17第十七章

第十七章 量子力学基础一、基本要求1. 了解德布罗意的物质波概念，理解实物粒子的波粒二象性，掌握物质波波长的计算。

2. 了解不确定性原理的意义，掌握用不确定关系式计算有关问题。

3. 了解波函数的概念及其统计解释，理解自由粒子的波函数。

4. 掌握用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱的简单问题，并会计算一维问题中粒子在空间某区间出现的概率。

5. 了解能量量子化、角动量量子化和空间量子化，了解斯特恩-盖拉赫试验及微观粒子的自旋。

6. 理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的物理意义，了解泡利不相容原理和原子的壳层结构。

二、基本内容1. 物质波与运动的实物粒子相联系的波动，在此意义下，微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。

描述其波动特性的物理量v 、λ和描述其粒子特性的物理量E 、p 由德布罗意关系h E v =ph =λ联系起来，构成一幅统一的图像。

2. 波函数对具有波粒二象性的微观粒子进行描述所使用的函数，一般写为(,)t ψr ， 波函数的主要特点：（1）波函数必须是单值、有限、连续的； （2）*(,)(,)1t t d xd yd zψψ=⎰⎰⎰r r （归一化条件）；（3）*(,)t ψr ，(,)t ψr 表示粒子在t 时刻在（x 、y 、z ）处单位体积中出现的概率，称为概率密度。

特别注意自由粒子的波函数：/()i E t A e--ψ= p.r 式中P 和E 分别为自由粒子的动量和能量。

3. 不确定性原理1927年海森堡提出：对于一切类型的测量，不确定量∆x和∆xp 之间总有如下关系：∆x ∆x p ≥2同时能量的不确定量∆E与测定这个能量所用的时间（间隔）∆t的关系为：∆E ∆t ≥2不确定性原理完全起源于粒子的波粒二象特性，与所用仪器与测量方法无关。

4. 薛定谔方程波函数(,)t ψr 所满足的方程。

若已知微观粒子的初始条件，则可由薛定谔方程决定任一时刻粒子的状态。

在势场(,)U t r 中，薛定谔方程可写为222∇-m(,)U t ψ+r ti ∂ψ∂=ψ若势能函数()UU ≡r 与时间无关，则可将(),t ψr 写成()()f t ψr ，其中()ψr 满足定态薛定谔方程222∇-m()ψr +()Ur ()ψr =E()ψr而)(t f =Eti e-，此时有(),t ψr 、)t =()ψr Eti e-这种形式的波函数称为定态波函数，它所描写的微观粒子的状态则称为定态。

在一维情况下，定态薛定谔方程成为222()()()()2dx U x x E x m d x-ψ+ψ=ψ5. 一维无限深势阱中粒子的定态薛定锷方程及波函数定态薛定锷方程2222d E m d xψ-=ψ（0x a<<）定态波函数()inn n x xaπψ=（n ＝1，2，3，….）6. 描述原子中电子运动状态的四个量子数 描述原子中电子运动状态的四个量子数如表17－1 表17－1四个量子数7. 泡利不相容原理1925年泡利提出：一个原子系统内，不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的一组量子数n (,l ,m ,s m )。

不相容原理是确定电子组态和原子壳层结构的重要理论依据。

在结合能量最低原理，就可以对元素周期表进行成功的解释。

三、习题选解17-1 试求出质量为0.01kg ，速度为10m·s -1的一个小球的德布罗意波长。

解：1001.010626.634⨯⨯===-vm h p h λm331063.6-⨯=m17-2 若光子和电子的德布罗意波长均为0.5nm ，试求： （1）光子的动量和电子的动量之比。

（2）光子的动能和电子的动能之比。

解：给定波长为λ的光子的动量和能量为λhpp=λhchv E P ==相同波长电子的动量为λhp e =所以(1) 波长同为5.0nm 的光子和电子动量之比为1=epp p(2)高速运动电子的动能为总能量和静能量之差20cm E E k -=由相对论动量与能量关系有42022cm p c E +=2042022cm c m pc E k -+=而光子静质量为0，其动能即为其总能量λhcEp=所以，波长同为5.0nm 的光子和电子动能之比为22042022102.4⨯=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=cm cm hc c hcE Ekpλλ17-3 试证明，当一个粒子的能量远大于其静止能量时，这个粒子的德布罗意波长与具有相同能量的光子的波长大致相等。

证：能量为E 的光子波长为Ehc p=λ同样能量的电子波长为ph e =λ对于高速运动的粒子有==v m p 2201cm v v -222021cc m mcE v -==将E 平方，再减去p 的平方乘c 的平方4202222202242022211cm cc m cc m pc E=---=-v v v42021cm Ecp -=这样能量为E 的电子的波长为4202cm Ehc p h e -==λ由题意E 〉〉20cm因而2202202)(11Ec m Ehc cm Ehce -⋅=-=λpEhc λ=≈结论得证。

17-4 一束带电粒子经206V 的电势差加速后，测得其德布罗意波长为0.002nm ，已知这带电粒子所带电量与电子电量相等，求这粒子的质量。

解：设粒子经电势差U 加速后速度为υeUm =221v电子的动量为λhm p ==v由此可以解出222λeU hm =271067.1-⨯=kg这个粒子是质子。

17-5 实物粒子的德布罗意波与电磁波有什么不同？解释描述实物粒子的波函数的物理意义。

答：实物粒子的德布罗意波反映粒子在空间各点分布的规律；电磁波反映的是电场强度与磁场强度在空间各点的分布。

实物粒子的波函数的物理意义，是波函数的绝对值的平方表示粒子在空间某一区域出现的概率密度。

17-6 试用球坐标表示的粒子波函数为),,(ϕθr ψ，试求： （1）粒子在球壳（r .drr+）中被观测到的概率；（2）在),(ϕθ方向上的立体角元ϕθθd d d sin =Ω中找到粒子的概率。

解：（1）在球坐标体积元τd 发现一个粒子的概率为rd (ω，θ，ϕ)=*ψr(，θ，ϕ)ψr(，θ，ϕ)τd球坐标体积元τd =ϕθθd r rd drsin ⋅⋅=Ω=drd r d drd r 22sin ϕθθ其中ϕθθd d d s i n =Ωθ的取值范围为0到π，ϕ的取值范围为0到π2粒子在（r .drr +）的球壳中被观测到的概率是指在r 和drr+之间，θ和ϕ取全部范围的概率⎢⎣⎡=⎰⎰ππθθω020sin )(d r d *ψr(，θ，ϕ)ψr(，θ,ϕ)]ϕd drr 2（2）在体积元ϕθθd d d ⋅⋅=Ωsin 中被测到的概率为),(ϕθωd =ϕθθϕθϕθd d dr r r r sin ),,(),,(02*⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ⎰∞Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ=⎰∞d d r r r r 02*),,(),,(ϕθϕθ17-7 一个质量为m 的粒子，约束在长度为L 的一维线段上。

试根据不确定关系估算这个粒子所能具有的最小能量的值。

由此，试估算在直径10-14m 的核内质子和中子的最小动能。

解：由海森堡不确定原理2≥∆∆x p粒子被约束在长度为L 的势阱中运动，x 的最大不确定范围为L 。

即Lx =∆max 因而Lp 2mi n≥∆P的最小不确定范围在2/min p ∆-到2/minp ∆，因为粒子在正负两个方向运动的概率是等同的。

因此P 的最小取值为2/minp ∆。

2minmin p p ∆=因而，其动能的最小值为222min min 322mLmp E==对于质子和中子271067.1-⨯=m kg1410-=L m代入数据22min 32mLE=2214272344)10(1067.132)10055.1(π⨯⨯⨯⨯⨯=---J=4103.1⨯ eV17-8 试根据关系式2≥∆⋅∆xp 证明，对于在圆周上运动的一个粒子，2≥∆⋅∆θL 。

其中L ∆是角动量的不确定量，θ∆是角度的不确定量。

证：如图所示，设粒子在平面上做圆周 运动，当粒子在某一微小线段上运动时， 可以看成在此线段上粒子做的是直线运 动。

在l ∆线元中动量的不准确量是p ∆，满足不确定原理 题17-8图2 ≥∆⋅∆l p 即 ()2m r θ∆∆≥v于是()2m r θ∆⋅∆≥v2≥∆⋅∆θL17-9 如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s ，这个原子的这个能态的能量的最小不确定量是多少? 设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV ，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量。

解：按不确定性原理：2≥∆⋅∆t E 有2683410528.01014.341063.62---⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆tE J710329.0-⨯=eV按光子能量与波长的关系式λhcE=，有7198341067.31060.139.31031063.6---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==Ehc λm367=nm故有波长的最小不确定值为219268342)1060.139.3(10528.01031063.6---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆EE hc λm6151055.31055.3--⨯=⨯=m nm17-10 在发现中子之前，人们曾经认为原子核是由A 个质子和)(Z A -个电子组成，试用不确定关系证明电子不可能是原子核的结构单元。

解：原子核线度大约10-14 m ，电子限制在核内，位置不确定度为1410-=∆x m, 由不确定性原理~xp ∆⋅∆，动量的不确定度为24143410~1010~~xp ∆∆ kg ·m ·s 1-电子的动量不可能比它的不确定度小，据此估计电子动能约为20~2042022cm cm pc E k -+=MeV通常核内电子衰变的动能小于1eV 。

所以简单的估计排除电子处在核内的可能性。

17-11 试证明：若势能函数)(x U具有空间反射不变性，即)()(x U x U =-而)(x ψ是一维定态薛定谔方程)()()](2[222x E x x U dxd mψ=ψ+⋅-的相应于能量本征值E 的解，则)(x -ψ也是该方程的相应于该能量本征值E的解。

证：当xx-→时，定态的薛定谔方程变为[])()()()()(2222x E x x U x x d dm-ψ=-ψ-+-ψ-⋅-由于[]2222)(dxd x d d=- 按题意有 )()(x U x U =-所以定态薛定谔方程可化为)()()()(2222x E x x U x dxdm -ψ=-ψ+-ψ-由此可以看出)(x -ψ与)(x ψ一样都满足同一定态薛定谔方程，且属于同一能量本征值E 。