生物统计学1
生物统计学(第1讲)
式进行计算，其公式为：
举例说明
例1.5 根据例1.3中数据，计算20株小麦 株高的标准差。 解：由例1.3中的数据可知，fx = 1646， fx2 = 135524，将它们代入上述公式可得：
标准差的特性
（l）标准差的大小，受多个观测数的影响，
如果观测数与观测数间差异较大，其离均差也 大．因而标准差也大，反之则小。 （2）在计算标准差时，对在各观测数加上或 减去一个常数，其标准差不变。如果给各观测 数乘以或除以一个常数a，则所得的标准差扩 大或缩小了a倍。
极差、标准差、方差和变异系数等，其
中以标准差和变异系数应用最为广泛。
极差的定义及计算
极差又称全距，它是样本变量 中最大值和最小值之差，一般用R 表示。
方差的定义
为了度量其变异程度，对含有n个观测
数x1，x2，，xn的样本，可以用各观测
数离均差的大小来表示。但由于（x - x）
=0，不能反映其变异程度。若将离均差先 平方再求和，即（x - x）2，就可消除上
性的特征是平均数，其中应用最普遍的
是算术平均数。此外，还有几何平均数、 中位数和众数等。反映离散性的特征数 为变异数，常用的指标是极差、方差、 标准差和变异系数等，其中最为常用的
是标准差，它是变量的平均变异程度的
度量。
平均数的定义与作用
平均数是计量资料的代表
值，表示资料中观测数的中
心位置，并且可作为资料的
制，则其自由度为n-k。
标准差的计算
在计算标准差时，首先要先求
出平均数，然后求出（x - x）2 ，
再代入前面提到的公式进行计算。
标准差计算的简易公式
举例说明
例1.4 测得9名男子前臂长（cm）的样本数据，
生物统计学第一章
《生物统计学》教案授课教师：陈彦云宁夏大学生命科学学院教学内容与组织安排：第一章绪论讲述本章教学目标、概述本课时主要内容摘要：生物统计学是数理统计学的原理和方法在生命科学领域的具体应用，它是运用统计的原理和方法对生物有机体开展调查和试验，目的是以样本的特征来估计总体的特征，对所研究的总体进行合理的推论，得到对客观事物本质和规律性的认识。
生物统计学主要内容包括试验设计和统计分析两大部分，其作用主要有四个方面：提供整理、描述数据资料的可行方法并确定其数量特征；判断试验结果的可靠性；提供由样本推断总体的方法；提供试验设计的原则。
生物体计学的发展概况及六组统计学常用术语。
重点内容：生物统计学的概念、内容及作用，常用术语。
第一节、生物统计学的概念及其重要性统计学（Statistics）是把数学的语言引入具体的科学领域，把具体科学领域中要待研究的问题抽象为数学问题的过程，它是收集、分析、列示和解释数据的一门艺术和科学，目的是求得可靠的结果。
它有许多分支，如工业统计、农业统计、卫生统计等等。
生物统计学是数理统计在生物学研究中的应用，它是应用数理统计的原理和方法，分析、推断和解释生命过程中的各种现象和试验调查资料的科学。
属于生物数学的范畴第二节生物统计学的主要内容及作用生物体计学主要内容包括试验设计和统计分析两大部分。
在试验设计中，主要介绍试验设计的有关概念、试验设计的基本原则，试验设计方案的制定，常用试验设计方法，其中主要有对比试验设计、随机区组设计、拉方设计，正交设计等；在统计分析中，主要包括数据资料的搜集与整理、数据特征数的计算、统计推断、方差分析、回归和相关分析等。
生物统计学的作用主要有四个方面：1提供整理、描述数据资料的可行方法并确定其数量特征；2判断试验结果的可靠性；3提供油样本推断总体的方法；4提供试验设计的一些重要原则。
第三节统计学的发展概况由于人类的统计实践是随着计数活动而产生的，因此，统计发展史可以追溯到远古的原始社会，也就是说距今足有五千多年的漫长岁月。
生物统计学
• Neyman（1894～1981）和S．Pearson进行了统 计理论的研究工作，分别于 1936年和1938年提 出了一种统计假说检验学说。假说检验和区间估 计作为数学上的最优化问题，对促进统计理论研 究和对试验作出正确结论具有非常实用的价值。 • 另外，P．C．Mabellnrobis对作物抽样调查、 A． Waecl对序贯抽样、 Finney对毒理统计、 K． Mather对生统遗传学、F． Yates对田间试验 设计等都做出了杰出的贡献。
• 统计学用于生物学的研究，开始于19世纪末。1870年， 美国遗传学家Gallon（1822～1911）在19世纪末应用统 计方法研究人种特性，分析父母与子女的变异，探索其 遗传规律，提出了相关与回归的概念，开辟了生物学研 究的新领域。尽管他的研究当时并未成功，但由于他开 创性将统计方法应用于生物学研究，后人推崇他为生物 统计学的创始人。 • 在此之后，Gallon和他的继承人K．Plarson（1857～ 1936）经过共同努力于1895年成立了伦敦大学生物统计 实验室，于1889年发表了《自然的遗传》一书。在该书 中，K．Plarson首先提出了回归分析问题，并给出了计 算简单相关系数和复相关系数的计算公式。K．Plarson 在研究样本误差效应时，提出了测量实际值与理论值之 间偏离度的指数卡方（X’）的检验问题，它在属性统计 分析中有着广泛的应用。例如，在遗传上孟德尔豌豆杂 交试验，高豌豆品种与低豌豆品种杂交后，它的后代理 论比率应该是3：1，但实际后代数是否符合3：1，需用 进行检验。
•
（3）提供由样本推断总体的方法。试验的目的在于认识总体规 律，但由于总体庞大，一般无法实施，在研究过程中都是抽取总 体中的部分作为样本，用统计方法以样本来推断总体的规律性， 在这种推断中，统计原理和方法起到了理论上的保证作用。 • （4）提供试验设计的一些重要原则。为了以较少的人力、物 力和财力取得较多的试验信息和较好的试验结果，在一些生物学 研究中，就需要科学地进行试验设计，如对样本容量的确定、抽 样方法、处理设置、重复次数的确定以及试验的安排等，都必须 以统计学原理为依据。从统计分析和试验设计的关系来看，统计 学原理可以为试验设计提供合理的依据，而试验设计又是统计分 析方法的进一步运用。以统计学原理为指导，进行科学合理的试 验设计时，可以使在较少人力、物力、时间和条件下，得出可靠 而准确的数据和信息。以往有一些试验资料，由于设计不当而丧 失了大量的试验信息，究其原因多半是由于缺乏一定的统计知识， 使试验的效率大大降低。当然，统计原理和分析方法对试验设计 有着积极的指导意义，但它绝对不可能代替试验设计。如果试验 目的、要求不明确，设计不合理，试验条件不合适，统计数据不 准确，这种试验也绝对不会成功，统计原理和分析方法都不可能 挽救试验的这种失败。
生物统计学(1)
统计软件
Minitab：这个软件是很方便的功能强大而又齐全的软件，也已经“傻瓜化” ，在我国用的不如SPSS与SAS那么普遍。 Statistica：也是功能强大而齐全的“傻瓜化”的软件，在我国用的也不如 SAS与SPSS那么普遍。 Eviews：这是一个主要处理回归和时间序列的软件。 GAUSS：这是一个很好用的统计软件，许多搞经济的喜欢它。主要也是编程功 能强大。目前在我国使用的人不多。 FORTRAN：这是应用于各个领域的历史很长的非常优秀的编程软件，功能强大 ，也有一定的统计软件包。计算速度比这里介绍的都快得多。但需要编程和 编译。操作不那么容易。 MATLAB：这也是应用于各个领域的以编程为主的软件，在工程上应用广泛。 编程类似于S和R。但是统计方法不多。
保证你的研究论文能通过统计学审查 获得科学证据的主要手段
目标：
独立从事试验研究工作的能力 严谨治学、理论联系实际的科学态度
独立获取知识和综合运用知识的能力
分析问题和解决问题的能力
生物统计学的研究内容
生物统计学的研究内容包括统计原理、统计方法和 试验设计。
统计原理阐述统计理论和有关公式，以满足统计方法的需
统计软件的使用：
无论何种统计软件，虽然可以完成统计运算，但都不 具备人工智能的分析能力。这是当今统计软件的局限 性。
正确运用不同格式排列数据，正确选用不同的统计方 法，正确读取计算的可能结果，正确解释和得出统计
结论，都要以理论学习为基础。
软件使用不能喧宾夺主，不能以统计软件取代生物统 计学理论及专业知识学习的重要地位。
统计软件的应用
第一章绪论生物统计学详解演示文稿
第十三页，共35页。
（二）系统误差也叫片面误差(lopsided error)，
这是由于试验动物的品种、年龄、性别、病程等不同， 饲料种类、品质、数量、管理指施相差较大，仪器不 准、标准试剂未经校正，药品批次不同、药品用量以 及种类不符合试验计划的要求，以及观测、记载、抄 录、计算中的错误所引起。在试验中是可以避免的。
• 3. 判定试验结果的可靠性
试验受试验因素和偶然因素的影响,一个试验结果,使又试 验因素造成的还是误差造成的,要正确判断必须用统计分 析的方法.
第六页，共35页。
4. 提供通过样本推断总体的方法。 试验的目的在于认识总体规律,但总体往往 庞大.
5.确定事物之间的相互联系 科学试验不仅是研究事物的特征,还要研究 事物间的相互关系,从而达到预测事物发展 的.
n
x
x1 x2 xn
xi
i 1
n
n
n
• 其中，（Sigma）为总和符号，i1 x表i 示从第
一个观察值 x1 累加到第n个观察值 xn ，若在意
义上已明确时，简记为 。 x
第十八页，共35页。
关于总和符号的几个性质
• 常数的总和等于该常数的n倍，即
n
其中C为常数；注意：在后面一些章节经常会遇
•即
第二十六页，共35页。
M d x(n1) / 2
当n为偶数时n，/ 2 和 (n 1)位/ 2置的两个观察值
• 之和的二分之一即为中数，即：
Md
xn / 2 x(n / 21) 2
• 2、若资料已分组，并编制成了次数分布表，可
利用次数分布表计算中数。
Md
生物统计学 第一章 生物统计学概述
xi fi
i 1 k
fi
k
xi wi
k
xi
fi
k
i 1
i 1
fi
i 1
i 1
【例 3】
组中值=（下限值+上限值）/2 表 1.2 150 名成年男子血清总胆固醇水平（mmol/L）
组段(i)
（1）
组中值（xi）
（2）
频数（fi）
（3）
fixi
（4）
2.5~ 3.0~ 3.5~ 4.0~ 4.5~ 5.0~ 5.5~ 6.0~ 6.5~6.75
n
举例1：试计算1，3，7，9的均数？
x x1 x2 ... xn 1 3 7 9 5
n
4
例2：试计算1，3，3，7，7，9，9，9的均数？
x x1 x2 ... xn 1 3 3 7 7 9 9 9 48 6
n
8
8
k
11 3 2 7 2 93 1 2 2 3
（1）
2.5~ 3.0~ 3.5~ 4.0~ 4.5~ 5.0~ 5.5~ 6.0~ 6.5~6.75
合计
150 名成年男子血清总胆固醇水平（mmol/L）测定
频数（fi）
（2）
累计频数（cfi）
（3）
累计频率 （4）
1
1
0~0.0067
9
10
0.0067~0.0667
26
36
0.0667~0.2400
（2） 120 99% 118.8 ，带有小数，
故取整 trunc（118.8）= 118
P99 Xtrunc(nX %)1 X(119) 42(天)
公式：
2．频数表法
生物统计学简答题
1. 什么是生物统计学？生物统计学的主要容和作用是什么？生物统计学是用数理统计的原理和方法来分析和解释生物界各种现象和试验调查资料，是研究生命过程中以样本来推断总体的一门学科。
生物统计学主要包括试验设计和统计分析两大局部的容。
其根本作用表现在以下4个方面：1.提供整理和描述数据资料的科学方法，确定某些性状和特性的数量特征。
2.判断试验结果的可靠性。
3.提供由样本推断总体的方法。
4.提供试验设计的一些重要原那么。
2. 随即误差与系统误差有何区别？随机误差也称为抽样误差或偶然误差，它是由于试验中许多无法控制的偶然因素所造成的试验结果与真实结果之间的误差，是不可防止的，随机误差可以通过试验设计和精心管理设法减小，而不能完全消除。
系统误差也称为片面误差，是由于试验处理以外的其他条件明显不一致所产生的带有倾向性或定向性的偏差。
系统误差主要由一些相对固定的因素引起，在某种程度上是可控制的。
3. 准确性与准确性有何区别？准确性指在调查和实验中某一实验指标或性状的观测值和真实值接近程度。
准确性指调查和实验中同一实验指标或性状的重复观察值彼此接近的程度。
准确性是说明测定值和真实值之间符合程度的大小；准确性是反映屡次测定值的变异程度。
4. 平均数与标准差在统计分析中有何用处？他们各有哪些特性？平均数的用处：①平均数指出了一组数据的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平；②作为样本或资料的代表数据与其他资料进展比拟。
平均数的特征：①离均差之和为零；②离均差平方和为最小。
标准差的用处：①标准差的大小，受实验后调查资料中的多个观测值的影响，如果观测值之间的差异大，离均差就越大；②在计算标准差是如果对观察值加上一个或减去一个a，标准差不变；如果给各观测值乘以或除以一个常数a，所得的标准差就扩大或缩小a倍；③在正态分布中，X+-S的观测值个数占总个数的68.26%，X-+2s的观测值个数占总个数的95.49%，x-+3s 的观测值个数占总个数的99.73%。
生物统计学-1
2009-5
生物统计学
20
试验资料的收集与整理
试验资料的类型 数量性状资料——计数和测量获得 计数资料——非连续变量 计量资料——连续变量 —— 质量性状资料——按属性统计（A型、B 型等） 统计次数法——计算频率 评分法——将质量性状量化（免疫0，高度抵抗1， 中度抵抗2，感染3）
2009-5
生物统计学
2009-5
1 38.0 38.4
2 38.2 38.5
3 38.2 38.5
4 38.4 38.8
5 38.4 38.9
生物统计学
6 38.1 38.5
7 38.1 38.7
8 38.2 38.5
9 38.5 38.5来自10 38.3 39.0
17
2、完全随机设计（completely random design ） 、完全随机设计（
生物统计学
0.4 0.4 0.8 0.4
0.2 0.3 0.7 0.3
0.2 0.4 0.8 0.5
0.1 0.3 0.6 0.3
18
例4：有5个不同品种猪的育肥实验，后期30天增重结果如表 3，检验不同品种间增重是否有差异？ 表4 5个不同品种猪的增重（kg）
品种 A1 A2 A3 A4 A5 21.5 16.0 19.0 21.0 15.5 19.5 18.5 17.5 18.5 18.0 增 20.0 17.0 20.0 19.0 17.0 重 22.0 15.5 18.0 20.0 16.0 18.0 20.0 17.0 20.0 16.0
将观察单位完全随机地分配到试验组和对照组中或几个对 比组中。 目的：研究不同处理因素间是否存在差异。 可进行单因素方差分析。若各处理间有差异，可进一步做 两两比较-多重比较，如LSD法。 LSD 表3 不同剂量激素处理后植物根系的生长变化
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定量资料的统计描述在畜牧科学研究和生产中，对定量资料进行统计描述是一项经常性的工作。
我们从科学试验或生产实践中获得的数据往往是杂乱无章的，只有对数据资料进行相应的统计处理，如计算出某一样本的平均数、标准差、变异系数、以及最大、最小值等基本统计量，才能得出规律性的结论。
在SAS系统中，对定量资料进行统计描述，可以采用MEANS和UNIVARIATE 两个过程来完成。
2.1 MEANS过程MEANS过程可提供单个或多个变量的简单统计描述，当对多个变量进行统计描述时，其输出格式较为紧凑，便于阅读。
在畜牧试验数据的处理中，计算定量资料的描述性统计量以MEANS过程最为常用。
下面我们可以通过一些具体的例子来了解如何应用MEANS过程对定量资料进行描述性统计。
例2.1 某试验站香猪的6周饲养试验增重结果数据见下表，计算甲乙两种饲料每周各自的平均增重、最大值、最小值、方差、变异系数、标准差各统计量。
1周2周3周4周5周6周甲种饲料 6.65 6.35 7.05 7.90 8.04 4.45乙种饲料 5.34 7.00 7.89 7.05 6.74 7.28Data ok ;Input siliao $ weekage addweigh @@ ;cards ;a 1 6.65a 2 6.35 a 3 7.05 a 4 7.90 a 5 8.04 a 6 4.45b 1 5.34 b 2 7.00 b 3 7.89 b 4 7.05 b 5 6.74 b 6 7.28;Proc sort out=bigsort;by siliao ;run ;- 1 -proc means ;by siliao ;run ;2.2 UNIVARIATE过程UNIVARIATE过程又称为单变量分析过程，可提供单个变量的详细描述及其分布类型的检验。
与MEANS过程相比，该过程侧重于对单个变量进行分布类型的描述。
例2.2 12头奶牛的305天产奶量（kg）,具体数据如下, 试用UNIVARIATE过程计算产奶量的描述性统计量，并进行正态性检验。
牛号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 产奶5480 6370 6310 5180 5090 6390 5600 5380 5360 6420 量SAS程序为：Data ok;Input cownum $ yield@@;Cards;1 54802 63703 63104 51805 50906 63907 56008 53809 5360 10 6420;Proc univariate normal plot;Var yield;Run;两均数差异显著性检验——t检验t检验的SAS过程在SAS系统中，进行t检验主要有MEANS和TTEST两个过程。
3.2.1 MEANS过程MEANS过程可用于样本均数与总体（理论）均数的差异显著性检验，以及配- 2 -对试验设计资料的t检验。
利用该过程进行t检验时，它先计算出可比对的数值，然后对差值均数与0有无显著差异进行检验。
3.2.2 TTEST过程TTEST该过程可计算出两组变量的平均数和标准差，同时还可对两个样本方差齐性（或同质性）进行检验，并给出总体方差相等和不相等两种情况下的均数差异性检验结果供选择。
3.3 不同实验设计资料的t检验3.3.1 样本均数与总体均数间的差异显著性检验在SAS系统中，样本均数与总体均数间的差异显著性检验是通过MEANS过程来完成的。
例3.1 母猪的怀孕期为114天，今抽测10头母猪的怀孕期分别为116、115、113、112、114、117、115、116、114、113（天），试检验所得样本的平均数与总体平均数114天有无显著差异？SAS程序为：Data ok;Input x@@;Y=x-114;Cards;116 115 113 112 114 117 115 116 114 113;Proc means mean std stderr t prt;Var y;Run;3.3.2 配对实验设计资料的t检验在SAS系统中，配对设计资料的t检验是用MEANS过程来实现的。
根据配对实验设计分为自身配对和同源配对。
例3.2 用家兔10只试验某批注射液对体温的影响，测定每只家兔注射前后的体温。
设体温服从正态分布，问注射前后体温有无显著差异？- 3 -兔号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 注射前体温37.8 38.2 38.0 37.6 37.9 38.1 38.2 37.5 38.5 37.9 注射后体温37.9 39.0 38.9 38.4 37.9 39.0 39.5 38.6 38.8 39.0 SAS程序如下：Data ok;Input x y@@;D=x-y;Cards;37.8 37.9 38.2 39 38 38.9 37.6 38.4 37.9 37.938.1 39 38.2 39.5 37.5 38.6 38.5 38.8 37.9 39;Proc means mean std stderr t prt;Var d;Run;例3.3 现从8窝仔猪中每窝选出性别相同、体重接近的仔猪两头进行饲料对比试验，将每窝两头仔猪随机分配到两个饲料组中，时间30天，试验结果见表5-7。
问两种饲料喂饲仔猪增重有无显著差异？1 2 3 4 5 6 7 8甲饲料10.0 11.2 11.0 12.1 10.5 9.8 11.5 10.8 乙饲料9.8 10.6 9.0 10.5 9.6 9.0 10.8 9.8Data ok;Input x y@@;D=x-y;Cards;10 9.8 11.2 10.6 11 9 12.1 10.510.5 9.6 9.8 9 11.5 10.8 10.8 9.8;Proc means mean std stderr t prt;Var D;Run;3.3.3 非配对实验设计资料的t检验非配对实验设计资料的t检验可用TTEST过程来完成。
例3.4 某种猪场分别测定长白后备种猪和蓝塘后备种猪90kg时的背膘厚度，测定结果- 4 -如下表所示。
设两品种后备种猪90kg时的背膘厚度值服从正态分布，问该两品种后备种猪90kg时的背膘厚度有无显著差异？品种背膘厚度（cm）长白 1.20 1.32 1.10 1.28 1.35 1.08 1.18 1.25 1.30 1.12 1.19 1.05蓝塘 2.00 1.85 1.60 1.78 1.96 1.88 1.82 1.70 1.68 1.92 1.80SAS程序如下：Data ok;Input group $ width@@;Cards;1 1.20 1 1.32 1 1.10 1 1.28 1 1.35 1 1.08 1 1.18 1 1.25 1 1.301 1.12 1 1.19 1 1.05 2 2.00 2 1.85 2 1.60 2 1.78 2 1.96 2 1.882 1.82 2 1.70 2 1.68 2 1.92 2 1.80;Proc ttest;Class group;Var width;Run;4.2 均衡数据的方差分析——普通方差分析所谓均衡数据（balanced data），就是在数据结构中对于每个分类因子各水平下或水平的组合下的观测数都相等，即数据均衡，且没有发生缺失。
4.2.1 用于均衡数据方差分析的SAS过程在SAS系统中，均衡数据的方差分析是采用ANOVA过程来完成的。
虽然均衡4.2.2.2 应用示例以下我们通过两个具体的例子来介绍如何应用ANOVA过程进行单因素方差分析。
例4.1 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
饲料鱼的增重（x ij）- 5 -A131.9 27.9 31.8 28.4 35.9A224.8 25.7 26.8 27.9 26.2A322.1 23.6 27.3 24.9 25.8A427.0 30.8 29.0 24.5 28.5SAS程序：Data ok;Do a=1 to 4;Do i=1 to 5;Input y@@;output;End;end;Cards;31.9 27.9 31.8 28.4 35.924.8 25.7 26.8 27.9 26.222.1 23.6 27.3 24.9 25.827.0 30.8 29.0 24.5 28.5;Proc anova data=ok;Class a;Model y=a;Means a/t DUNCAN SNK;Run;4.2.3 交叉分组资料的多因素方差分析例4.2 为研究雌激素对子宫发育的影响，现有4窝不同品系未成年的大白鼠，每窝3只，随机分别注射不同剂量的雌激素，然后在相同条件下试验，并称得它们的子宫重量，见下表，试作方差分析。
品系(A)雌激素注射剂量(mg/100g)(B)B1(0.2) B2(0.4)B3(0.8)A1106 116 145A242 68 115A370 111 133A442 63 87SAS程序如下：Data ok;Do a=‘A1’, ‘A2’, ‘A3’;Do b=‘B1’, ‘B2’, ‘B3’;- 6 -Input y@@;output;End;end;Cards;106 116 14542 68 11570 111 13342 63 87;Proc anova data=ok;Class a b;Model y=a b;Means a b/t DUNCAN SNK;Run;4.2.3.2 多因素有互作的方差分析例4.3 为了研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中的含量各分4个水平进行交叉分组试验。
先用品种、性别、日龄相同，初始体重基本一致的幼猪48头，随机分成16组，每组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果(kg)列于下表，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。
B1(0.8) B2(0.6) B3(0.4) B4(0.2)A1(1.0) 22.0 30.0 32.4 30.5 26.5 27.5 26.5 27.0 24.4 26.0 27.0 25.1A2(0.8) 23.5 33.238.0 26.5 25.8 28.5 35.5 24.0 27.0 30.1 33.0 25.0A3(0.6) 30.5 36.5 28.0 20.5 26.8 34.0 30.5 22.5 25.5 33.5 24.6 19.5A4(0.4) 34.5 29.0 27.5 18.5 31.4 27.5 26.3 20.0 29.3 28.0 28.5 19.0SAS程序：Data CaP;- 7 -Do a=1 to 4;Do b=1 to 4;Do n=1 to 3;Input y@@;Output;End;End;End;Drop n;Cards;22.0 26.5 24.4 30.0 27.5 26.0 32.4 26.5 27.030.5 27.0 25.1 23.5 25.8 27.0 33.2 28.5 30.138.0 35.5 33.9 26.5 24.0 25.0 30.5 26.8 25.536.5 34.0 33.5 28.0 30.5 24.6 20.5 22.5 19.534.5 31.4 29.3 29.0 27.5 28.0 27.5 26.3 28.518.5 20.0 19.0;Proc anova;Class A B;Model y=A B A*B;Run;4.3 非均衡数据的方差分析——最小二乘分析与均衡数据资料相反，非均衡数据（unbalanced data）就是数据结构中每个分类因子个水平下（或各水平组合下）的观察值数目不相等。