线性代数期末综合复习题
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数期末复习题
《线性代数》综合复习题一、单项选择题：1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（ ）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（ ）(A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（ ）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a , B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则有（ ）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（ ） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（ ）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13； （B ）19； （C ）14； （D ）13。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。
答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。
答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。
答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
线性代数期末复习题目
一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【 】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为A,B 的伴随矩阵，则【 】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(⨯ij a 满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【 】.(A) 33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【 】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【 】（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则 【 】（A ）1.-=C P AP （B ）1.-=C PAP （C ）.=T C P AP （D ）.=TC PAP[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量 A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是【 】(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 (C) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (D) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 [二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】 (A) 122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα (C)1223312,2,2;---αααααα (D) 1223312,2,2+++αααααα. [二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，则A 与B 【 】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【 】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D) -E A 可逆，+E A 不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【 】 (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(B) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭.;(D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.[五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【 】.（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00⎛⎫⎪⎝⎭A B 的伴随矩阵为【 】. （A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A BO [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且TP A Ｐ＝100010002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为【 】.（Ａ）2101 ⎛⎫ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则【 】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【 】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ; （D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式] 6．设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 . [二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E .[五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= . [五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 . [五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Taβ，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则T βα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，则k =_______[五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换]2.已知三阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii)⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设⎛⎫= ⎪⎝⎭TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算TP DP ，其中1-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭mn E A C P OE ； （II ）利用(I)的结果判断矩阵1--T B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足 1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A B αααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=Ax 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ AQ Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,Ta ∂=+()22,2,2,2,Ta ∂=+()33,3,3,3,Ta ∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+.问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关? 当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数复习题
,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。
<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。
<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
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代数第一、二章复习一、填空题1、 设311174736-=A ，则A 中元素12a 的代数余子式等于-11； 121241(1)13A +=- 2、设A 是3阶方阵，且13A =，则*A =2113n A-⎛⎫= ⎪⎝⎭； 3、 设3阶方阵101012103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭0≠，130210101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，则231412433AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；4．设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，且A =4，B =1， 则 B A 2+= 54B A 2+ =23333222211113233233233=+++d c b a d c b a d c b a 333322221111222d c b a d c b a d c b a +++3332221119c b a c b a c b a =1112223332929[421]542a b d a b d a b d +=+⨯=；5、设A ,B ,C 都是行列式值等于3的3阶方阵,则行列式101()23B D A C--=-=？解91111301(1)()13()233(3)27BD B A A C D B A B A-----==----∴=-=-=- 由于 ；6 已知A 为三阶方阵,且4=A ,82=+E A , 则1-+A A =_____2____； 解21111888482A E AA AA A A A A A A A ----+=⇒+=⇒+=⇒+=∴+= 7设1121011130111111-=A ，则第4行各元素的代数余子式之和为___0________；8、设A 为n 阶可逆矩阵, ,则11A A A-*=9．设A 为6阶方阵，且A ＝－4，则行列式6-4A A =10.如果1112132122233132333a a a D a a a a a a ==，则111213*********3233535353a a a D a a a a a a -=--= -4511．如果111221222a a a a =，线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a bx a x a 的解必是 12．已知行列式1340564x x 中元素(1, 2)的代数余子式120854x A =-=，元素(2,1)的代数余子式21A 的值= 26 。
13．已知5为A 阶方阵，且行列式a A =||，则|2|A =5|2|2A a =二、选择题1、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== ( D ))(A 8 )(B 12- )(C 24 )(D 24-2．设A 为4阶方阵，已知3=A ，且，则1-*A A =__D__；)(A 8 )(B 12- )(C 6 )(D 93、设A ,B ,C 是n 阶方阵,且E ABC =,则下列各式中必成立的是 ( A ) )(A E BCA = )(B E ACB = )(C E BAC = )(D E CBA =4、当bc ad ≠时，1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a = （ C ）)(A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a b c d bc ad 1 )(B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a b c d bc ad 1 )(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a c b d ad bc 1 )(D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a c b d bc ad 15、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4433221100000000a b a b b a b a A ，则A =（ C ）)(A 43214321b b b b a a a a - )(B 43214321b b b b a a a a + )(C ))((41413232b b a a b b a a -- )(D ))((43432121b b a a b b a a --6、设n 阶方阵A 满足E A 22=，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ C ）)(A 12-=A A )(B E A 2-= )(C A A 211=- )(D 1=A 7．设n 阶矩阵A 满足02=+E A ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有 ( C ) (A) A E = (B) A E -= (C) 1--=A A (D) 1=A8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=004030200A ，且a ，b ，c 均不为零，则1-A = （ C ）)(A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004103102100 )(B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004102103100 )(C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛002103104100 )(D ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410003100021 9. 设A 为n 阶方阵，k 为任意常数，则A λ-= （ D ）。
(A) A λ ； (B) －A λ；(C) －nA λ； (D) ()nA λ-10. 若A,B 为n 阶方阵，AB=0， 则（D ）成立。
(A) 必有B=0 ; (B) A 与B 之一必为零 (C) 必有A=0； (D) 0A =或B 。
11设A ，B 是n 阶矩阵，则（D ）一定成立。
（A ）()T T T AB A B = （B ）T T BA AB )()(=; （C ） 111)(---=B A AB （D ）111)(---=A B AB ． 12 设1031A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 2006A =（ C ） （A ）20061031⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1020061⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) 10320061⎛⎫ ⎪⨯⎝⎭ (D) 13200601⨯⎛⎫⎪⎝⎭三、 计算题1、 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102324171231102B A 求TAB )(。
解：法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1013173140102324171231102AB ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10313141701013173140TT AB 法二()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1031314170213012131027241131027241213012T T TT T A B AB B A2、 求行列式；（1）,3554243313221211--（2）xyyyyy x y y yy y x y y y y y x y y y y y x （3）121212n nn x a x x x x a x x x x a+++（4）n111211113、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111101A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11121111231解：12113332111123,112333111111333A A A *--⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪==-∴= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭4.设A ，B 为5阶方阵，|A|＝－1，|B|＝－2，求12T A B - 解 15122--=B A B A T T =)21)(1(25--=16 5．已知1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求19A 解 由于 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n A n ，因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1019119A 类似地，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1101n B B n ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101na C a C n四．证明题 1．设方阵A满足40A =，试证明E A -可逆，且123)E A E A A A --=+++（2323234)E A E A A A E A A A A A A A E A E-++++++-+++= 4（（）=（）=-2．设A 为可逆矩阵，E A A ||2=，证明：*=A A证明：由于A 为可逆矩阵，且E A A E A AA ==*2,||又由已知 故*=AA A 2两边左乘1-A 得*=A A3、设n 阶方阵A ，B 满足 AB B A =+， 求证（1）E A -可逆；（2）AB=BA4、设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：矩阵A 可逆 证明 由于022=--E A A ，有E E A A E A A =-⇒=-)2(22 故矩阵A 可逆，且E A A 21-=-。
5、若A 为方阵，证明,,T T T A A AA A A +是对称阵。
证明 T T T T T T A A A A A A +=+=+)()(,T A A +是对称阵。
T T T T T T AA A A AA ==)()(,T AA 是对称阵 A A A A A A T T T T T T ==)()(,A A T 是对称阵。