(完整版)高中数学应用题
高中数学：应用题练习
高中数学:应用题练习1.某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位:m 2),高为h (单位:m)(S ,h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架组成,设腰和下底的夹底为α,不锈钢支架的长度之和记为l . (1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问:当α为何值时l 最小,并求最小值.解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ,则∠DCB ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2,DH ＝h ,设AD ＝x .则DC ＝h sin α,CH ＝h tan α,BC ＝x ＋2htan α. 因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h , 则x ＝S h －htan α,则l ＝f (α)＝2DC ＋AD＝S h ＋h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2. (2)f ′(α)＝h ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α, 令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0,得α＝π3.当α变化时,f ′(α),f (α)的变化情况如下表:α⎝⎛⎭⎪⎫0，π3π3⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2f ′(α) － 0 ＋ f (α)↘极小值↗所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3h ＋S h .答 当α＝π3时,l 取最小值3h ＋Sh(m). 2.某宾馆在装修时,为了美观,欲将客户的窗户设计成半径为1 m 的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD 为正方形,且面积大于14 m 2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6 m,求窗口ABCD 面积的最大值.解 (1)设一根木条长为x m, 则正方形的边长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝4－x 2 m.因为S 四边形ABCD ＞14,所以4－x 2＞14,即x ＜152.又因为四根木条将圆分成9个区域,所以x ＞2, 所以42＜4x ＜215.答 四根木条总长的取值范围为(42,215).(2)方法一 设AB 所在的木条长为a m,则BC 所在的木条长为(3－a )m. 因为a ∈(0,2),3－a ∈(0,2),所以a ∈(1,2). 窗口ABCD 的面积S ＝41－a 24·1－(3－a )244－a 2·4－(3－a )2 a 4－6a 3＋a 2＋24a －20, 设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20,则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4), 令f ′(a )＝0,得a ＝32或a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去).当a 变化时,f ′(a ),f (a )的变化情况如下表:↗↘所以当a ＝32时,f (a )max ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝4916,即S max ＝74.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二 设AB 所在的木条长为a m,BC 所在的木条长为b m.由条件知,2a ＋2b ＝6, 即a ＋b ＝3. 因为a ,b ∈(0,2), 所以b ＝3－a ∈(0,2), 从而a ,b ∈(1,2). 由于AB ＝21－b 24,BC ＝21－a 24,S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b 24－a 2,4－b 24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74,当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时,S 矩形ABCD ＝74为最大值.答 窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.3.(2018·江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆,展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半径为2百米,圆心角为π3的扇形展示区的平面示意图.点C是半径OB上一点(异于O,B两点),点D是圆弧AB上一点,且CD∥OA.为了实现“以展养展”,现在决定:在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线段OC处每百米为2a元,线段CD 及圆弧DB处每百米均为a元.设∠AOD＝x弧度,广告位出租的总收入为y元.(1)求y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2)试问x为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值.解(1)因为CD∥OA,所以∠ODC＝∠AOD＝x弧度,在△OCD中,∠OCD＝2π3,∠COD＝π3－x,OD＝2百米,由正弦定理得OCsin x＝CDsin⎝⎛⎭⎪⎫π3－x＝2sin2π3＝433,得OC＝433sin x百米,CD＝433sin⎝⎛⎭⎪⎫π3－x百米.又圆弧DB长为2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x百米.所以y＝2a×433sin x＋a×⎣⎢⎡⎦⎥⎤433sin⎝⎛⎭⎪⎫π3－x＋2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x＝2a×⎝⎛⎭⎪⎫3sin x＋cos x－x＋π3,x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)记f(x)＝2a×⎝⎛⎭⎪⎫3sin x＋cos x－x＋π3,则f′(x)＝2a×(3cos x－sin x－1)＝2a×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6－1,x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3.令f′(x)＝0,得x＝π6.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化如下表:x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘所以f (x )在x ＝π6处取得极大值,这个极大值就是最大值,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2⎝⎛⎭⎪⎫3＋π6a .所以当x ＝π6时广告位出租的总收入最大,最大值为2⎝⎛⎭⎪⎫3＋π6a 元.4.(2018·连云港质检)如图(1)是一直角墙角,∠AOB ＝90°,墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.ABCD 是一块长AB 为6米,宽BC 为2米的板材,现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物.(1)若按如图(1)放置,如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限,OA 面只能使用2米,OB 面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间,如图(2),如何折叠板材才能使这个空间最大？ 解 (1)设OA ＝x ,OB ＝y ,x ,y ∈(0,6),且x 2＋y 2＝36, 因为直三棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大. ∵∠AOB ＝90°, ∴S △AOB ＝12xy ≤x 2＋y 24＝9,当且仅当x ＝y ＝32时取到等号.即板材放置时,使得板材与墙面OA 成45°角.(2)因为直四棱柱的高为定值,故底面面积最大时体积最大,又S △AOB 为定值,只需寻找S △APB 的最大值.又在△APB 中,AB ＝25,只需寻找AB 边上高的最大值即可. 如图,作PH ⊥AB 于点H ,设PA＝x,x∈(0,6),AH＝y,y∈(0,25),则PB＝6－x,HB＝25－y,PH2＝x2－y2＝(6－x)2－(25－y)2,∴3x－5y＝4,PH＝x2－y2＝－4y2＋85y＋169,当y＝5时,PH最大,此时x＝3,即板材放置时,沿中间折叠,使得PA＝PB.5.在我国某海域O处有一海警执法舰发现位于北偏西60°的A处有一艘走私船,并测得O,A两点相距12海里,且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半.现以点O为坐标原点,东西方向为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若两者均沿直线匀速行驶,求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；(2)若满足3x－y＋40<0的点(x,y)组成的区域是公海,试问海警执法舰是否一定能在我国领海内截获走私船？若能,请说明理由；若不能,则需要使用巡逻艇进行快速追击,请问巡逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船？解(1)由条件可得,点A的坐标为(－63,6),设走私船在点P(x,y)处被海警执法舰截获,则PO＝2PA,x2＋y2＝2(x＋63)2＋(y－6)2,化简整理得(x＋83)2＋(y－8)2＝64,所以所求路径是以点(－83,8)为圆心,8为半径的圆,其方程为(x＋83)2＋(y－8)2＝64.(2)由(1)得,点(－83,8)到直线3x－y＋40＝0的距离为|－83×3－8＋40|2＝4<8,故直线与圆相交,说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船. 设巡逻艇的速率为走私船速度的t (t >2)倍, 此时有x 2＋y 2＝t (x ＋63)2＋(y －6)2,化简得(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＋123t 2x －12t 2y ＋144t 2＝0, 其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－63t 2t 2－1，6t 2t 2－1,半径为12t t 2－1. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪－63t 2t 2－1×3－6t 2t 2－1＋402≥12t t 2－1和t >2,得2t 2－3t －5≥0,所以t ≥52,故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的2.5倍才能在我国领海内截获走私船.6.(2018·常熟调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形,其中AB 为2米,梯形的高为1米,CD 为3米,上部CmD 是个半圆,固定点E 为CD 的中点. MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风).(1)设MN 与AB 之间的距离为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <52且x ≠1米,试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数y ＝S (x )；(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S 取得最大值？解 (1)当0≤x <1时,过A 作AK ⊥CD 于K (如图),则AK ＝1, DK ＝CD －AB 2＝12,HM ＝1－x , 由AK DK ＝MHDH＝2, 得DH ＝HM 2＝1－x2,∴HG ＝3－2DH ＝2＋x ,∴S (x )＝HM ·HG ＝(1－x )(2＋x )＝－x 2－x ＋2. 当1<x <52时,过E 作ET ⊥MN 于T ,连结EN (如图),则ET ＝x －1, TN ＝MN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－()x －12＝94－()x －12, ∴MN ＝294－()x －12, ∴S (x )＝MN ·ET ＝294－()x －12·()x －1, 综上,S ()x ＝⎩⎨⎧－x 2－x ＋2，0≤x <1，2()x －194－()x －12，1<x <52.(2)①当0≤x <1时,S ()x ＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋94在[)0，1上单调递减,∴S (x )max ＝S ()0＝2. ②当1<x <52时,S ()x ＝2()x －194－()x －12≤ 2·()x －12＋94－()x －122＝94,当且仅当()x －1＝94－()x －12,即x ＝324＋1∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52时取“＝”,∴S (x )max ＝94,此时S (x )max ＝94>2,∴S (x )的最大值为94.答 当MN 与AB 之间的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＋1米时,通风窗的通风面积S 取得最大值.。
高一数学应用题(不等式的应用题和函数的应用题)
高一上学期期中复习应用题一．不等式的应用题1．（本题满分 4+4+4 分） 如图，长方形 ABCD 表示一张6 12 （单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部 分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框 AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现 欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在 AB ，AD 上．设 AM ， AN 的长 分别为m 分米，n 分米．（1）求证：（2）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值； （3）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和）的最大值及取 得最大值时m ，n 的值．2.如皋中学为创建高品质高中，计划在校园内建造一个长方形文化展览区ABCD ，展览区由长方形1111D C B A 的展览馆和环展览馆人行道(阴影部分)组成．已知展览馆A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设展览馆的长和宽的比)1(1111>=x x C B B A ，写出文化展览区ABCD 所占 面积s 与x 的关系式；(2)要使文化展览区所占面积最小，则展览馆1111D C B A 的长和宽该如何设计？3、如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．4. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
高中数学应用题专项练习
高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。
求直线的斜率k及方程的解析式。
2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。
已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。
请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。
已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。
每一年他的身高会增长5cm。
请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。
然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。
请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。
小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。
请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。
目前已经有10个人参与，已经过了7天。
请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。
已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。
请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。
顾客每次购买4个土豆。
请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。
请问第10项的值是多少？。
高中数学基本不等式应用题
•
米，每两辆汽车的间距不得小于( v )2千米，那么这批 20
• 物资全部运到灾区，最少需要多少小时？（车身长
度忽略不计）
• 2、火车运行一小时的成本由两部分构成：固定部分 m元，变动部分与运行速度v（千米/小时）的平方成 正比，比例系数为k（k>0），如果火车匀速从甲站 开往乙站，为使成本最省，求运行速度？（甲乙相 距s千米）
• 3、一批赈灾物资共装26辆汽车，从某市以v千米/小
时的速度匀速直达灾区，如果两地公路线长400千
基本不等式应用题
• 例1、某新建居民小区欲建面积为700平方米 的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道。设计 要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行 道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使 人行道的占地面积最小？（精确到0.1米）
ห้องสมุดไป่ตู้绿地
• 例二、某村计划建造一个室内面积为800平 方米的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两 侧与后侧内墙各保留1米宽的通道，沿前侧 内墙保留3米宽的通道，当矩形温室的边长 各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种 植面积是多少？
• 例3、某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为x，y（单位：米） 的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架 围成的总面积为8平方米，问x，y分别为多 少（精确到0.001米）时用料最省？
y
x
• 练习： • 1、建造一个容积为8立方米，深为2米的长方形无盖
水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元 和80元，求此水池的最低造价为多少元？
高中数学应用题
高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3，深为3米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a 元，池底每平方米的造价为2a 元。
把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数，并指出函数的定义域。
解：容积=底面积×高= 48 ⇒ 底面积×3 = 48 ⇒ 底面另一边长：m =x 16 池壁造价=池壁面积×a = 2(3x + 3m )×a = 6( x +x 16)a = 6(x +x 16)a 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a∴ y = 6(x +x16)a + 32a ( x > 0 ) 例2. 有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴ 窗框的高为3x ，宽为376x - 即窗框的面积 y = 3x ·376x -= -7x 2 + 6x ( 0 < x <76) 配方：y =79)73(72+--x ( 0 < x < 2 ) ∴ 当x =73米时，即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. 3．利润问题：（1）利润=收入-成本 （2）利润=单位利润×销售量例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售，每天可卖出100个。
若该商品的单价每涨1元，则每天销售量就减少10个。
如何确定该商品的销售单价，使利润最大？分析：（1）每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2（2）以单价10元为基础：单价每次涨1元，当涨了x 元（即可看成涨了x 次）时，则每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为100 -10x 个∴ 每个商品的利润y = (2 + x )( 100 -10x ) = -10x 2 + 80x + 200 = -10( x - 4)2 + 360即当x = 4时，y 有最大值360∴ 当每个商品的单价为14元时，利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×(1 + 增长的百分率)经过x 年增长率为负：原产量×(1 - 增长的百分率)经过x 年例5. 一种产品的年产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使年产量每年比上一年增加p %. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x 年后，年产量为y, 则y = a ( 1 + p %)x例9. 画一个边长2角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，求：（1） 第10个正方形的面积（2） 这10个正方形的面积的和解：（1）设{a n }表示各正方形的面积∵ a 1 = 22 = 4, a 2 = (22)2, a 3 = 42 = 8∴ {a n }是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a 10 = a 1q 9 = 4×29 = 2048 (厘米2)（2）这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110=--=--=q q a S （厘米2） 例10．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时，共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a 1, a 2, …, a 10 .x 2xMPAB ∵ a 1 = 100, a 2 = 50, a 3 = 25 ∴ {a n }是公比为21的等比数列 则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010≈=--=S ∴本球共经过的路程为S = 2S 10 - 100 ≈300 （米）一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时，水面宽4米. 当水面下降1米时，水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系，则抛物线方程为x 2 = -2py 依题意知：x = 2时，y = -2代入方程得p = 1即抛物线方程为 x 2 = -y, 当水面下降1米时，y = -3 ⇒ x =3∴ 水面宽为2x =32≈3.5 (米)例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面439千米，远地点距地面2384千米，地球半径大约为6371千米，求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵ a -c = |OA| - | OF 2| = |F 2A| = 6371 + 439 = 6810a + c = |OB| + |OF 2| = |F 2B| = 6371 + 2384 = 8755∴ a = 7782.5, c = 972.5 ⇒ b 2 = 7721.52 即卫星的轨道方程是：步1772277832222=+y x 例18．在相距1400米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t 秒后A 哨所先听到爆炸声，则B 哨所t + 3 则 |MA| = 340t, |MB| = 340( t + 3 ) = 340t + 1020两式相减：|MA| - |MB| = 1020 (|AB| = 1400> 1020)∴ 炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以AB 为x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图）∴ A(-700, 0 ), B( 700, 0 ) ⇒ c = 700且 2a = 1020 ⇒ a = 510 ⇒ b 2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022=-y x ( x > 0 ) 例19．如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路PA 、PB ，且PA=110公里，PB=150公里，AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从PA 和PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿PA 、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿PA 线路 （2）沿PB 线路 （3）沿PA 、PB 线路都相同 故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| ⇒ 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A 、B 为焦点的双曲线AB = 50 ⇒ 2c = 50 ⇒ c = 25, 2a = 40 ⇒ a = 20 ⇒ b 2 = 225若以AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022=-y x （在矩形内的一段） 注意：确定分界线的原则是：从P 沿PA 、PB 到分界线上点的距离. 练习：1某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，试建立t 与x 的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。
高三数学应用题50练(全国百所重点高中)
BCDAOP1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以()222101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)2220200010y x x x x =+-+≤≤（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10103y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边33km 处。
2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
数学应用题专题训练及解答
一． 选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。
（A ）1005.03 克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。
（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。
（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。
（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。
（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。
高考数学应用题及答案
高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。
如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。
答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。
利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。
总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。
由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。
然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。
因此，我们需要考虑实际的生产限制。
由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。
但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。
假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。
因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。
但是，实际中需要考虑生产能力的限制。
2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。
如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。
答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。
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函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ……8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分 当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分 答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。
已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足2(04)4(),()6(4)2xx y mf x f x x x ⎧+<≤⎪⎪==⎨⎪>⎪-⎩其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。
（I ）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （II ）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m 的值。
解：（1）当m=4时，8(04)4()24(4)2x x y f x x x +<≤⎧⎪==⎨>⎪-⎩ ------------2分当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化 ∴当04x <≤时，84y x =+≥，得4x = 当4x >时，2442y x =≥-，解得48x <≤ 故自来水达到有效净化一共可持续5天 -----------6分 （2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化 即前4天和后3天的自来水达到最佳净化∴当04x <≤时，4(2)104x m ≤+≤在04x <≤恒成立，得168408m x m x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤⎪+⎩在04x <≤恒成立，∴1023m ≤≤ -----------9分当47x <≤时，64102m x ≤≤-在47x <≤恒成立，同理得103m =即投放的药剂质量m 的值为103--------------13分8、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r ．解：（1）由题意可知23480()33r l r l r πππ+=≥2，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346()433y rl r c r r r c r ππππ=⨯+⨯=-+，即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{02}r r <≤.……………8分（2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r =令2,r ==即 4.5c =，（1）当3 4.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r =y 有最小值. ……………16分 9、某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为20)2100x k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦元。