§3谓词演算的形式证明
谓词演算推证
2.5 谓词逻辑推理理论谓词演算推证的基本思路是将量词消去，然后用类似命题演算推证法证明。
2.5.1 谓词演算推证谓词演算推证也是由三个要素组成：推理根据、推理规则和证明方法。
推理根据：一方面命题演算推证中命题定律和推理定律的代换实例可以作为谓词演算推证的推理依据；一方面谓词演算的基本逻辑等价式和逻辑蕴涵式：量词否定逻辑等价式量词辖域的收缩与扩张逻辑等价式量词分配逻辑等价式具有两个量词的逻辑等价式量词与联结词的逻辑蕴涵式具有两个量词的逻辑蕴涵式2.5.1 谓词演算推证证明方法：直接证法间接证明方法反证法附加前提证法2.5.1 谓词演算推证推理规则：P规则T规则CP规则消去和添加量词的规则2.5.1 谓词演算推证1）US 规则（全称指定规则）这里P 是谓词，而c 是个体域中某个任意的个体。
例如，设个体域为全体偶数的集合，P(x)表示“x 是整数”，则∀xP(x)表示“所有的偶数都是整数”，那么根据全称指定规则有P(6)，即“6是整数”。
全称指定规则在使用时要求x 是P(x)中自由出现的个体变元。
该规则使用时还可以有以下形式：()()c Ρx x Ρ∴∀()()y Ρx Ρ∴∀x 这里y 是任意的不在P(x)中约束出现的个体变元。
注意：2.5.1 谓词演算推证2）UG 规则（全称推广规则）设E 是指定的个体域，若对于E 中的任意个体a ，都有P(a)成立，才能应用该全称推广规则。
例如，设个体域是全体人类，P(x)表示“x 是要死的”。
显然，对于任意一个人a ，P(a)都成立，即任何人都是要死的。
则应用全称推广规则有∀xP(x)成立。
全称推广规则在使用时要求y 不在P(x)中约束出现。
注意：)()(y yP x P ∀∴2.5.1 谓词演算推证3）ES 规则（存在指定规则）这里c 是指定个体域中的某一个个体。
但需注意的是，应用存在指定规则时，指定的个体c 不是任意的。
注意：存在指定规则在使用时要求：（1）c 是使P(c)为真的指定个体域中的某一个个体。
离散数学第三章 谓词演算基础-唯一性量词与摹状词
唯一性量词 ！
！X 表示“只有一个X”、“恰好有一个X” 。 ！x(x)表示恰好有一个x使得(x)为真。 等价公式： ！x(x)=x((x)y(xy(y)))
谓词P(x)是指个体x所具有的性质， 摹状词是指具有性质P的那个个体x。
摹状词 (指导变元、作用域)
x(x)——使得(x)成立的那个惟一的个体， 其中称为摹状词， x称为摹状词的指导变元， (x)称为摹状词的作用域。 注意 摹状词的作用域与唯一性量词的作用域 均为谓词演算公式，但摹状词的值为个 体，而唯一性量词的值为真或假，且要 使用摹状词必须满足存在唯一性。
这里, 是一个谓词.
例(p37) 并非读书最多的人最有知识
解：设 A(e)表示“e为人”； B(e1，e2)表示e1比e2读书多； C(e1，e2)表示e1比e2有知识。 则“读书最多的人”译为： xy(A(x)y((A(y)yx)B(x，y))) 把它记为u，故原句译为： t((A(t)tu)C(u，t))
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词 第四章 谓词演算的推理理论
第三章 谓词演算基础
3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性 3.5 唯一性量词与摹状词 3.5.1 唯一性量词 3.5.2 摹状词
摹状词
摹状词——描述特定个体的短语（利用个体的 特征性质来描述特定的个体）， 比如： ◇ “纸的发明者”， ◇ “上帝的创造者”等。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
与谓词演算公式
与谓词演算公式
谓词演算是数理逻辑中的一种推理方法，用于描述和操作命题。
在谓词演算中，我们使用量词、谓词和变量来构造公式。
一个谓词演算公式包括以下部分：
1. 量词：谓词演算中有两种量词，即全称量词和存在量词。
全
称量词使用符号∀表示，表示公式对于所有的变量都成立。
存在量
词使用符号∃表示，表示存在至少一个使公式成立的变量。
2. 谓词：谓词是描述一个特定属性的函数，用于判断命题的真假。
谓词通常带有变量，用于在特定情况下对命题进行判断。
3. 变量：变量是谓词中的未知数，代表具体对象。
变量可以有
不同的取值范围，用于对命题中的不确定部分进行具体化。
4. 逻辑连接词：谓词演算中常用的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
逻辑连接词用于组合多个子公式形成复合公式。
一个简单的谓词演算公式示例是：
∀x (P(x) → Q(x))
其中，P(x) 和 Q(x) 是谓词，x 是变量，∀是全称量词，→
是逻辑连接词。
这个公式表示对于任意一个 x，如果 P(x) 成立，则
Q(x) 也成立。
谓词演算公式用于数理逻辑的推理和证明过程，有助于分析问题、描述特定状况并得出结论。
在谓词演算中，公式之间的转换和推理常
常使用规则和定理进行，以验证命题的真假。
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明引言谓词逻辑是一种用于推理和论证的数学形式化语言。
谓词逻辑有效式证明是指在给定一组前提的情况下，通过谓词逻辑的规则和推理方法，证明一个陈述式是正确的。
本文将详细介绍谓词逻辑有效式证明的过程、规则和技巧。
有效式证明的基本概念1.有效式：一个陈述式是有效式指在任何情况下都为真。
有效式证明即证明一个陈述式是有效式的过程。
2.谓词逻辑：谓词逻辑是一种数学形式化语言，用于描述和推理关于对象、属性和关系的陈述。
3.有效式证明的规则：有效式证明的过程依赖于一系列谓词逻辑的规则，如合取规则、析取规则和否定规则。
有效式证明的步骤1.列出前提：首先，需要明确给定的前提是什么。
前提通常是一组陈述式，用符号表示。
2.构建证明树：根据给定的前提，逐步应用谓词逻辑的规则，构建一个证明树。
证明树是一种层次结构，每一层都是一个逻辑步骤，将前提分解成更小的陈述式或使用已知的真值。
合取规则介绍合取规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理合取陈述式。
规则合取规则有两个部分： - 合取引入（合取命题是真则其每一个部分都是真）：如果我们可以证明一个合取陈述式的每一个部分，那么我们可以得出这个合取陈述式是真的结论。
- 合取消除（一个合取陈述式是真则它的至少一个部分是真）：如果我们知道一个合取陈述式是真的，那么我们可以得出至少有一个部分是真的结论。
析取规则介绍析取规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理析取陈述式。
规则析取规则有两个部分： - 析取引入（一个析取陈述式是真，则其至少一个部分是真）：如果我们知道一个析取陈述式是真的，那么我们可以得出至少有一个部分是真的结论。
- 析取消除（一个析取陈述式是真，则它每一个部分都是真）：如果我们可以证明一个析取陈述式的每一个部分，那么我们可以得出这个析取陈述式是真的结论。
否定规则介绍否定规则是一种谓词逻辑中常用的推理规则，用于处理否定陈述式。
规则否定规则有两个部分： - 否定引入（一个否定陈述式是真，则它的否定部分是假）：如果我们知道一个否定陈述式是真的，那么我们可以得出它的否定部分是假的结论。
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算数学逻辑是一门研究数学推理与证明的学科，其中的谓词与谓词演算是数学逻辑中的重要内容之一。
本文将介绍谓词与谓词演算的基本概念、符号表示方法以及在数学逻辑中的应用。
一、谓词的定义和基本概念在数学逻辑中，谓词是用来描述个体之间关系的一种语言工具。
谓词描述了一个或多个对象之间的特性、属性或关联，可以是真值表达式。
谓词可以是单元谓词，也可以是复合谓词。
单元谓词是一种只涉及一个个体或一种特性的谓词。
例如，P(x)，表示个体x具有性质P。
在这里，x是谓词中的变量，可以代指任意个体。
复合谓词是由多个单元谓词组合而成的谓词。
例如，Q(x,y)表示个体x与个体y之间具有关系Q。
复合谓词可以通过逻辑运算符如与（∧）、或（∨）、非（¬）等来进行组合，从而描述更加复杂的个体关系。
二、谓词演算的基本符号表示方法为了方便描述谓词和推理过程，数学逻辑中提出了谓词演算的概念。
谓词演算是一种用来分析和推理谓词逻辑表达式的形式系统。
在谓词演算中，使用多种符号表示谓词关系，包括：1. 前缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴左括号之前。
例如，P(x)表示“谓词P应用于x”；2. 后缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号内，并且紧贴右括号之后。
例如，(x)P表示“x满足谓词P”；3. 中缀表示：谓词表达式中谓词符号位于括号之外。
例如，xPy表示“个体x与个体y之间存在关系P”。
谓词演算还引入了量词的概念，用来描述谓词关系的全称性质或存在性质。
全称量词“∀”表示一个给定的谓词对于所有个体都成立，存在量词“∃”表示一个给定的谓词对于至少存在一个个体成立。
三、谓词与谓词演算在数学逻辑中的应用谓词与谓词演算在数学逻辑中具有广泛的应用。
它们被用于数学推理、证明和定义的过程中，为数学家提供了一种精确且形式化的工具。
通过引入谓词和谓词演算，数学家可以用一种形式化的方式来描述数学中的概念、关系和定理，从而避免了语言的歧义和误解。
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算在数学逻辑领域中，谓词是一种用于描述事物属性或关系的语言元素。
谓词演算是一种形式化的推理方法，旨在通过一系列符号化的公式来分析和推断命题的真假性。
本文将对数学逻辑中的谓词与谓词演算进行探讨。
一、谓词的定义与应用谓词是数学逻辑中最基本的概念之一，它是用于描述命题中的属性或关系的符号。
谓词的定义通常包括两个部分：谓词符号和谓词变元。
谓词符号表示谓词的含义，例如P(x)表示“x具有属性P”，Q(x, y)表示“x与y之间存在关系Q”。
谓词变元则是赋予谓词具体内容的变量，可以是常量、变量或复合表达式。
谓词在数学逻辑中广泛应用于命题的表达和推理过程。
通过引入谓词，我们可以更精确地描述事物的属性和关系，使得逻辑推理更加准确和有效。
例如，在数学中我们可以使用谓词来描述“偶数”、“素数”等特殊的数学性质，进而进行相关的推理和证明。
二、谓词演算的基本构成谓词演算是数学逻辑中一种重要的形式化推理方法，旨在通过对谓词之间的关系和结构进行符号化处理，从而进行逻辑推理和证明。
谓词演算通常包括以下几个基本构成要素：1. 逻辑符号：谓词演算中使用的逻辑符号包括命题符号、连接符号和量词符号等。
命题符号用于表示命题的真假，常用的命题符号包括“∧”表示逻辑与、“∨”表示逻辑或、“¬”表示逻辑非等。
连接符号用于连接多个命题形成复合命题，量词符号则用于描述谓词的范围和数量。
2. 公式化规则：谓词演算中使用的公式化规则通常包括谓词逻辑公式的构造和推导规则。
通过这些规则，我们可以将复杂的逻辑关系转化为一系列公式，并进行逻辑推理和证明。
3. 推理规则：谓词演算中的推理规则主要包括共识化、脱离量词、简化和替换等方法。
通过这些推理规则，我们可以通过对谓词形式的公式进行逻辑操作，得到新的公式以推导出结论。
三、谓词演算的应用和意义谓词演算在数学逻辑和计算机科学中有着广泛的应用和重要意义。
它不仅可以用于描述和分析命题的真假性，还可以应用于模型论、证明论和自动推理等领域。
数学逻辑中的命题公式和谓词公式的证明方法
数学逻辑是数学的一门重要分支，研究数学结论的正确推导。
其中，命题公式和谓词公式是数学逻辑中的两个重要概念。
在数学推理过程中，如何对命题公式和谓词公式进行证明是一个关键问题。
命题公式是一种具有确定真值的陈述句，可以用来表示一个简单命题或复合命题。
在数学逻辑中，命题公式的证明可以通过直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法完成。
直接证明是最基本的证明方法之一。
它首先假设命题公式为真，然后根据命题公式的逻辑结构进行推演，逐步得出结论。
例如，要证明命题公式“若A成立，则B成立”。
可以通过对A成立的理由进行推理，得出B成立的结论。
直接证明的优点是简单直观，易于理解和操作。
反证法是另一种常用的证明方法。
反证法的基本思想是假设待证明的命题公式不成立，然后通过推理找出一个矛盾，从而推出原命题必然成立。
例如，要证明一个命题公式P成立，可以假设P不成立，然后推出与前提矛盾的结论，从而得出P成立。
反证法的优点是可以解决一些复杂的问题，特别适用于涉及否定命题的证明。
数学归纳法是一种特殊的证明方法，常用于证明具有重复结构的命题公式。
数学归纳法有两个基本步骤：先证明基本情况成立，再通过假设某一情况成立来推导下一情况成立。
这种证明方法常用于证明等式、不等式、恒等式等。
谓词公式是一种包含变量的命题公式，它可以用来表示一般陈述。
在数学逻辑中，谓词公式的证明通常与量词、谓词逻辑等概念相关。
谓词公式的证明需要借助于量词的使用。
数学逻辑中常用的量词有全称量词和存在量词。
全称量词表示“对于所有的”，存在量词表示“存在一个”。
在证明谓词公式时，需要根据给定的条件对变量进行限定，然后通过推导得出结论。
当然，对于不同类型的谓词公式，其证明方法也各不相同，有时需要采用特定的证明技巧。
总之，数学逻辑中的命题公式和谓词公式是数学证明的基础。
在证明命题公式时，可以采用直接证明、反证法和数学归纳法等多种方法，而谓词公式的证明则需要借助于量词的运用。
在实际的数学推理中，根据具体的问题和命题的特点选择合适的证明方法，可以更加有效地推导和证明数学结论。
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定理21.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1
┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现 替换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法 l=0,则p是原子公式或p=F, 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 对l >0,假设对一切l <k结论成立, 对l=k,除p=p1这种平凡情况外, 分以下几种情况 (1)p=(q→r) (2)p=xq
(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用' 和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))， xvar(q(y)),yvar(p(x))。
二、等价替换定理与代换定理
定义 21.16 ：设 p,qP(Y)，若 {p}┣q 且
{q}┣p，则称p,q语法等价，记为p┣┫q。 引理21.2:若p┣┫q，则xp┣┫xq 因为 {p}┣q, 由演绎定理知 ┣ p→q, 同样 有 ┣ q→p 然后分别证明{xp}┣xq, {xq}┣xp
例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元
x不会出现在y的辖域中。证明： {xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y).
定理 21.5:( 演绎定理 ) 设 AP=P(Y)，设
p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q 证明:(1)由A┣p→q,证明A∪{p}┝q 存 在 A 导 出 p→q 的 有 限 证 明 序 列 p1,…,pn=p→q， 由MP规则即得. (2)若A∪{p}┣q 对证明序列长度用归纳法 其他与命题逻辑类似,主要考虑q=xr(x) 设A0是导出r(x)的假设集 (i)pA0 (ii)pA0
定理21.7(约束变元符可替换性):设在p中
将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为 yq(y) 而 得 到 p'( 这 里 yvar(q(x)) ， 且 p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域 中)，则p┣┫p'。 定理21.8:在P(Y)中有： (1)p→q┣┫pq； (2)pq┣┫(pq)(pq)； (3)pq┣┫(pq)(pq)； (4)p┣┫p；
如果存在一个由 A 导出 p 的证明 ，则记为
A┣p，且用 Ded(A) 表示满足 A┣p 所有 p 的 全体。对于 Ø ┣ p，简写为 ┣ p，并称 p 为 Pred(Y)的定理。 例:{xp}┣xp, pP(Y)
根据定义，xp就是xp。 p1=xp 假设 p2=xp→xp A3 p3=xp p1, p2 MP p4=xp→p A5 p5=p p3, p4 MP p6=p→p A3 p7=p p5, p6 MP p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))
除了MP规则外，还要用一个推理规则，
这个规则在以后的论证中常会用到：对 任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规则，它使 得在对一般的x证明了p(x)后，可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则。
定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设
在命题演算中，代换定理是基于同态映
射 :P1→P2，这里 P1,P2 为二个命题代数， 如果 P1,P2为谓词代数，则根据同态映射 的要求， P1,P2应该有相同的运算集，对 其个体符集有新的要求
作业:P423 18,19(1)
A导出p的长度为n的证明是一组有限序 列 p1,…Байду номын сангаасpn，这里piP(Y)(i=1,…,n)， pn=p，而p1,…,pn-1是长度为n-1的由A导 出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk)。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1,…,pk-1的某个子序 列pk1,…,pkr是一个由A的子集 A0(xvar(A0))导出w(x)的证明(长度小于 n)。
§3 谓词演算的形式证明
一、形式证明
P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元
素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}