二阶常系数非齐次微分方程
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二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
9二阶常系数非齐次线性微分方程
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
例6 求通解
解 相应齐方程 特征方程 齐通解
y y e cos x
x
y y 0
r 2 1 0 r1, 2 j
Y c1 cos x c2 sin x
则上段重为
下段重为
w (12 x ) w (8 x )
kg w( ) m
由Newton第二定律
d2x [ w(12 x ) w(8 x )]g 20w 2 dt
dx x t 0 0, t 0 0 dt g 2 r 0 特征方程 10
齐通解
特征根
g t 10
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Ae
x
A x e 2 p q , 不是特征方程的根 A y xe x 是特征方程的单根 2 p A 2 x xe 是特征方程的重根 2
2 jx y y xe ,
作辅助方程
2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * ( Ax B)e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B 0 3 A 1
*
1 4 A ，B j , 3 9
1 4 y ( x j )e 2 jx , 3 9
u x 2 d u y du 2 ( ) 2 3 r dr r dr x
2 2 2
同理
u y 2 d u x du 2 ( ) 2 3 r y dr r dr
2 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
6.7二阶常系数非齐次线性微分方程
x x
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式 系数由②式确定， 从而得到 特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。 不是特征方程的根。 不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中 为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e
1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式 系数由②式确定， 从而得到 特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。 不是特征方程的根。 不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中 为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e
1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,
第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程
y = xk eλxQm (x);
( 2) f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ],
λx
y = x e [R ( x)cosωx + R ( x)sinωx];
k
λx
(1) m
( 2) m
只含上式一项解法：作辅助方程 求特解 求特解, 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 特解的实部或虚部 得原非齐方程特解
Q λ = 2 j 不是特征方程的根 ,
设 y * = ( Ax + B )e 2 jx ,
代入辅助方程
4 Aj 3 B = 0 3 A = 1
*
1 4 ∴ A = ，B = j , 3 9
1 4 ∴ y = ( x j )e 2 jx , 3 9
1 4 = ( x j )(cos 2 x + j sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 = x cos 2 x + sin 2 x ( cos 2 x + x sin 2 x ) j , 3 9 9 3 1 4 所求非齐方程特解为 y = x cos 2 x + sin 2 x , 3 9
比较两端 x 同 次幂的系数, 得 b0=1, b =1 . 1 3 因此所给 方程的特解为 y*=x+ 1 . 3
提示: [b0x+b1]′′2[b0x+b1]′3[b0x+b1] =2b03b0x3b1 3b0=3, 2b03b1=1. =3b0x2b03b1.
特解形式
2x . 例3 求方程 y′′ 3 y′ + 2 y = xe 的通解
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程
*
y '' 2 a sin x b co s x x a co s x b sin x
*
y '' y 2 a sin x b co s x 4 sin x
* *
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2a 4 2b 0
a 2 b 0
x m m
特解的形式与的值及m有关。可设
0 * k x y x e Qm ( x ) , k 1 2
不是特征根 是特征单根, 是特征重根
Qm x 为m 次多项式的一般式.
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例如： y '' 2 y ' 3 y x e
2
2x
特征方程 r 2 2 r 3 0
例如：y '' 2 y ' 2 y e
特征方程 r 2 2 r 2 0
1, 1
x
2 co s x sin x
r1,2 1 i
是特征根 k 1 ∴非齐次方程的一个特解可设为
y x
*
i 1 i
a co s x b sin x
2 ix
,
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(
1 3 1 3
x
4 9
i )(cos 2 x i sin 2 x ) 4 sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x ) i , 9 9 3 4 1
x cos 2 x
所求非齐方程特解为 原方程通解为
y
1 3
x cos 2 x
0, 2
i 2i
y '' 2 a sin x b co s x x a co s x b sin x
*
y '' y 2 a sin x b co s x 4 sin x
* *
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2a 4 2b 0
a 2 b 0
x m m
特解的形式与的值及m有关。可设
0 * k x y x e Qm ( x ) , k 1 2
不是特征根 是特征单根, 是特征重根
Qm x 为m 次多项式的一般式.
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例如： y '' 2 y ' 3 y x e
2
2x
特征方程 r 2 2 r 3 0
例如：y '' 2 y ' 2 y e
特征方程 r 2 2 r 2 0
1, 1
x
2 co s x sin x
r1,2 1 i
是特征根 k 1 ∴非齐次方程的一个特解可设为
y x
*
i 1 i
a co s x b sin x
2 ix
,
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(
1 3 1 3
x
4 9
i )(cos 2 x i sin 2 x ) 4 sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x ) i , 9 9 3 4 1
x cos 2 x
所求非齐方程特解为 原方程通解为
y
1 3
x cos 2 x
0, 2
i 2i
二阶常系数非齐次线性微分方程
( −3ax − 3b + 4c ) cos 2 x − ( 3cx + 3d + 4a ) sin 2 x = x cos 2 x
(1 (2 y* = xk eλx Rm) ( x)cosωx + Rm ) ( x)sinωx
1 4 所以 a = − 3 , b = 0 , c = 0 , d = 9 于是得原方程的一个特解为 y* = − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
6
例 2 求解 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5
y
x=0
= 1, y ′
x =0
=2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 于是齐次方程的通解为 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x 由于 f ( x ) = 5e 0⋅ x , λ=0不是特征方程的根， 不是特征方程的根， 不是特征方程的根 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = A 代入方程， 代入方程，得 2 A = 5
（iii）如果λ 2 + pλ + q = 0且2λ + p = 0，即λ是特征方程的重根。 ） 是特征方程的重根。 是特征方程的重根 应是 次多项式. 次多项式 要使(3)式成立， 要使 式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式 令 式成立 Q( x) = x 2Qm ( x) 仍是比较(3)式两端的系数来确定 的系数。 仍是比较 式两端的系数来确定Qm (x) 的系数。
Q( x) = Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + L+ bm−1 x + bm
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因
多项式 .
本质上为实函数 ,
均为 m 次实
小 结:
对非齐次方程
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则可设特解:
例4.
解: 本题
特征方程
不是特征方程的根,
的一个特解 .
故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5.
解: 特征方程为 对应齐次方程的通解为
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2.
解: 本题
特征方程为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为
的通解.
其根为
二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
为特征方程的单根 ,
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
其根为
的通解.
因此设非齐次方程特解为
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,
则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则设特解为
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程 : ①
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
求特解的方法
— 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、
为实数 ,
设特解为
为 m 次多项式 . 其中 为待定多项式 ,
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, Q (x) 为 m 次待定系数多项式 形式为
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
第二步 求如下两方程的特解
设 特解:
是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
故 等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
② ③
则②有
第三步 求原方程的特解
原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
从而得到特解
则取
(2) 若 是特征方程的单根 ,
即
为m 次多项式, (3) 若 是特征方程的重根 ,
故特解形式为 即
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结 对方程①,
当 是特征方程的 k 重根 时,
特解
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
可设
例1.
解: 本题
而特征方程为
不是特征方程的根 . 设所求特解为
提示:
时可设特解为