2,032()(6),352x x f x x x x <≤⎪∴=-<≤⎩② 当02x <≤时，F 、G 都在边AC上，0tan 60FD x ==，1)EG x =+()1g x ∴==当23x <≤时，F 在边AC 上，G 在边BC 上,FD =, )EG x =-()g x ∴=；当35x <≤时，F 、G 都在边BC 上,)FD x =-, )EG x =-()g x ∴=+22()2325x g x x x +<≤⎪⎪∴=<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩.（2）052x = ① 当532x ≤≤时，259(),()545x F x F x =∴≤≤② 当35x ≤≤时，()22'26533(),()40211211x x x x F x F x x x --+==>-- 518(),5,1045F x ⎡⎤⎡⎤∴⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的取值范围为例4. 如图，长方体物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为v （v ＞0），雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R ∈，E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，其值为12. 记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离100=d ，面积23=S S=32. （1）写出y 的表达式；（2）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.1.3 以二次函数为载体的函数应用题例 5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE （抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内），D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．（1）求助跑道所在的抛物线方程；（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为2000()f x a x b x c =++，依题意： 00000004,420,931,c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得，01a =，04b =-，04c =，∴助跑道所在的抛物线方程为2()44f x x x =-+．（2）设飞行轨迹所在抛物线为2()g x ax bx c =++（0a <），依题意：(3)(3),'(3)'(3),f g f g =⎧⎨=⎩得931,62,a b c a b ++=⎧⎨+=⎩解得26,95,b ac a =-⎧⎨=-⎩∴22311()(26)95()1a g x ax a x a a x a a-=+-+-=-+-，令()1g x =得，22311()a x a a--=，∵0a <，∴31123a x a a a -=-=-，当31a x a -=时，()g x 有最大值为11a -，则运动员的飞行距离2233d a a =--=-，飞行过程中距离平台最大高度1111h a a=--=-，依题意，246a ≤-≤，得123a ≤-≤，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．例6. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈*N )名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解】（1）由题意，得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，即2x －500x ≤0，又x ＞0，所以0＜x ≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭万元，则310500x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤110(1000)1500x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以ax －23500x ≤1000＋2x －x －21500x ，所以ax ≤22500x ＋1000＋x ，即a ≤2500x ＋1000x ＋1恒成立．因为2500x ＋1000x ≥210002500x x ⋅＝4，当且仅当2500x ＝1000x，即x ＝500时等号成立，所以a ≤5，又a ＞0，所以0＜a ≤5．所以a 的取值范围为(0，5]．类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O 的半径为r 2（r 为常数），小飞轮2O 的半径为r ，r O O 421=.在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足31π=∠A BO ，在小飞轮的边缘上有点C ．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线21O O 上．m ]（1）求点A 到达最高点时A ，C 间的距离；（2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值.AO O CB12 ．．．．． xy【解】（1）以1O 为坐标系的原点，12O O 所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3．此时A （0，2r ），C 9()2r ．∴AC r ．（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中[0,2π]θ∈．此时B （2r cos θ，2r sin θ），C （4r + r cos2θ，r sin 2θ）．记点,B C 高度差为d ，则|2sin sin 2|d r r θθ=-．即2|sin sin cos |d r θθθ=-．设()sin sin cos f θθθθ=-，[0,2π]θ∈，则()(1cos )(2cos 1)f θθθ'=-+．令()(1cos )(2cos 1)0f θθθ'=-+=，得1cos 2θ=-或1．则2π3θ=，4π3，0或2π．列表：答：点B ，C 在传动中高度差的最大值max d =．2.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题例8. 如图，摩天轮的半径为m 40，点O 距地面的高度为m 50，摩天轮做匀速转动，每min 3转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻(min)t 时点P 距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过m 70？（3）求证：不论t 为何值，)2()1()(++++t f t f t f 是定值.2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例9不含分式结构的解三角形问题；例10和例11含有分式结构的解三角形问题，方法略有不同）例9. 在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）. （1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．CBAD例10. 如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转α(0＜α＜π2)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE＝α；②对任意α(0＜α＜π2)，△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．（1）设A′E＝x，将x表示为α的函数；（2）试确定α，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．【解】（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝α，A′E＝x，所以EF＝xsinα，A′F＝xtanα．由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝x tanα，所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋xsinα＋xtanα＝3．所以x＝3sinα1＋sinα＋cosα，α∈(0，π2)（2）S△A′EF＝12•A′E•A′F＝12•x•xtanα＝x22tanα＝(3sinα1＋sinα＋cosα)2•cosα2sinα＝9sinαcosα2(1＋sinα＋cosα)2．令t＝sinα＋cosα，则sinαcosα＝t2－1 2．因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t＝2sin(α＋π4)∈(1，2]．S△A′EF＝9(t2－1)4(1＋t)2＝94(1－2t＋1)≤94(1－22＋1)．正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－22＋1)＝18(2－1)．当t＝2，即α＝π4时等号成立．例11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？【解】（1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则11tan cos cos y θθθ+==+（其中002πθθ<<<，0tan 7θ=），2sin sin cos y θθ'=当tan θ=34=BE 时，min 8y = （2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则()1cos sin y θθ=+++⎝⎭（其中00θθ<<，0tan 3θ==）………9分()()22cos sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθθ⎫-'=++++-⎪⎭⎝⎭令0y '=得sin cos θθ=，当π4θ=时，即36=BE时)min 2y =………12分例12. 海岸线MAN ，2,A θ∠=现用长为l 的拦网围成一养殖场，其中,B MA C NA ∈∈．（1）若BC l =, 求养殖场面积最大值；A ED CFAED CB F图1图2（2）若B 、C 为定点，BC l <，在折线MBCN 内选点D ，使BD DC l +=，求四边形养殖场DBAC 的最大面积；（3）若(2)中B 、C 可选择，求四边形养殖场ACDB 面积的最大值.【解】（1）设,,0,0.AB x AC y x y ==>>2222cos 222cos 2l x y xy xy xy θθ=+-≥-，22222cos 24sin l l xy θθ≤=-，22211cos sin 22sin cos 224sin 4sin l l S xy θθθθθθ=≤⋅⋅=，所以，△ABC 面积的最大值为2cos 4sin l θθ，当且仅当x y =时取到．（2）设,(AB m AC n m n ==，为定值)． 2BC c =(定值) ，由2DB DC l a +==，a =12l ，知点D在以B 、C 为焦点的椭圆上，1sin 22ABC S mn θ∆=为定值．只需DBC ∆面积最大,需此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点． 2222,4BCD l b a c c S ∆=-=-面积的最大值为221224l c b c c ⋅⋅=⋅-，因此,四边形ACDB 面积的最大值为221sin 224l m n c c θ⋅⋅+⋅-．（3）先确定点B 、C ，使BC l <. 由(2)知DBC ∆为等腰三角形时，四边形ACDB 面积最大.确定△BCD 的形状，使B 、C 分别在AM 、AN 上滑动，且BC 保持定值，由(1)知AB=AC 时四边形ACDB 面积最大. △ACD ≌△ABD ，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=2l .S=θsin 2122⋅⋅⋅⋅=∆AD AC S ACD .由(1)的同样方法知，AD=AC 时，三角形ACD 面积最大，最大值为2tan4221θll ⋅⋅.所以，四边形ACDB 面积最大值为2tan82θl .2.4 以立体几何为载体的三角应用题例13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半的建球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器造费用为y 千元．域；（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义（2）求该容器的建造费用最小时的r ．【解】（I ）设容器的容积为V ，由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又故322248044203()333V r l r r r r r ππ-==-=- 由于2l r ≥，因此0 2.r <≤所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c rππππ=⨯+=⨯-⨯+因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤（2）由（1）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以当3320200,.22r r c c -==--时令320,2m c =-则0m >，所以2228(2)'()().c y r m r rm m rπ-=-++ （1）当9022m c <<>即时，易得r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。

高中数学应用题专项练习

高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。

求直线的斜率k及方程的解析式。

2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。

已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。

请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。

已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。

每一年他的身高会增长5cm。

请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。

然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。

请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。

小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。

请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。

目前已经有10个人参与，已经过了7天。

请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。

已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。

请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。

顾客每次购买4个土豆。

请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。

请问第10项的值是多少？。

高考数学应用题及答案

高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。

如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。

答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。

利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。

总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。

由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。

然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。

因此，我们需要考虑实际的生产限制。

由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。

但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。

假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。

因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。

但是，实际中需要考虑生产能力的限制。

2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。

如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。

答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。

高考数学实际应用题集

高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。

答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。

答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。

答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。

答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。

答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。

答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。

答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。

答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。

答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。

高中生数学应用题练习题及讲解

高中生数学应用题练习题及讲解### 高中生数学应用题练习题及讲解#### 练习题1：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边AB的长度为3，斜边AC的长度为5，求另一直角边BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为x，则有：\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

#### 练习题2：函数应用题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。

如果生产x件产品，求总利润y与产品数量x之间的关系。

解答：每件产品的利润为售价减去成本，即20 - 10 = 10元。

总利润y等于每件产品的利润乘以产品数量x，即：\[ y = 10x \]所以，总利润y与产品数量x之间的关系是线性关系，且斜率为10。

#### 练习题3：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。

解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，用组合公式C(n, k)表示：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]然后计算没有抽到红球的情况，即抽到2个蓝球的组合数：\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]至少抽到1个红球的概率为1减去没有抽到红球的概率：\[ P(至少1红) = 1 - \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]#### 练习题4：线性规划问题题目：一个农民有10000平方米的土地，他想种植小麦和玉米。

每平方米小麦的利润是10元，每平方米玉米的利润是15元。

如果小麦的种植面积不超过玉米的种植面积的2倍，求最大利润。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学应用题汇总
1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数
有最小值
（注：该题可用基本不等式求最小值。

）
2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。

（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.
（1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10].
（2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k)
＝(x－11)[3x－(17＋2k)].
由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)
因为1≤k≤3，所以≤≤.
①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分)
②当7<≤，即2<k≤3时，[F(x)]max＝F()＝(8－k)3.(12分)
即当1≤k≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－k)万元.当2<k≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－k)3万元.(14分)
3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另
投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少
•解．（Ⅰ）
（Ⅱ）当
∴当
当时
∴当且仅当
综上所述，当最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大
4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：
①职工工资固定支出元；②原材料费每件40元；
③电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这种产品的总
件数.
（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；
（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额—总的成本）
•(Ⅰ) ，成本的最小值为元(Ⅱ) 当
时,
解析:
（1）……2分
由基本不等式得……4分
当且仅当，即时，等号成立…6分
∴，成本的最小值为元．………7分
（2）设总利润为元，则………9分
……12分
当时,………13分
答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元. (14)
5.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半
球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).
（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.
6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，
由,∴,∴……2分
而隔热层建造费用为……4分
最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为
……6分（2），令，则
所以，……8分
（当且仅当,即时，不等式等式成立）……10分
故是的取得最小值，对应的最小值为
……13分
答：当隔热层修建厚时，总费用达到最小值万
7.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB上，E在AC上.
（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里
（3）如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？
解：（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－
2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①
又S△ADE＝ S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°x·AE
＝2.②
②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝
（1≤x≤2）……4分.
（2）如果DE是水管y＝≥,
当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝……8分
（3）如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知
函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x） max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝.。