谓词演算推证
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
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NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
18谓词演算的推理规则.
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
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注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
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量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
2-5 谓词演算的四个推理规则
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面任找一个球，它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×
√
» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真，且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真， 应用ES规则可得： (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则，并最后还原带量 词的结论形式，在推理过程中经常要消去和 添加量词，以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
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全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真，那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真，因此 US规则通常也可以这样用：
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时，应先作存 在指定，再作全称指定。
» 指定规则的使用
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§2.5.1 存在指定规则
例如：
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如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物，x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如：
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如果从盒子中任取一个球，能证明它是 黑球，那么“盒子里面全是黑球”成立。
数学逻辑中的命题演算和谓词演算
数学逻辑是数学的基础，它研究命题的推理和证明方法，是数学推理的基础工具。
其中，命题演算和谓词演算是数学逻辑的两个重要分支，它们在数学推理中具有不可替代的作用。
命题演算是逻辑学的基础，它研究命题之间的逻辑关系。
在命题演算中，一个命题是一个陈述句，它要么是真，要么是假。
命题的逻辑连接词有与、或、非三种，分别表示命题的合取、析取和否定。
通过逻辑连接词的运用，可以构造复合命题，从而进行复合命题的推理。
作为命题演算的一种进一步推广，谓词演算引入了变量和量词的概念。
谓词演算研究命题中涉及变量的合取和存在量化，以及含有变量的复合命题的推理。
在谓词演算中，变量可以赋予不同的值，从而使得命题可以为真或为假。
谓词演算的基本元素有谓词、变量和量词。
谓词是关于一个或多个变量的陈述，变量是命题中的未确定的对象，而量词则用于指定变量的范围。
命题演算和谓词演算在数学证明中具有不可替代的作用。
命题演算可以帮助我们分析命题之间的逻辑关系，通过构造复合命题和应用推理规则，可以推导出新的命题。
这为数学推理提供了重要的工具。
谓词演算则更加灵活，通过引入变量和量词的概念，可以处理涉及未知量的问题。
谓词演算可以将复杂的数学问题转化为简单的命题演算问题，从而简化了求解的过程。
在数学推理中，命题演算和谓词演算常常相互配合使用。
命题演算提供了一种简洁的推理方法，适用于处理已知条件推导出结论的问题；而谓词演算则适用于处理引入未知量的问题，通过引入变量和量词可以统一处理不同的情况，使得求解更加简化。
总之，数学逻辑中的命题演算和谓词演算是数学推理的重要工具。
命题演算研究命题之间的逻辑关系，可以帮助我们进行命题的推理和证明；谓词演算引入变量和量词的概念，可以处理涉及未知量的问题，将复杂的数学问题转化为简单的命题演算问题。
它们在数学推理中相互配合，为我们提供了强大的工具，帮助我们解决各种数学问题。
因此，学习和掌握命题演算和谓词演算对于提高数学推理能力具有重要意义。
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
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例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
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例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
谓词逻辑的等值和推理演算
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
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谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
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怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
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例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
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二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
第四讲谓词演算的推理理论
谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。 解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必 须是整个谓词公式，而不是其中的一部分
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2.5 谓词逻辑推理理论
谓词演算推证的基本思路是将量词消去，
然后用类似命题演算推证法证明。
2.5.1 谓词演算推证
谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。
推理根据：
一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；
一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：
量词否定逻辑等价式
量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式
量词分配逻辑等价式
具有两个量词的逻辑等价式
量词与联结词的逻辑蕴涵式
具有两个量词的逻辑蕴涵式
2.5.1 谓词演算推证
证明方法：
直接证法
间接证明方法
反证法
附加前提证法
2.5.1 谓词演算推证
推理规则：
P规则
T规则
CP规则
消去和添加量词的规则
2.5.1 谓词演算推证
1）US 规则（全称指定规则）
这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。
例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。
全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。
该规则使用时还可以有以下形式：()
()
c Ρx x Ρ∴∀()
()
y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。
注意：
2.5.1 谓词演算推证
2）UG 规则（全称推广规则）
设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。
例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。
显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。
则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。
全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。
注意：)
()
(y yP x P ∀∴
2.5.1 谓词演算推证
3）ES 规则（存在指定规则）
这里c 是指定个体域中的某一个个体。
但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。
注意：存在指定规则在使用时要求：
（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。
（2）c 不曾在P(x)中出现过。
在具体的推证过程中还要求c 不在以前步骤中出现过。
（3）P(x)中除x 外还有其他自由出现的个体变元时，不能用此规则。
()
()
c P x xP ∴∃
2.5.1 谓词演算推证
4）EG 规则（存在推广规则）
这里c 是指定个体域中的某一个个体，该规则的成立是显然的。
注意：存在推广规则在使用时要求取代c 的x 不在P(c)中出现。
)
()
(x xP c P ∃∴。