二次根式教材分析二
初中数学_【课堂实录】二次根式的性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
二次根式的性质（第二课时）教学设计教学目标：1、知识目标:掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；2、能力目标: 培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力；3、情感目标: 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力。
教学重点：1、商的算术平方根。
会进行简单的二次根式的除法运算；2、最简二次根式概念及应用。
教学难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用。
教学方法：探究合作教学工具：多媒体课时安排：一课时教学过程(一) 引入新课知识回顾1、什么叫二次根式？一般地，形如a （a ≥0）的式子叫二次根式。
2、二次根式有意义的条件是什么？被开方数a ≥03、二次根式的性质有哪些？（1）二次根式的双重非负性： （2）（3） （4）学生回忆及得算数平方根的性质：（a ≥0，b ≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的。
)（二）探究新知1.计算下列各式，观察计算结果，你会发现什么规律？设计意图：得出，引导学生通过计算，大胆猜想。
2.猜想：0(被开方数的非负性）（0算术平方根的非负性）a a ⎧≥≥2(a a =(0)a ≥2a a =441616(1),;(2),;925925====2222(1)(2)35353.观察上面得到的规律，请你用字母表示出这一规律。
()0,0.a b=≥>要求学生回答，自主总结规律。
即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（三）练习巩固化简：分别找两位学生到黑板上进行板演。
其他同学在练习本上自主完成。
教师通过板演，进行讲解，强调公式的运用，被开方数是小数的情况等等。
（四）你来当医生解:原式=((1225.0)3(,4,(a b c均为正数）944322944=⋅设计意图：出示错误做法，让学生合作交流，找到错误根源，增强学生的互助精神。
正确解答是：解：原式=经过交流，学生回答正确做法。
教材分析 二次根式
第1章 二次根式二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对七年级上册“实数”“代数式”等内容的延伸和补充。
二次根式的运算以整式的运算为基础，在进行二次根式的有关运算时，所使用的运算法则与整式、分式的相关法则类似；在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；在进行二次根式的乘除时，所使用的法则和公式与整式的乘法运算法则及乘法公式类似。
这些都说明了前后知识之间的内在联系。
本章的主要内容有二次根式，二次根式的性质，二次根式的运算（根号内不含字母、不含分母有理化）。
一、教科书内容和教学目标1、本章的教学要求。
（1）了解二次根式的概念，了解简单二次根式的字母取值范围；（2）了解二次根式的性质；（3）了解二次根式的加、减、乘、除的运算法则；（4）会用二次根式的性质和运算法则进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）。
2、本章教材分析。
课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫做二次根式。
在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。
对于二次根式的性质，课本利用第4页图1-2给出的。
该图的含义是如果正方形的面积为a ，那么这个正方形的边长就是a ；反之，如果正方形的边长为a ，那么这个正方形的面积就是a ，因此就有a a 2)(。
从而得出二次根式的第一个性质。
至于第二个性质，可以通过学生的计算来发现，所以课本安排了一个“合作学习”，让学生自己去发现和归纳。
该节第一课时的重点在于对这两个性质的理解和运用，例题和练习的设计就围绕这两个性质展开。
第二课时是学习二次根式的另外两个性质，课本安排两组练习，意在让学生通过自己的尝试，与同学的合作交流来发现这两个性质。
通过两个例题和一组练习，使学生知道运用二次根式的性质，可以简化实数的运算，也可以对结果是二次根式的式子进行化简。
苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》教学设计2
苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》教学设计2一. 教材分析苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数和无理数的基础上，进一步对根式的学习。
本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
教材通过丰富的例题和习题，使学生掌握二次根式的相关知识，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数和无理数有了初步的认识。
但二次根式较为抽象，学生可能对其概念和性质理解起来有一定困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，并通过大量的例子让学生加深对二次根式的理解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，并能灵活运用到实际问题中。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念。
2.通过大量的例子，让学生加深对二次根式的理解。
3.运用归纳总结法，引导学生总结二次根式的性质。
4.采用小组合作学习，让学生在讨论中掌握二次根式的运算方法。
5.利用多媒体辅助教学，提高课堂效果。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT，展示二次根式的概念、性质和运算方法。
3.准备例题和习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如：某数的平方根是整数，求这个数。
让学生尝试解答，从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次根式的概念、性质和运算方法。
让学生初步了解二次根式，并引导学生总结二次根式的性质。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些简单的二次根式运算题目，如：求二次根式的值、化简二次根式等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相交流二次根式的运算方法。
初中数学_9.3二次根式的乘除法(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《9.3二次根式的乘法与除法（第二课时）》教学设计学习目标：1、会进行简单的二次根式的混合运算，掌握必要的运算技能。
2、混合运算中实数的运算律、整式的四则运算法则、运算顺序以及乘法公式的应用。
3、体会和掌握迁移、类比等数学思想。
学习重点：熟练进行二次根式的混合运算。
学习难点：混合运算的顺序、乘法公式的灵活运用。
课 前 预 习 案一、 复习回顾：1、满足下列条件的二次根式是最简二次根式．① .② .2、用字母表示二次根式的乘法和除法法则 .3、用字母表示出多项式乘多项式整式的乘法公式4、计算并说出依据（1）8161⋅ （2））（5-45÷ （3）50511221832++-二、自主预习：二次根式的四则混合运算顺序5、计算（1）15÷5•27 （2））（27323+⋅ 总结1、类比实数的四则混合运算顺序，先算__________，再算_______，有括号的___________。
2、2题你还有其他方法吗？依据是什么？课 中 探 究 案合作探究一：运用实数的运算律 进行计算例2：计算（1） )6212(6+ （2） （3)7515÷- （3）(5－6)(3＋2) 对应练习：（1））（52155+⋅ （2）336÷+）（ 合作探究二：运用整式的乘法公式进行计算：例3：计算（1）(2+7)(2—7)； （2）2）3-6（对应练习：计算（1））（）（11-8118⋅+ （2）231）（-总结：通过对例2、例3的解答，你发现怎样进行二次根式的混合运算？计算时应该注意什么？合作探究三：拓展延伸 能力提升 计算：（1）(22－3)2014( 22＋3)2015. （2）（3+2）2-（3-2）2思考：在这些题目的计算中，用到了哪些知识？应该注意什么问题？学习小结：回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？达 标 检 测1、下列计算正确的是（ ）A 、42821= B 、236333=⨯ C 、 32)23(6-=-÷ D 、（2)13-=4-232、（1） 12(2－3)＝ .(2)(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .3、 计算： （1））22-3（）322（⋅+ （2）（6—22）24、设3的整数部分是a，小数部分是b，求a2+b2的值.《9.3二次根式的乘法和除法（二）》学情分析本节课的主要内容是二次根式的加减乘除混合运算。
初中数学_【课堂实录】二次根式教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次根式》教学设计一、教材分析1、地位与作用：从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段，中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的，同时实数也是后继内容。
学生已经学习了实数的概念，数的范围又扩大了，本节课起到了承前启后的作用。
及时的探究二次根式的概念和性质可以使学生进一步加深对数的认识和对式的理解，同时也为学生后续学习一元二次方程、二次函数打下良好的基础。
2、教学目标：知识目标：（1）了解二次根式和最简二次根式的概念，能将二次根式（根号下仅限于数）化简为最简二次根式。
（2）探究并掌握二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简能力目标：经历观察、分析、归纳的过程，发展抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力。
情感目标：使学生经历观察、猜想、总结、归纳等数学活动，感受和体验数学活动的乐趣，并提高学生用数学的意识。
3、重点、难点重点: 探究二次根式的性质及应用。
难点：熟练、灵活将二次根式化简为最简二次根式。
二、教法与学法教法：启发引导式，讲练结合法.学法：观察、讨论，归纳、实践。
三、教学过程分析【一】、引入新课1.快速反应：（1）两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边为_______（2）面积为2的正方形的边长是__________（3）11的算术平方根是___________（4）7.2改成整数的平方根是_______观察：这些式子有什么共同特征？归纳：都含有开方运算, 并且被开方数都是非负数。
引出二次根式的概念：一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。
a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．2.辨析：它们是二次根式吗？√49121；√(c +b )(c −b )（其中b=24,c=25）；6481⨯； 625⨯； 95. 意图：给大脑缓冲的时间，更方便自然地接受二次根式的概念。
3.二次根式有什么性质呢？让我们一起探索。
【二】探究性质1.计算（1）94⨯＝____,94⨯＝____；√49＝____√4√9＝____；√2549＝____，√25√49＝____ ；2.用计算器计算：76⨯＝ ，76⨯＝ ；76＝ ，76＝ ．问题1：观察上面的结果,你发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？问题2：其中的字母有限制条件吗？意图：通过计算、观察和用字母表达规律，学生不难发现二次根式的性质（重点）b a b a •=⋅（a ≥0，b ≥0），b ab a=（a ≥0， b ＞0）．再次强调条件：a ，b 的取值范围文字归纳：积的算术平方根，等于__________________商的算术平方根，等于__________________【三】应用性质例1 用规律（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95。
二次根式的教材分析
11、设a、b、c为实数， 且
a - 1 +｜b+1｜+
(c - 2)
2
=0
求：a2008+b2007+c2的值.
结果：4
12、实数a、b在数轴上对应点的 位置如下图所示：
分析：体现数形结合的思想，进一步巩 固二次根式的定义、性质， 由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
13、在Rt△ABC中,∠C=900,记AB=c, BC=a, AC=b,若a: c=1:2,则b: a=______
2
(4)a 6a 9
4 2
5、已知
a b 6与
ab8
互为相反数，求a、b的值。 6、化简
(
x 4)
2
( x 2)
2
7、化简
1
1 -
3
2
2
2
-2
3
2
3
4
3 - 7
1 -
2
7 5
2
2 7
2
2
2
2
2
3 3 2
求（1）四边形ABCD的周长； （2）四边形ABCD的面积。 D A
B
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
2 2
（ 1 ） 求 a - 2 2a + 2 + b 的 值 . a 2 ， b 2
解 ：1 而 2 a 0, 2 a b2 0 b2 0
2
(a 0)
2. a
2
a (a 0) a (a 0)
变式应用
《二次根式》教材分析报告
实用标准文案《二次根式》教材分析1一、本章地位与作用本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．式数整式分式算术平方根二次根式a(a 0)应用勾股定理（解直角三角形）一元二次方程二、知识网络归纳二次根式a(a 0)定义乘除运算加减运算性质最简二次根式**同类二次根式三、课标及中考要求【课标要求】了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．（不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如b2a b 等．）a【中考要求】a3b，考试要求二次根式及其性质二次根式的A了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件理解二次根式的加、减、乘、B能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定条件下，确定字母的值会进行二次根式的化简，会进行二次根式1参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。
文档大全化简和运算除运算法则四、课时安排建议21．1二次根式21．2二次根式的乘除21．3二次根式的加减数学活动与小结五、全章教学建议约2课时约2课时约3～4课时约2课时实用标准文案的混合运算（不要求分母有理化）1．注意本章内容的“工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础，因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用．非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求．2．从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教材第7页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．3．注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识的联系，相关结论可以类比记忆．4．注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．六、各小节教学建议21．1二次根式（1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示．（2）二次根式的形式定义：建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．例如，2是二次根式吗？按本人的理解，2作为单独一个数应属于单项式，非二次根式．学探诊92页第6题：下列各式中，一定是二次根式的是：（A）32（B）(0.3)2（C）2（D）x答案B．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”．，总之，真正该提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．（3）二次根式（根号）的双重非负性：a 0,(a 0)；（4）教材要求掌握的公式：( a)2a(a 0)，a2a(a 0)，文档大全实用标准文案建议授课时提高要求，理解并掌握a a a(a 0)a(a 0)．a2与( a)2的对比：①运算顺序不同：( a)2是先求算术平方根再平方，a2是先平方再求算术平方根；②a的取值不同：( a)2中a的取值是a 0，而a2中a的取值是任意实数；③运算结果不同：( a)2=a（a 0）；a2=|a|a(a 0)a(a 0)．（5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）．例1：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）x 1；（2）1x；（3）11；（4）．x 1 x 1答案：（1）x 1；（2）x 1；（3）x 1；（4）x 0且x 1．2文档大全实用标准文案提高题：求下列函数解析式中自变量x 的取值范围：（1）y x 2－32x；（2）y x－1x 1；（3）y2x 1|x|2；（4）y x22x 2．答案：（1）2x 31；（2）x 0且x 1；（3）x22且x 2；（4）全体实数．例2：若x、y为实数，且y＝x 2＋2x＋3．求y x的值．（y x=9）例3：判断下列等式是否成立：(1)( 19)219( )(2)( 19)219( )(3) (5)2(19)(a b)219a b(())(4)(6)a b a b()a a(a 0)().2答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．例4：已知a,b,c为三角形的三边，则(a b c)2(b c a)2(b c a)2=．（a b c）21．2二次根式的乘除（1）从具体到抽象，归纳得出乘法公式：a b ab(a 0,b 0)➢ 理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与a n b n (a b)➢ ***可以利用算术平方根的定义进行推理证明：n做形式上的类比；∵222且a 0,b 0，∴a b ab．➢从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数；当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．（2）公式的逆用：ab a b(a 0,b 0)；．➢➢文档大全a b a b ab能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义，教材在第8页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求：①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再 有 “开得尽的因数或因式”．（3）除法公式及逆用：a a(a 0, b 0) bba a ，bb(a 0, b 0)➢注意b的条件；➢➢aa可以通过归纳、或证明、或类比得出此公式； bb对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、 运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁．如3 533 5 15 1555 5525；33 5 15 1555 5 ( 5) 2 5．8 2a8 2a 2a 2a4 a 2 a 8 2 2 22 a 2 a ；2a a 2a2 aaa aa．又如21 1 12 2 2222 2 22 2 2；1 1 ( 2)2 222 ； 222211 12 242 222．如果学生觉得不易灵活运用，也可总结为更易操作的“算法”：a ba a a ab a b 型即 型，所有 的转化为 再化简； b b b b b b或者：a b型即a a ab a b型，所有的 转化为 再化简． b b b b b➢用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧．如：当被开方数较大时，可 用 分 解 因 数 的 办 法 将 被 开 方 数 尽 可 能 写 成 完 全 平 方 数 的 乘 积 形 式． 至 此 学 生 应 能 对 112, , 12.5, ……等常见数值进行化简．3 总之，学生在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中先要求学生观察二次根式的特点，根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，每步运算的根据的什么，培养学生的 分析能力和观察能力，以及计算的目的性和条理性．（4）最简二次根式的概念：不要求学生背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断，让学生在练习中熟 悉这个概念，同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式．文档大全n n n例5：计算：（1）35；（2）1327；（3）14271；（4）45．5例6：化简：（1）8；（2）12；（3）18；（4）24（5）28；（6）32；（7）48；（8）50；（9）16ab2c3；（10）35210．例7：计算：（1）243；（2）31325y；（3）；（4）2181009x2；（5）121；（6）3；（7）238；（8）328；（9）．272a例8：计算：（1）22312；（2）75(612)．例9：已知2 1.414，求200,0.0002, 21．3二次根式的加减18,0.72的近似值（保留3个有效数字）．（1）教材采用了“被开方数相同的最简二次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类比同类项的概念给出“同类二次根式”的概念，能通过实例判断几个二次根式是不是同类二次根式，注意强调先化简的重要性．例如，分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，最终再给出类似a213a和12a3的例子．（2）明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质类似．加减法的练习也同样可细分成几个层次进行教学．例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．加减运算中常出现的错误类型有：①运算结果含有28或类似的式子；文档大全②运算过程中有49 2 3或31344或类似的问题；③运算过程中有235或1122233或类似的问题．（4）二次根式的混合运算．教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:第14页:“在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍成立”；第17页:“在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”．➢➢➢分析式子结构，明确运算顺序；关注乘法公式和运算律的应用；计算少跳步，避免类似535316，222=8之类的典型错误．例10计算：（1）82（2）4545842（3）2811183224；（4）2112434827；（5）813222（6）(π1)0123（7）18282251（8）2412126238例11计算：（1）(548627415)3（2）(6x12x)3x 4x（3）1510(31556)（4）3326312（5）( 848)(212)(23)2（6）(2332)(2332)（7）(435)2（8）(56)(5223)（9）(310)15(310)15（10）(233 2 6)(233 2 6)1(11) 2 (31)（12）3123b ab5(a3b)3b2a（13）(4b a2ba3b)(3a 9ab)b a a1313（14）2222121312132222（15）文档大全（16）ab－aaaa―＋2bbbb实用标准文案（a＞0，b＞0）例12一个长方体的长为22cm，宽为3cm，高为2cm，则它的表面积为cm2，体积为cm3．（866，43）例13若811的整数部分是a，小数部分是b，则2a b b2．（5）文档大全★章节复习及综合（1）条件求值类题目：例14甲、乙两人对题目“求值：1a1a2a212 ，其中a ”有不同的解答，5甲的解答：11aa a22112(a)a a2112a aa a a495，乙的解答：1111111a22(a )2a aa a2a a a a5，谁的解答是错误的？为什么？例15（1）如果a b 4a 2b 5，那么a 2b=_____．（2）若实数x，y满足x 2y223y 30，则xy的值是．．例16①已知:a 1a10，求a21的值．（6）a2②已知:x 1275，y1275，求x xy+y的值．（112）（2）寻找规律、现场学习类：例17已知下列等式：991910，9999199100，99999919991000，····，①根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；②观察上述等式的规律，请你写出第n个等式．（允许写成9999的形式）n个9例18观察下列等式：11 121( 21)(21)21；13232( 32)(32)32；1 4343( 43)(43)43；……回答下列问题：①利用你观察到的规律，化简：12322；②计算：111122332......199100．（9）文档大全22例19有这样一类题目：将a 2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2n2a且mn b，则a 2b可变为m2n22m n，即变成(m n)2开方，从而使得a 2b化简．例如：526=3226=(3)2(2)2223(32)2，∴526(32)232请仿照上例解下列问题：（1）526；（2）423七、***拓展专题（1）分母有理化：例20化简：132，132，3131，a ba b(a b)例21计算：(11 113214 3...120082007)(20081)（2）二次根式比较大小：例22比较大小：（1）3与22（平方法）（2）－57与－65（被开方数）（3）11与（分母有理化）7553（4）2002－2001与2001－2000（倒数法/分子有理化）例23观察下列各式的特点：2132， 3 223，2352，……(1) 请根据以上规律填空2007200620082007>(2) 请根据以上规律写出第(3) 计算下列算式：n(n 1)个不等式，并证明你的结论．112132113243114354.....文档大全11 10099 101100实用标准文案（10129）（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）：例24（1）已知a<0，化简二次根式a3b的正确结果是（）．A A．a ab B．a ab C．a ab D．a ab（2）把m 1m根号外的因式移到根号内，得（）．CA．m B．m C．m D．m例25（1）已知x+y=6，xy=6，求：xyyx的值；（平方法，6）（2）已知x＋y=－8，xy=8，求x y xyx y的值．（42）例26计算3257( 35)( 5 7)7116( 73)(113)（裂项，113）例27（1）化简ba ba a 2ab b a ba b a b a ba b；（）a b（2）化简a 1a21a 1a21a 1a21a 1a21.（a 1）．（2a21）例28（1）已知x＝32323232，求x3xy2x4y 2x3y2x2y326的值；（）5（2）已知a11 3，求12a a2a22a 1a 1a2a的值．（3）文档大全，y＝。
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计2
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，进一步研究根式的一个章节。
本节课主要学习二次根式的概念、性质和运算。
教材从实际问题出发，引入二次根式，使学生在解决实际问题的过程中，感受二次根式的意义和作用。
同时，通过探究二次根式的性质，培养学生的逻辑思维能力，为后续学习二次根式的运算打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了二次方程和二次函数，对二次概念有了一定的了解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象。
此外，学生对实数的认识尚浅，需要在本节课进一步巩固。
在学习过程中，学生需要通过实例感受二次根式的实际意义，并通过自主探究、合作交流，理解二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够进行二次根式的化简、运算。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其理解。
2.二次根式的性质及其运用。
3.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：让学生在探究二次根式性质的过程中，培养独立思考和解决问题的能力。
3.合作交流法：在小组讨论中，让学生分享自己的观点，提高学生的合作意识。
4.案例教学法：通过典型例题，使学生掌握二次根式的运算方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作含有动画、图片、例题的教学课件，帮助学生直观地理解二次根式。
2.教学素材：准备一些实际问题和相关案例，用于引导学生思考和探究。
3.练习题：设计具有层次性的练习题，巩固学生对二次根式的理解和运用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题引入二次根式，让学生感受二次根式的实际意义。
例如，计算一个物体的体积，需要求其半径的平方根。
通过这个问题，引导学生思考二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的概念，让学生明确二次根式的定义和特点。
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《二次根式》教材分析1一、本章地位与作用本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三类重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性”，教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数值扫清障碍．二、知识网络归纳三、课标及中考要求【课标要求】了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．（不要求进行根号下含字母的二次根式等．） 【中考要求】1参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。
四、课时安排建议21．1 二次根式约2课时21．2 二次根式的乘除约2课时21．3 二次根式的加减约3～4课时数学活动与小结约2课时五、全章教学建议1．注意本章内容的“工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础，因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用．非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相应地，学探诊测试6第6题及之后的题目可不作为基本教学要求．2．从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教材第7页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关．3．注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式”、“分式”相关知识的联系，相关结论可以类比记忆．4．注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．六、各小节教学建议21．1 二次根式（1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示． （2）二次根式的形式定义：建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．作为单独一个数应属于单项式，非二次根式．学探诊92页第6题：下列各式中，一定是二次根式的是：（A B C ）D ，答案B ．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是”．总之，真正该提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）． （3）二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；（4）教材要求掌握的公式：2 (0)a a =≥ (0)a a ≥，建议授课时提高要求，理解并掌握⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ．2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．（5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）． 例1 ：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1 （2 （3（4 答案：（1）1x ≥； （2）1x ≤； （3）1x >； （4）0x ≥且1x ≠．提高题：求下列函数解析式中自变量x 的取值范围：（1）y =－x 23-； （2）y =11x +；（3）y =（4）y =答案：（1）322x -≤≤；（2）0x ≤且1x ≠-；（3）12x ≥且2x ≠；（4）全体实数． 例2 ：若x 、y 为实数，且y ＝2-x ＋x -2＋3．求y x 的值． （y x =9） 例3 ：判断下列等式是否成立：(1)219()= (2)219()=-19()= (4)2()a b =-()a b=- (6)0)().a a =≤答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）√．例4 ：已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ． （a b c ++）21．2 二次根式的乘除（10,0)a b =≥≥理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与()n n n a b ab =做形式上的类比；***可以利用算术平方根的定义进行推理证明：∵222ab =⋅= 且0≥≥，∴=．从公式的适用范围看，包括了某些字母取0的情况；为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数； 当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数．（2）公式的逆用：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ；．能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义， 教材在第8页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子，让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来． 初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求：①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再有 “开得尽的因数或因式”．（30,0)a b=≥>，)0,0(>≥=b a bab a注意0b >的条件；可以通过归纳、或证明、或类比nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭得出此公式；对于二次根式的除法运算和二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次根式性质、运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，总结做题经验，使运算更灵活、更简洁． 如515515555353532==⨯⨯==； 515)5(155553532==⨯⨯=． a a a a aa a a224222828==⨯⨯=；a aaa a a a a 22222228=⋅==⋅=． 又如 222222212212212=⨯=⨯⨯⨯=⨯=； 22)2(2122122==⨯=；22142122122=⨯=⋅=． 如果学生觉得不易灵活运用，也可总结为更易操作的“算法”：==用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧．如：当被开方数较大时，可用分解因数的办法将被开方数尽可能写成完全平方数的乘积……等常见数值进行化简．总之，学生在化简运算的简洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程中先要求学生观察二次根式的特点，根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答，每步运算的根据的什么，培养学生的分析能力和观察能力，以及计算的目的性和条理性．（4）最简二次根式的概念：不要求学生背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断，让学生在练习中熟悉这个概念，同时明确二次根式的运算结果应化为最简二次根式．例5 ：计算：（1 （2 （3 （4例6 ：化简：（1 （2 （3 （4（5； （6 （7； （8（9 （10）例7 ：计算： （1； （2 （3； （4；（5（6）3 （7 （8； （9． 例8 ：计算：（1）12322⨯⨯； （2）)126(75⋅÷．例9 1.4143个有效数字）． 21．3 二次根式的加减（1）教材采用了“被开方数相同的最简二次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类比同类项的概念给出“同类二次根式”的概念，能通过实例判断几个二次根式是不是同类二次根式，注意强调先化简的重要性．例如，分成几个小问题：① 把被开方数都是整数的放在一个小题中， ② 把被开方数都是分数的放在一个小题中， ③ 把被开方数带有简单字母的放在一个小题中， ④ 把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，最终再给出类似a 的例子． （2）明确二次根式的加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质类似．加减法的练习也同样可细分成几个层次进行教学．例如：① 不需要化简能直接进行相加减的， ② 需要化简但被开方数都是简单整数的， ③ 被开方数都是有理数但既有整数又有分数的， ④ 被开方数含有字母的，等等． 加减运算中常出现的错误类型有：① 或类似的式子； ② 运算过程中有3294+=+或34143=或类似的问题； ③ 运算过程中有532=+或2322311=-或类似的问题． （4）二次根式的混合运算．教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:第14页: “在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍成立”； 第17页: “在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”． 分析式子结构，明确运算顺序； 关注乘法公式和运算律的应用；计算少跳步，避免类似(5516-=，之类的典型错误．例10计算：（1（2）2484554+-+（3）3241182182-+； （4）4832714122+-；（5()312--（6）0(π1)+（7)12+（8）6813222124--+-例11计算：（1）3)154276485(÷+- （2）x xx x 3)1246(÷- （3） )65153(1051-⋅（4）2136233÷-（5）2)32()122)(488(---+（6）)2332)(2332(-+（7）2)534(+（8）)3225)(65(-+（9） 1515)103()103(-+ （10） (11))13(1312+⋅+÷（12）ab b a ab b 3)23(235÷-⋅（13）)93()24(3ab a ba b a a b a b +-+ （14）221122⎛⎛-+--+ ⎝⎭⎝⎭（15）((((22221111+-（16）ab －b a ―a b ＋2++abb a （a ＞0，b ＞0）例12一个长方体的长为，宽为cm 3，高为cm 2，则它的表面积为 2cm ，体积为 3cm ． （8+）例13若8a ，小数部分是b ，则22ab b -= ．（5）★ 章节复习及综合 （1）条件求值类题目： 例14甲、乙两人对题目“求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答，甲的解答：11112495a a a a a a a =+=+-=-=， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a aa， 谁的解答是错误的？为什么？ 例15（1）如果524-+=+b a b a ，那么b a 2+=_____．（2）若实数x y ，满足033222=+-++y y x ，则xy 的值是 ． ．例16① 已知: 101=+a a ， 求221a a +的值． （6） ② 已知: ()5721+=x ， ()5721-=y ， 求x 2xy + y 2 的值． （112） （2） 寻找规律、现场学习类： 例17已知下列等式：10=100=，1000=，······，① 根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性； ② 观察上述等式的规律，请你写出第n 个等式． （允许写成99999n 个的形式）例18 观察下列等式：12)12)(12(12121-=-+-=+；23)23)(23(23231-=-+-=+；34)34)(34(34341-=-+-=+；……回答下列问题：①；② ......++（9）例19有这样一类题目：若你能找到两个数m 和n ，使22mn a+=且mn =a ±可变为222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得5±=32++222++=，==请仿照上例解下列问题：（1； （2七、***拓展专题（1）分母有理化：例20)a b ≠ 例21计算：)12008)(200720081 (3)41231121(+++++++++（2）二次根式比较大小： 例22比较大小：（1）3与22（平方法）（2）－（被开方数）（3）571-与351-（分母有理化） （4）2002－2001与2001－2000（倒数法/分子有理化） 例23 观察下列各式的特点：2312->-，3223->-，2532->-，……(1) 请根据以上规律填空2007-2007- >(2) 请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论．(3) 计算下列算式：.....++9）（3）化简和运算技巧（注意隐含条件：字母的取值范围）： 例24 （1）已知a <0，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）． AA ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -（2）把mm 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）． C A ．m B ．m -C ．m --D ．m - 例25 （1）已知x+y=6，xy=6，求：xy y x +的值；（2）已知x ＋y=－8，xy=8，求的值．（-例26 计算)311)(37(6117)75)(53(7523+++++++++ 例27 （1）化简 ba b a b a b ab a b a a b a b+-÷++-⋅-+-2； （a b a b +-）（2）化简111111112222-++--++--+-++a a a a a a a a .（1a >）． （）例28 （1）已知x ＝2323-+， y ＝2323+-， 求32234232y x y x y x xy x ++-的值；） （2）已知321+=a ， 求a a a a a a a -+---+-22212121的值． （3）。