(完整版)高中数学应用题
函数、不等式型
1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中3 （Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品 所获得的利润最大． 解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以 1011, 2.2 a a +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量22 10(6),3 y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润 222 ()(3)[ 10(6)]210(3)(6),363 f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而， 2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--， 于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表： 由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x=4时，函数 ()f x 取得最大值，且最大值等于42. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ （2）年销售量关于x 的函数为)3 5 2(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利 润最大？最大利润为多少？ 解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =?+-?+??+ (30.9)5000(10.4)x x =-??+ 即：2 1800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得5 06 x << ……8分 （2）本年度的利润为 )55.48.49.0(3240)3 5 2(3240)9.03()(232++-?=++-??-=x x x x x x x f 则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2 '--=+-?=x x x x x f ……10分 由,39 5 ,0)('== =x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数. ∴当95=x 时，20000)9 5 ()(=f x f 取极大值万元， ……12分 因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分 所以当9 5 = x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比， 其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)． 甲 乙 （Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式； （Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元? 解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 2 1)(,)(== 由图知(1)f =41,故1k =41 又4 5 ,25)4(2=∴=k g 从而)0(45 )(),0(41)(≥=≥= x x x g x x x f . （Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元. )100(104 5 41)10()(≤≤-+= -+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665 )25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y . 当75.3,1665 ,25m ax === x y t 此时时. 答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为 16 65 万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中 31 tan =α，13 2cos = β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船， 并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜． ⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜． 【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分 设点()00,y x A ， 则a a a x 313 313sin 130=? ==β，a a a y 213 213cos 130=? ==β， 即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x m a a y --=32． 上面的方程与x y 3=联立得点)736,732( a m am a m am C -- ……………5分 )37 (733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=?=∴ ………………8分 ⑵328)3149492(314) 37(949)37()(2 22a a a a a a m a a m a m S = +≥?????? ??????+-+-= ……12分 当且仅当) 3 7(9493 7 2a m a a m -= -时，即a m 314 =时取等号， ……………14分 答：S 关于m 的函数关系式)3 7 (733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=?=∴ ⑵ 应征调a m 314 =处的船只，补给最适宜． ………………15分 5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(1 1 3≥++= x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数； (2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元. 所以)332(21x Q W -+==)311 332(21x x x -+++? =)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)1 3221( 50≤+++-x x （12分） 当 7,1 32 21=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分） 6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为2 60000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小. 解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000 b a ∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000 (20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a =++=++=+ + 3060600120006060072600≥?=+= 当且仅当40000 a a = ，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小. 7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中 释放的浓度y （毫克/升）满足2(04)4 (),()6(4)2x x y mf x f x x x ?+<≤??==??>?-? 其中，当药剂在水中 释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 （毫 克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。 （I ）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （II ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自 来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值。 解：（1）当m=4时，8(04)4()24(4)2 x x y f x x x +<≤?? ==?>?-? ------------2分 当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化 ∴当04x <≤时，84y x =+≥，得4x = 当4x >时，24 42 y x = ≥-，解得48x <≤ 故自来水达到有效净化一共可持续5天 -----------6分 （2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化 即前4天和后3天的自来水达到最佳净化 ∴当04x <≤时，4(2)104 x m ≤+≤在04x <≤恒成立，得 16 840 8 m x m x ?≥??+??≤?+?在 04x <≤恒成立，∴1023m ≤≤ -----------9分 当47x <≤时，64102 m x ≤ ≤-在47x <≤恒成立，同理得10 3m = 即投放的药剂质量m 的值为10 3 --------------13分 8、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 803 π 立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元． （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的r ． 解：（1）由题意可知2 3480()33r l r l r πππ+ =≥2，即2804 233 l r r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为22 28042346()433 y rl r c r r r c r ππππ=?+?=-+， 即2216084y r r c r π ππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分 （2）2160168y r rc r πππ'=- -+，令0y '=，得r = 令2,r = =即 4.5c =， （1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值； （2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>， 此时当r = y 有最小值. ……………16分 9、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座 位之间的钢管和其中一个座位的总费用为20)2100x k ?? +? ??? 元。假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。 （1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n = 即k n x =， 21082k k y k k k x x x ??=++=+ ? ???? ， 定义域0,2k k x x Z x ?? <≤ ∈???? ； ……………………6分 （2）当100k = 时，令100010020y x ?? =+ ??? 1000 ()f x x = + 21000()f x x '=-+3 2 2 10005120x x -+= =， ∴2 33 2 12512525646416x x ?? = ?== ??? ，（10分） 当25(0, )16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25 (0,)16x ∈上单调减， 当25(,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25 (,50)16 x ∈上单调增， min y 在2516 x =时取到，此时座位个数为100 642516 =个。……………………15分 三角型 10、如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等 的弓形．已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、P A 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H ．设弧AD 的长为l ， 3()44 APH θθππ ∠=∈，，． （1）求l 关于θ的函数关系式； （2）定义比值OP l 为招贴画的优美系数，当优 美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足： tan()4 θθπ=-时，招贴画最优美． 解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin a AP θ=；当π3π (,)24θ∈时，点P 在线 段GH 上，sin(π)sin a a AP θθ== -；当 π 2 θ=时，AP a =． A H D G P O B 综上所述，sin a AP θ= ，π3π (,)44 θ∈． …………2分 所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=?=，故所求函数关系式为2sin a l θθ =，π3π (,)44θ∈．…4分 （2）当ππ(,)42θ∈时，cos tan sin a a OP OG PG a a θθθ=-=-=- ；当π3π (,)24 θ∈时，cos tan(π)tan sin a a a OP OG GH a a a θθθθ=+=+=-=- -；当 π 2θ=时，OP a =． 所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π (,)44 θ∈． ……………6分 从而， sin cos 2OP l θθ θ-= ． ………………8分 记sin cos ()2f θθθθ-= ，π3π (,)44 θ∈． 则2 (cos sin )(sin cos ) ()2f θθθθθθθ +--'= ． 令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-． ……………10分 因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθ θθθ-=+． 显然π2 θ≠ ，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++．………………12分 记满足π tan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点． 设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π (,)44θ∈． 则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π (,)44 θ∈上恒成立， 从而()g θ在π3π (,)44θ∈上单调递减． ……………………………14分 所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π (,)4 θ上单调递增； 当03π(, )4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π (,)4 θ上单调递减． 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值． 所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OP l 取得最大值，此时招贴画最优 美． ………16分 11、如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ． （1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=o ，请据此算出养殖区的面积； （2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积． 【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-o ， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得 () 36 sin sin 60αα=-o ，……………………2分 解得 tan α，……………………………………………4分 所以，养殖区的面积 ()( )2 2 2 3 1sin 6091sin 60)sin tan S αα=?=+?=o o ； ……6分 （2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，() 120 180BAD θ∠=∈o o ，，则AB 与2l 所成夹角为 () 180 θα-+o ， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得 () 36 sin sin 180αθα=-+o ，……………………8分 1l 2l D A B C 1l 2l D A B C （图甲） （图乙） 解得 sin tan 2cos θ αθ= +，………………………10分 所以，养殖区的面积 ()2 3 sin sin S θα =?()2 191sin tan θα=+?()54cos 9sin θ θ+=，………………12分 由()() 2 54cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得 4cos 5θ=-， ………………14分 经检验得，当 4cos 5θ=-时，养殖区的面积2 min =27(m )S ． …………16分 答：（1 ）养殖区的面积为2 ；（2）养殖区的最小面积为227m ． 12、如图，现在要在一块半径为1m ．圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M ,N 在OB 上，设∠BOP ＝θ， 平行四边形MNPQ 的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值． 解：在△OPQ 中， OQ sin θ＝PQ sin(60o－θ)＝OP sin120o＝23，∴ OQ ＝ 23 sin θ，PQ ＝2 3 sin(60o－θ) ∴S MNPQ ＝2S △OPQ ＝OQ ·PQ ·sin120o＝23 sin θ·sin(60o－θ)＝ 3 3cos(2θ－60o)－3 6 ∵0＜θ＜60o∴－60o＜2θ－60o＜60o∴12＜cos(2θ－60o)≤1∴0＜S ≤3 6 ∴θ＝30o时，S 的最大值为3 6 13、如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地． （1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积． 变化着的几何背景，变元在哪儿？想明白了，怎样表述？ 【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， P A B O Q θT Q P N M S R M N P Q B C A 甲 乙 S △RST = RT SH ?2 1 ………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离； ………4分 RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2， 当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为S △RST =1 422??=4（km 2）． …6分 （2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有 () 11π 22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =????+???-=+<<四边形θθθθθθ …8分 令θθθcos sin sin +=y ，则 )sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． …… 11分 若0='y ，1πcos 23θθ==，， 又 () π 03θ∈，时，0>'y ， () ππ 32θ∈，时， 0<'y ， …………………14分 函数θθθcos sin sin +=y 在π3 θ=处取到极大值也是最大值， 故π3 θ=时，场地面积取得最大值为33km 2）． ……16分 13、如图，B A ,是海面上位于东西方向相距() 533海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与 B 点相距203 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援 船到达D 点需要多长时间？ 解：由题意知3)AB=5(3+海里， 906030,45,DBA DAB ∠=?-?=?∠=? 105ADB ∴∠=? 在DAB ?中，由正弦定理得 sin sin DB AB DAB ADB = ∠∠ sin 5(33)sin 455(33)sin 45sin AB DAB DB ADB ?∠+??+?? ∴= ==∠ 53(13) 103(13)2 =+， ……… 6分 又30(9060)60,203DBC DBA ABC BC ∠=∠+∠=?+?-?=?= 在DBC ?中，由余弦定理得 2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-??∠ = 1 300120021032039002+-?= CD ∴=30（海里），则需要的时间30 130 t ==（小时） 。 ………… 14分 答：救援船到达D 点需要1小时。 ……… 15分 数列型 14、某企业在第1年初购买价值为120万元是设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年起，每年初M 的价值是上年初价值的75﹪. （1）求第n 年初M 的价值a n 的表达式； （2）设12...n n a a a A n +++= ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对 M 更新，求须在第几年初对M 更新。 解：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． 12010(1)13010;n a n n =--=-当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为 3 4 为等比数列，又670a =，所以6370();4 n n a -=? 因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为6 12010(1)13010,6370(),74 n n n n n n a a n ---=-≤?? =?=?≥?? (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时， 66 6786 333 ()570704[1()]780210()444 3 780210()4.n n n n n n S S a a a A n ---=++++=+???-=-?-?=L 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又 8696 8933 780210()780210()4779448280,7680,864996 A A ---?-?==>==< 所以须在第9年初对M 更新． 15、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。 （1）若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y=f(x)的表达式； （总开发费用=总建筑费用+购地费用） （2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 400020008000000?=（元）800=（万元） ， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 1002000200000?=（元）20=（万元） ， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列2分 所以函数表达式为： 2*(1) ()800209000107909000()2 x x y f x x x x x -==+ ?+=++∈N ；…………6分 （2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为： 2()5(107909000) ()100002000f x x x g x x x ++=?= …………………………10分 90050795079)6950x x ?? =++?= ??? ≥（元）……………………12分 当且仅当900 x x = ，即30x =时等号成立． 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． …………14分 解析几何型 16、在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而 成,BC 边的长为2t 分米(3 12 t ≤≤)；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为9 8 ,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式； (2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种 曲线?此时,最大值是多少? 解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为 (,cos 1)t t -……2分 第16题 内陆海湾 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-, 则13 ()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤ ………………4分 对于曲线2C ,因为抛物线的方程为2 94x y =-,即249 y x =-,所以点D 的坐标为 24 (,)9 t t -………2分 所以点O 到AD 的距离为24 9 t ,而3AB DC t ==-,所以 2243 ()3(1)92 h t t t t =-+≤≤……………7分 (2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3 [1,]2 上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取 得最大值为3cos1-………………9分 又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为5 2 …11分 因为1cos1cos 32π>=,所以15 3cos1322 -<-=, 故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为5 2 分米………14分 17、某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上驶入内陆海湾进行了一次模拟试验．如图，内 陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区, 其中线段AA 1，B 1B ，CC 1，D 1D 关于坐标轴或原点对称，线段B 1B 的方程为y =x ，x ∈[a,b]，过O 有一条航道． 有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点M(-5 2 a ,0)处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N(5 2a ,0)处晚1 s （设海面上声速 为a m/s ）.若该船沿着当前的航线航行．（不考虑船的体积） (Ⅰ)问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么? (Ⅱ)这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由． 概率统计型 18、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率； （2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠? 解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，………………2分 所以 43 ()1 105 P A=-=．………………4分 答：略．……………………5分 （2）由数据，求得12,27 x y ==．………………7分 由公式，求得 5 2 b=，3 a y bx =-=-．……………9分 所以y关于x的线性回归方程为 5 ?3 2 y x =-．………………10分 （3）当x=10时， 5 ?10322 2 y=?-=，|22－23|＜2；……………12分 同样，当x=8时， 5 ?8317 2 y=?-=，|17－16|＜2．……………14分 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………15分 19、某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球 队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求： （1）该队员只属于一支球队的概率； （2）该队员最多属于两支球队的概率． 5 羽毛球 篮球 2 1 2 3 4 3 高中数学:应用题练习 1.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l . (1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值. 解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB ＝α? ? ???0＜α＜π2,DH ＝h ,设AD ＝x . 则DC ＝ h sin α ,CH ＝ h tan α ,BC ＝x ＋ 2h tan α . 因为S ＝12? ? ???x ＋x ＋ 2h tan α·h , 则x ＝S h －h tan α, 则l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h ＋h ? ????2 sin α－1tan α? ????0＜α＜π2. (2)f ′(α)＝h ·? ????－2cos αsin 2 α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α, 令f ′(α)＝h · 1－2cos αsin 2α＝0,得α＝π3 . 当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表: α ? ? ???0，π3 π 3 ? ????π3 ，π2 f ′(α) － 0 ＋ f (α) ↘ 极小值 ↗ 所以l min ＝f ? ???? π3＝3h ＋S h . 答 当α＝ π3时,l 取最小值3h ＋S h (m). 2.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1 m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. (1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14 m 2 (木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围； (2)若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值. 解 (1)设一根木条长为x m, 则正方形的边长为2 1－? ?? ?? x 22＝4－x 2 m. 因为S 四边形ABCD ＞14,所以4－x 2＞14,即x ＜15 2. 又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x ＞2, 所以42＜4x ＜215. 答 四根木条总长的取值范围为(42,215). (2)方法一 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2),3－a ∈(0,2),所以a ∈(1,2). 窗口ABCD 的面积S ＝41－a 2 4 · 1－(3－a )24 4－a 2·4－(3－a )2 a 4－6a 3＋a 2＋24a －20, 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20, 高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。） 2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2 函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 高中数学应用题解题思路 一、高中数学应用题教学的方法 高中数学应用题的教学方法有很多种，在实际应用中，教师要根据学生的接受能力以及数学课程的内容进行优化选择。 1.导学案教学方法。导学案是教师为了在课堂当中能够指导学生实现自主学习而设计的一套材料体系，通常都包括“学习目标、预习导学、自主探究、自学检验、小结与反思、当堂反馈、拓展延伸、总结反思”等不同的部分。导学案教学方法在高中数学应用题教学中的广泛应用，能够帮助教师更好地发挥自身的指导作用，教师指导学生自主完成学案中的不同环节，学生在这一合作探究的过程中就能够实现对知识的“来龙去脉”的清晰掌握。应用题中所涉及到的知识点通常比较多，通过导学案教学可以让学生思路清晰地去解决探究中遇到的每一个问题，同时还能够起到复习旧知识点的作用。 2.生活化教学方法。生活化教学方法就是指教师在课堂教学中要积极引导学生的思路走向实际生活，强化所学到的知识与实际生活的联系。在高中数学应用题教学中，生活化的教学方式是最有利于提高学生应用能力的方法。教师在讲授应用题的解决方法中，常常会列举很多生活中常见的数学问题，让学生用根据自己的生活经验以及知识基础，通过合作探究，去解决这些问题。 3.自主学习教学方法。自主学习教学方法旨在培养学生的自主学习能力，自主学习是要以学生的主动学习、独立学习为主要特征的。在高中数学课堂中自主学习的实现在于教师教学情境的创设，如果教学情境创设得当，能够调动学生学习的兴趣，那么就能够充分发挥自主学习教学方法的优势。自主学习教学方法可以分为几个阶段进行，第一个阶段，就是创设一个新颖且结合当堂数学知识的情境。第二个阶段，在情境中分层设置探索的问题，让学生在问题的解决中获得成就感，从而自主探究问题。第三阶段，总结学生在探究过程中遇到的问题，给予指导，让学生根据老师的指导进行探究活动反思。 二、高中数学应用题教学中解题思路培养的几点建议 根据新课程标准的要求，教师在课堂教学中，不但要教授学生掌握知识，还要重视学生能力的培养，这无疑给教师的课堂教学带来了难题，针对高中数学应用题教学中学生解题思路的培养，提出了几点建议。1.给学生更多动手操作的机会。在新课标中，对学生实践能力的培养也是教师教学中的一个任务。为了培养学生数学应用题的解题思路，教师在实际教学中要给学生创造更多动手操作的机会。 2.培养学生发散性思维。学生发散思维的培养可以从多个方面进行，首先，改编多解题。教师可以通过改编习题的方式来训练学生的发散思维，让学生养成一种多元思维的习惯。教师通过一题多解多变的方式对学生进行反复训练，可以克服学生思维中固有的狭隘性。其次，创设教学情境，调动学生思考的积极性。学生思维的惰性是影响学生发散思维形成的原因之一，所以，要通过调动学生思维的积极性来克服惰性，在高中数学教学中，教师要调动学生对知识的渴望，让学生情绪饱满地进行探究思考。再次，联想思维的培养。联想思维是一种富有想象力的思考方式，是发散思维的一种标志。在应用题的教学中可以引导学生转化思考问题的思路，比如，有些应用题的叙述并不是工程类的问题，但是特点与其相似，教师就可以引导学生用工程类问题的解题思路去思考这一问题，这种转化的方式能够有效地锻炼学生思维的发散性。 3.激发学生创新力。创新能力源于创新意识，而创新意识又是一种发现问题并积极探索的心理取向，教师要想培养学生的创新能力，首先要创设一个轻松愉快的学习环境，这种学习环境要以师生关系的平等为前提条件。学生只有在轻松的心理氛围之内，才能够对数学知识产生求知欲，进而才能谈到创新。其次，鼓励学生提出问题。创新就是新问题的提出和解决的过程，教师要接纳学生所有的观点，正确的观点鼓励他们发扬，错误的观点引导他们继续探究，同时要引导学生发现问题、提出问题。除此之外，创新能力的激发还可以通过学生观察力、想象力等的培养来实现。 高中数学应用题解法技巧总结 数学应用题是指将所学数学知识应用到实际生活实践的题目。其综合度较高，信息量丰富，是综合锻炼我们思维能力与解题技巧的一类题型。是高中数学学科中非常重要的一部分，努力提高应用题解题能力对于学好数学学科有着举足轻重的作用。所以，要把数学应用题学好，提升数学学科的水平，学习的方法技巧很重要。 一、提取信息源助力解题 数学应用题一般情况下给出的题设很详细，在解答时要仔细分析这些内容，从中提取核心信息，以帮助解决问题，提高效率。 如图例：通过分析，得出了这道题的C点应该是BC在圆O上的切点，这个就是解这道应用题的关键，只要把这一要素提出来，这个问题就变得非常直观了，然后利用相关的概念定义、公式和定律等很容易就答出AB的长度。由此可以看出，提取应用题中的信息源非常重要，只要抓住核心信息，其他问题就会迎刃而解。 二、联想法助力解题 对于一些比较抽象的问题，理解起来难度很大，怎么办？遇到这样的问题要学会转化，把比较抽象的知识转化成比较形象的内容，采取“情景再现”法效果很好。把抽象的知识点利用具体的情境来呈现出相应的知识点，这样，很难的问题立马变得形象直观了，这样，对于理解题意就容易很多，解答起来也轻松愉快了。 例：在学习等比例求和公式时，为了帮助理解记忆，可以设置这样一个例子：一棵月季花第一次开了一朵，第二次开了两朵，那么第三次、第四次、第五次……开多少朵，运用等比例求和公式来推算，就很容易了。 所以，将一些实际问题用联想法进入情境，使情景再现，对于解决相关的应用题帮助非常大，可以使思维过程找到依托，能够更轻松地分析问题、解决问题，从而加快解题速度。 三、图形法助力解题 在学习体积问题、设计问题、追击问题等相关应用题时，尝试使用图形，将文字叙述转变成图形，使题目形象直观，应用题中的相关变量可以由抽象到“直视”，很容易“入脑”，解起题来信手拈来。 江苏高考数学应用题 题型归纳 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 应用题题型归纳 在备考中，需要重点关注以下几方面问题： 1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数 、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视； 2.加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强； 3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视； 4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题 5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答. 一、利润问题 1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行 全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入21(600)6 x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15 x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收．．入．与总投入．．． 之和？并求出此时商品的每件定价． 2某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为a 件，现经销商计划在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3元/件。 （1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。 （2）设2k a =，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？ 数学应用问题读题能力的培养数学组：陈勇 摘要：在近几年的中考题中，大批贴近社会实际、贴近学生生活、体现时代要求的新型应用题如雨后春笋般涌现出来，而学 生在解决实际应用题方面存在一定的不足。学生如何才能 有效地解实际应用题呢？笔者认为，加强读题能力的培养 是解题的关键，并在教学实践中摸索出了一些行之有效的 方法。 数学是一门源于生活，又高于生活，但最终服务于生活的学科。它以高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术及实际生产、生活的各个领域。而把数学知识用来解决现实生活中的问题则是学习数学的最高境界，于是中考中出现大量的应用问题便是理所当然的事情。但学生在解决应用问题时仍然存在一定的困难：有的学生上课听得懂,可课外自己动手解决问题时却不知如何下手；有的学生遇到不会做的实际应用问题时，只要教师对题目稍作分析,学生便茅塞顿开……由此可知许多学生并不是存在数学知识的缺陷，而在于不懂得如何分析题目，更不懂得如何才能把数学知识与实际问题有机地结合在一起，以致于无从下手。我认为解应用题困难的一部分原因在于不懂得审题，在学生中存在“数学阅读能力的缺陷”。 因此，要提高解决数学应用问题的水平，就应注重学生数学阅读能力的培养。与纯数学问题相比，数学应用题的文字叙述更加个 性化，更贴近生活，但其中的实际情景设置、语言表达形式、信息存储方式、数量关系都不同于常规训练中的例题。这对习惯于解常规题的学生而言无疑是一种挑战。面对一大堆“非数学”形式的语言描述，学生反而会感觉手足无措，头脑中一片茫然，从而放弃。如何把这些令学生头痛的应用题变成学生喜闻乐见的形式呢？我认为读题时分可按以下几个步骤进行： 第一步：分清主次，去粗存精。 一道紧扣时代脉搏的应用题所包含的情景、数量关系等就像一篇内容丰富的短文，文字多是实际应用问题的一大特点，而很多学生一看到大量的文字叙述时，心中便望而却步，退避三舍，其实应用题的很多文字是介绍背景的，与解题没有多大关系，因此，要想解这类实际应用题，首先要克服心理障碍，然后进行粗略地阅读，使自己对题目有一个初步的认识与评价，了解题目的情节梗概，并有目的地对题目做出分析、理清框架，分清主次。具体而言，当学生面对数学应用题时，应积极思考以下几方面的问题： ⑴题目所涉及的情景是什么？ ⑵已知条件有哪些？实际问题是什么？ ⑶题目情景中哪些是次要信息？哪些是重要信息？ ⑷阅读的同时养成“圈点勾画”和“作批注”的习惯。学生自 己选用特定的符号删减掉那些次要条件，保留并突出重要条 件，如在句子下用“”标出重点句，用“…”标出关键 词，用“？”标明不明白处或异议处……“圈点勾画”能提 【关键字】情况、条件、增长、计划、系统、平衡、保持、发展、建立、思想、环境、资源、需求、反映、速度、关系、检验、培育、保护、满足、鼓励、维护、加快 第一章综合练习 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A．3 B．6 C．7 D．8 解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个． 答案：C 2．下列五个写法，其中错误 ．．写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝? A．1 B．2 C．3 D．4 解析：②③正确． 答案：C 3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为() A．M∪F B．M∩F C．?M F D．?F M 解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可． 答案：B 4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于() A．N B．M C．R D．? 解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N. 答案：A 5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为() A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3. 答案：D 6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于() A．20－2x(0 高中数学应用题解题教学策略 【内容摘要】在我国的数学教育体系当中，只有应用题这一题型贯穿中小学始终且没有发生质的变化。但随着数学教育阶段的不断深入与变化，数学应用题也逐渐变得“晦涩”，这极不利于学生的学习，而这一特点在高中数学教学中尤为明显。对于高中阶段的学生而言，其在学习数学的过程中要将大量的精力集中在“规律”的掌握与了解之上，这就使得其在实践运用上有所缺憾，而数学的实践运用也并非“单一化”的，因此高中数学教师必须在教学过程中建立行之有效的应用题解题教学策略，以提高学生解题效率。 【关键词】高中数学应用题解题策略 对于高中数学教师而言，在教学过程中注重培养学生应用题解题能力不仅可以在一定程度上提高学生对数学知识的综合运用即实践能力，更符合了我国现有的“新课标”教学改革要求。但在实际教学过程中，由于“高考”考点繁多，变化多端，教师在教学过程中只能多注重数学知识点的教育教学，并辅以“题海战术”以求学生整体解题能力的均衡发展。这种教学策略确实在“应试化”考核中有着显著的作用，但随 着教学改革的逐步深入，这种应试教育已不合时宜，因此高中数学教师不得不重新审视应用题对学生的教学引导作用，并依托此来提高学生的数学学习有效性。 一、创设合理教学情景，以提高学生应用题解析能力 在以往的高中数学应用题教学中，绝大多数学生对应用题的学习认知都处在较低的水平，使用推导法进行应用题的解题，即：通过阅读题干以分析所涉及的知识内容，以此作为检索基础，将相关的知识内容一一对应尝试，以求得最终解。这种应用题的解题方式优势在于上手难度低，所有学生都能够依靠这种解题方式进行应用题的解答，而劣势也极为明显，当学生遇见题目较为复杂的应用题时，学生需要通过大量的思考才能分析出所涉及的知识内容，这是极为浪费时间的。在更极端的情况下，部分学生甚至不能够分析出题目内容，这就使学生无法进行解题。同时，这也意味著推导法作为一种数学应用题解法，虽然上手难度低，但其上限也极为明显，不适用于高考这种复合型应用题为主的大型考试，因此教师必须在教学过程中创设合理教学情景，以提高学生的应用题解析能力。 例如：在教学“等比数列求和公式”这一知识点 江苏新高考 “在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年来的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键. 应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2013年应用考题是解不等式模型，2014年应用考题可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，2015、2016年应用考题都先构造函数，再利用导数求解.2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解. [常考题型突破] 函数模型的构建及求解 [例1](2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？ [方法归纳] 解函数应用题的四步骤 [变式训练] 1．(2017·苏锡常镇二模)某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他 成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)． (1)求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域； (2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．(2017·南通三模)如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C －D －E －F ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用 1. 生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数， 现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c(x)＝20＋2x ＋12 x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为________件． 解析：y ＝20x －c(x)＝20x －20－2x －12 x2 ＝－12 x2＋18x －20.故当x ＝18时，y 有最大值． 2.某批发公司批发某商品，每件商品进价80元，批发价120元，该批发商为鼓励经销商批发，决定当一次批发量超过100个时，每多批发一个，批发的全部商品的单价就降低0.04元，但最低批发价不能低于102元． (1) 当一次订购量为多少个时，每件商品的实际批发价恰降为102元？ (2) 当一次订购量为x 个，每件商品的实际批发价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式； (3) 根据市场调查发现，经销商一次最大定购量为500个，则当经销商一次批发多少个零件时，该批发公司可获得最大利润？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本) 解：设一次订购量为100＋x(x ∈N)， 则批发价为120－0.04x(0≤x ≤450)． (1) 令120－0.04x ＝102，x ＝450，故当一次订购量为550个时，每件商品的实际批发价恰降为102元． (2) P ＝f(x)＝???120，0≤x ≤100，x ∈N ， 124－0.04x ，100＜x≤550，x ∈N ，102，x>550，x ∈N. (3) 设该批发公司可获得的利润为y ， 则y ＝f(x)＝???40x ，0≤x ≤100，x ∈N ，（44－0.04x ）x ，100＜x≤500，x ∈N. 设f1(x)＝40x ，则在x ＝100时取最大值，f1(x)max ＝4 000， f2(x)＝－0.04x2＋44x ＝－0.04(x －550)2＋12 100， 当x ＝500时，f2(x)max ＝12 000. 综上所述，当经销商一次批发500个零件时，该批发公司可获得最大利润． 3. 如图，扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，PQRS 是扇形的内接矩形．问：P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值． 已知,a b 均為單位向量，它們の夾角為60，那麼3a b +＝_____ 如圖,在平行四邊形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足為P, 3AP AP =，则 已知OP =)1,2(，OA =)7,1( ，OB =)1,5(，設M 是直線OP 上一點，O 是座標原點 ⑴求使 取最小值時の； ⑵對（1）中の點M ，求AMB Dの余弦值。 已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那麼角A 等於多少？ 在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，則△ABC の面積是多少？ 在△ABC 中，已知1 4,cos 3 a b C +== ，求中線CD の最小值 已知：sinC ＝2sin(B ＋C)cosB ，試判斷三角形の形狀。 某興趣小組測量電視塔AE の高度H （單位：m ），如示意圖，垂直放置の標杆BC の高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β． （1）該小組已經測得一組α、βの值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H の值； （2）該小組分析若干測得の數據後，認為適當調整標杆到電視塔の距離d （單位：m ），使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔の實際高度為125m ，試問d 為多少時，α-β最大？ 例9. 在路邊安裝路燈，燈柱AB 與地面垂直，燈杆BC 與燈柱AB 所在平面與道路垂直，且 120ABC ?，路燈C 採用錐形燈罩，射出の光線如圖中陰影部分所示，已知60ACD ?，路寬24 AD =米，設燈柱高AB h =（米），ACB q ?（3045q ＃） （1）求燈柱の高h （用θ表示）； （2）若燈杆BC 與燈柱AB 所用材料相同，記此用料長度和為S ，求S 關於θの函數運算式，並求出S の最小值． 小学数学典型应用题归纳汇总30种题型 1 归一问题 【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元） （2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要1.92元。 2 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原 来做791套衣服的布，现在可以做多少套？ 解（1）这批布总共有多少米？ 3.2×791＝2531.2（米） （2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套） 列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套） 答：现在可以做904套。。 3 和差问题 【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。 4 和倍问题 【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数 【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：学生：时间: 年月日段一、授课目的与考点分析： 高中应用题专题复习数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题 型。解答这类问题的要害是深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，这就需要建立恰当的数学模型，这当中，函数，数列，不等式，排列组合是较为常见的模型，而三角，立几，解几等模型也应在复习时引起重视。 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型，另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。 二、授课内容： 一、求解应用题的一般步骤： 1、审清题意： 认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系) 2、建立文字数量关系式： 把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。 3、转化为数学模型： 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。 4、解决数学问题： 利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。 5、返本还原： 把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。 二、应用题的常见题型及对策 1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。 解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值、均值定理用得较多。 2、与数列有关的问题 常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。 解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列)，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。 3、与空间图形有关的问题 常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。 解决此类问题常利用立体几何、三角方面的有关知识。 4、与直线、圆锥曲线有关的题型 常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实际问题。 常通过建立直角坐标系，运用解析几何知识来解决。 5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型 常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 期中考复习 第一章集合与函数概念（10，11班） 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1) (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题 时，最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、 8; (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 2，集合的表示法（研究P2，8；） 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法： M={y|y=x2-2x+1,x∈ R} M={x|y=x2-2x+1,x∈ R}(注意代表 元素！)(P5,2) 3）Venn图:（研究P5，4/7/9） 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（研究P3， 2） 二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10) 1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系） 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A A ②真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 高二数学期末复习专题---应用题答案 1．（2017?湘西州模拟）如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ． （1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来； （2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？ 【分析】（1）根据正弦定理，即可θ表示出AN，AM； （2）设AP2=f（θ），根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简f（θ）；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值． 【解答】解：：（1）∠AMN=θ，在△AMN中，由正弦定理得： == 所以AN=，AM= （2）AP2=AM2+MP2﹣2AM?MP?cos∠AMP =sin2（θ+60°）+4﹣sin（θ+60°）cos（θ+60°） =[1﹣cos（2θ+120°）]﹣sin（2θ+120°）+4 =[sin（2θ+120°）+cos（2θ+120°）]+ =﹣sin（2θ+150°），θ∈（0°，120°）（其中利用诱导公式可知sin（120°﹣θ）=sin（θ+60°）） 当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2． 故答案为：（1）AN=，AM= （2）AN=AM=2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键． 2．（2017?江苏模拟）如图，直线l 是湖岸线，O 是l 上一点，弧 是以O 为圆 心的半圆形栈桥，C 为湖岸线l 上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D ，同时沿线段CD 和DP （点P 在半圆形栈桥上且不与点A ，B 重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC ，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP 在∠CDP 的内部，已知BC=2OB=2（km ），设湖岸BC 与直线栈桥CD ，DP 是圆弧栈桥BP 围成的区域（图中阴影部分）的面积为S （km 2），∠BOP=θ （1）求S 关于θ的函数关系式； （2）试判断S 是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式， （2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求 出． 【解答】解：（1）在△COP 中， CP 2=CO 2+OP 2﹣2OC?OPcosθ=10﹣6cosθ， 从而△CDP 得面积S △CDP = CP 2= （5﹣3cosθ）， 又因为△COP 得面积S △COP =OC?OP=sinθ， 所以S=S △CDP +S △COP ﹣S 扇形 OBP =（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π， cosθ0= ， 当DP 所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP 中，OP=1，高中数学：应用题练习
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