专题5_传送带模型的结论总结

关于传送带传送物体的结论总结1. 基本道具：传送带（分水平和倾斜两种情形）、物件（分有无初速度两种情形）2. 问题基本特点：判断能否送达、离开速度大小、历时、留下痕迹长度等等。

3. 基本思路：分析各阶段物体的受力情况，并确定物件的运动性质（由合外力和初速度共同决定，即动力学观点）4. 典型事例：一、水平传送带例1：如图所示，设两半径均为R 的皮带轮轴心间距离为L ,物块与传送带间的动摩擦因素为μ.物块（可视为质点）质量为m ，从水平以初速度v 0滑上传送带左端。

试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）（一） 若传送带静止不动，则可能出现：1、v 0=gL μ2,恰好到达右端，v t =0，历时t =g v μ0， 留下痕迹△S=L2、v 0﹥gL μ2，从右端滑离，v t =L v g 220μ-,历时t =g gL μμ2v v 200--，留下痕迹△S=L3、v 0＜gL μ2，只能滑至离左端S =g v μ220处停下，v t =0，历时t =gv μ0，留下痕迹△S=S =g v μ220 （二） 若传送带逆时针以速度匀速运动，可能出现：1、v 0=gL μ2恰好能（或恰好不能）到达右端，v t =0，历时t =gv μ0，留下痕迹长△S 有两种情形：（1）当v ＜0)2(v g R L μπ+时，△S=vt+L =gv v μ0⋅+L ;(2)当v ≥0)2(v g R L μπ+时， △S =2（L +πR _）{注意：痕迹长至多等于周长，不能重复计算}。

2、v 0﹥gL μ2，从右端滑出，v t =L v g 220μ-，历时t =ggLμμ2v v 200--，留下的痕迹长△S 也有两种情形：（1）当v ＜t R L π2+时，△S =vt +L ；（2）当 v ≥tR L π2+时，△S =2（L +πR ） 3、v 0＜gL μ2，物块先向右匀减速至离左端S =g v μ220处，速度减为零，历时t 1=gv μ0，之后，（1）如果v 0≤v ，物块将一直向左匀加速运动，最终从左端滑落，v t =v 0，又历时t 2=t 1，留下的痕迹长△S =2vt 1（但至多不超过2L +2πR ）。

（2）如果v 0＞v ,物块将先向左匀加速运动一段时间t 2=gv μ，再随传送带一起向左匀速运动一段时间t 3=gv v v μ2)(220-，最终从左端滑落；v t =v ，留下的痕迹长△S =v （t 1+t 2）+20v （t 1-t 2）（但最多不超过2L +2πR ）.(三)若传送带顺时针以速度v 匀速运动，可能出现1.0≤v 0≤gL v μ22-，物块一直做匀加速运动，从右端滑出，v t =gL v μ220+，历时t =g v gL v μμ0202-+，留下的痕迹长△S =（vt －L ）(但最多不超过2L +2πR ) 2. gL v μ22-＜v 0＜v ,物块先向右做匀加速，历时t 1=gv v μ0-，后随传送带一块以速度v 匀速运动，历时t 2=gv v gL v μμ22220-+，v t =v ，留下的痕迹长△S =gv v μ2)(20-（但此时必有△S ＜L ）3．v 0=v ，物块始终随传送带一块向右匀速运动，历时t =0v L ，v t =v ，△S =0 二、倾斜传送带:例2：如图所示。

传送带倾角为θ,两轮半径均为R,轴心间距离为L 。

物块的质量为m （可视为质点）。

与传送带间的动摩擦因数为μ,试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）：(一)传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最低端，可能出现：1. μ≤tanθ,即mgsinθ≥mgcosθ ,无论V 多大物块无法被传递到顶端;2. μ＞tanθ,即mgsinθ<μmgcosθ，说明物块放上后将向上匀加速运动（受力如图），加速度a =g (μcosθ－sinθ)(1) 如果v ≥L g )sin cos (2θθμ- ，则物块一直向上做匀加速运动，至顶端v t =L g )sin cos (2θθμ-,历时 t =a L 2=)sin cos (2θθμ-g L , 留下的痕迹长△S = v t －L (但至多不超过2πR +2L )。

(2) 如果v ＜L g )sin cos (2θθμ-，则物块先向上匀加速运动至离底端S 1=)sin cos (22θθμ-g v ，历时t 1=)sin cos (θθμ-g v ;之后，∵mgsinθ<μmgcosθ，滑动摩擦力突变为静摩擦力，大小f ’=mgsinθ，物块随传送带一起以速度v 向上匀速运动，直至从顶端滑离；v t = v ，又历时t 2=v L －)sin cos (2θθμ-g v ; 留下的痕迹长△S =)sin cos (22θθμ-g v = S 1＜L 。

（二）传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：1．μ≥tanθ,即mgsinθ≤μmgcosθ，无论v 多大，物块无法被传递到底端；2．μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ，物体将匀加速下滑，加速度a =g (sinθ－μcosθ),从底端滑离；v t =)cos (sin 2θθ-gl ，历时t =)cos (sin 2θθ-g L , 留下的痕迹长△S = vt +L （但至多不超过2πR +2L ）。

(三) 传送带逆时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：1. v ≥L g )sin cos (2θθμ+，物块一直向下匀加速运动，a =g (sinθ+μcosθ),从底端滑离；v t =L g )sin cos (2θθμ+，留下痕迹长△S =vt －L (但至多不超过2πR +2L )。

2. v ＜L g )sin cos (2θθμ+，物块先向下以加速度a 1=g (sinθ+μcosθ)做匀加速运动，至距顶端S 1=)sin cos (22θθμ+g v 处，速度达到v ，历时t 1=)sin cos (2θθμ+g v ,此后， （1）如果μ＜tanθ，则继续以a 1=g (sinθ－μcosθ)向下做加速运动，从底端滑离时v t =)(2122S L a v -+,又历时t 2=2a v v t -，整个过程中留下痕迹长为△S ，①当v t ≤3 v 时， △S =)sin cos (22θθμ+g v = S 1；②当v t ＞3 v 时，△S =2)(2t v v t - (2) 如果μ≥tanθ，则物块将随传送带以速度v 一起向下匀速运动(这期间滑动摩擦力变为沿斜面向上的静摩擦力)，直至从底端滑离；v t = v ，又历时t 2=vS L 1-,整个过程中，留下的痕迹长△S=)sin cos (22θθμ+g v = S 1。

（四）设传送带足够长，且μ≥tanθ，开始时，传送带静止，物块轻放于最顶端。

现让传送带以恒定的加速度a 0逆时针开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动。

经过一段时间，物块在传送带上面留下了一段痕迹，物块相对于传送带不再滑动。

求此痕迹的长度△S 。

【分析】依题意可知，物块能在传送带上留下一段痕迹，现设传送带匀加速运动时的加速度a 0＞g (sinθ+μcosθ).如果a 0≤g (sinθ+μcosθ)，则物块将随着传送带一起运动，并始终保持相对静止，不会留下一段痕迹，这与题设条件不符。

设传送带匀加速运动时间t 1,自开始至物块速度也达v 0共历时t ，则v 0= a 0t 1=at ①物块速度达到v 0之前，受力如图甲，加速度a = g (sinθ+μcosθ). ②物块在传送带上留下的痕迹长△S = a 0t 12+ v 0（t －t 1）－21at 2 ③ 物块速度达到v 0时，∵mgsinθ≤μmgcosθ ,滑动摩擦力（沿斜面向下）突变为静摩擦力 F 静= mgsinθ（方向沿斜面向上），之后，相对传送带静止随传送带一起以v 0向下匀速运动。

受力如图乙所示。

联立① ② ③可得;△S=)cos (sin 2)]cos (sin [0020θμθθμθ++-g a g a v巩固练习1．如图所示,一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v 1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，物体以恒定的速率v 2沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回´光滑水平面上，这时速率为v 2´,则下列说确的是( AB )A 、若v 1<v 2，则v 2´=v 1B 、若v 1>v 2，则v 2´ =v 2C 、不管v 2多大，总有v 2´=v 2D 、只有v 1=v 2时，才有v 2´=v 12．已知一足够长的传送带与水平面的倾角为θ，以一定的速度匀速运动。

某时刻在传送带适中的位置冲上一定初速度的物块（如图a ），以此时为t =0时刻记录了小物块之后在传送带上运动速度随时间的变化关系，如图b 所示（图中取沿斜面向上的运动方向为正方向，其中两坐标大小v 1＞v 2）。

已知传送带的速度保持不变，物块与传送带间的μ＞tan θ（g 取10 m/s 2），则（ ）A ．0～t 1，物块向上做匀减速运动B ．t 1～t 2，物块向上做匀加速运动C ．0～t 2，传送带对物块的摩擦力始终沿斜面向下D ．t 2以后物块随传送带一起向上做匀速运动不受摩擦力作用3．将一个粉笔头轻放在以2m/s 的恒定速度运动在足够长的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m 的划线。

若使该传送带仍以2m/s 的初速改做匀减速运动，加速度大小恒为1.5m/s 2，且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一粉笔头（与传送带的动摩擦因数和第一个相同）轻放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线？3．解析：在同一v －t 坐标图上作出两次划线粉笔头及传送带的速度图象，如图所示。

第一次划线。

传送带匀速，粉笔头匀加速运动，AB 和OB 分别代表它们的速度图线。

速度相等时（B 点），划线结束，图中 的面积代表第一次划线长度 ，即B 点坐标为（4，2），粉笔头的加速度 。

v 2 v 1t v v 00 v 1 t 1 t 2 t 3传送带 粉笔头 f N a 图甲mgF 静Nv 0mg 图乙第二次划线分两个AE 代表传送带的速度图线，它的加速度为 可算出E 点坐标为（4/3，0）。

OC 代表第一阶段粉笔头的速度图线，C 点表示二者速度相同，即C 点坐标为（1，0.5）该阶段粉笔头相对传送带向后划线，划线长度 。

等速后，粉笔头超前，所受滑动摩擦力反向，开始减速运动， 由于传送带先减速到0，所以后来粉笔头一直匀减速至静止。