例谈一种分离函数技巧的应用

见识 ， 开 了 眼界 ， 拓 展 了思维 ， 受益 匪浅．
有一 个 零 点 ， 此 与ｇ （ ｚ ）
一 ０有 两 个 大 于 １的 不 等根 矛 盾． 故 不 存 在 区
Ｏ ２ ＼ Ｉ ｙ ｜ ｆ ： ｇ ２
一０有 两个 大于 １的不 ， 贝 ４ ｇ （ ） 一 ｅ
间［ ｎ ， ６ ］ 满足题意 ． 想法 ２ ： （ 分离 函数法 ） 由（ ｚ～１ ） ｅ 一 （ ＞１ ） 得
ｅ 一 等根 ． 设 ｇ（ ｚ） 一 ｅ 一 ＋ ， 即 ｅ ｘ一
在解 决 数 学 问题 时 ， 我 们 常 常用 到 分 离 常数 法 、 分离 参数 法 ， 这些技 巧 和方法对 大多 数学 生来 说 是 比 较熟 悉 的． 但 在 函数 有 关 问 题 中 ， 还 会 经 常 碰 到诸 如 指数 函数 、 对 数 函数 等 比较 复杂 的 函数与 较 为简 单 的 函数 （ 如 一次 函数 、 二 次 函数 等 ） 的 和或 商 ， 这 些 问题 中， 有些 用分 离常 数法 或分离 参 数法 是很 难解 决 或 者 是根 本解 决不 了的 ， 但 如果我 们将 这 些较 为 复杂 的 函 数（ 如ｅ 或 ｌ ｎ ） 分 离 出来 ， 则 往 往 能 使 问 题 迎 刃 而 解． 这种 分离 函数 的技 巧 是 一 种 较 新 的 技 巧 ， 学 生一 般不 太 注意 ， 但这 种技 巧在解 决 有关 问题 时 是必 须使 用的， 所 以这 种技 巧很 实用 、 很 重要 ， 应 该引起 重视 ．
…
…
～
熟 熬 掌 爹 煮 … ． … …
） 一ｌ ｎ ｚ ＋
） 一
～
ｌ ｌ ｌ ｌ 一０
、
２ ０ １ ３年 第 ９ 期 （上 旬 ）
’ 鼹强 恳 憩 ． 毫 ０
设
，
・
再设 ｈ （ ） 一（ ｚ 。 一１ ） ｅ 一１ （ ｚ＞ １ ） ， ｈ （ ｚ） 一ｅ
， 因为 ｚ ＞１ ， 所以 ｇ （ ｚ ） ＞０ ． 则 ｇ （ ｚ ） 在（ １ ，
＋。 。 ） 上单 调递 增 ， 所以ｇ （ ） 在（ １ ， ＋。 。 ） 内至多 只有 个 零点 ， 即ｇ （ ｚ ） 一０不 可 能 有 两 个 大 于 １的不 等 根． 故不存 在 区间［ ａ ， ６ ］ 满足题 意 ．
．
—
则ｇ （ ｚ ） 在（ ｚ 。 ， １ ） 内单调 递减 ， 又ｇ （ １ ） 一０ ， 所 以当 － ｚ Ｅ（ Ｌ ｚ 。 ， １ ） 时， ｇ （ ） ＞０ ， 不合 要求 ． 综合 （ｊ ） （ ｊ ｊ ） 可知 ０ ＜ａ ≤１ ． 评析： 此解 法将 厂 （ ． Ｔ ） ＜ 一 ２中 的函 数 Ｉ ｎ， Ｔ分 离 ａ 出来 ， 变成 了 （ ＊） 式， 使 问题顺 利解 决 ． 学 生普 遍感 到 这道 题对 他们 的启 发很 大 ， 从 中学 到 了新 技 巧 ， 长 了
３ 对分离函数技巧的再认识 、 再巩 固
为 了对分 离 函数 的技巧有 更 深 的认识 和 了解 ， 下 面再 举 两例 ， 以便 读者 能从 中进 一 步体会 分 离 函数 这 技 巧 的巧妙 和 简洁 ， 凸显 分离 函数 这 一技 巧 的重要 性 和独 到性 ， 巩 固和强 化对 这一技 巧 的理解 和掌握 ． 例 ２ 设 （ ｚ ） 一（ 一１ ） 。 ｅ ， 判 断 并 证 明是 否 存 在 区 间［ ｎ， ６ ］ （ ｎ ＞１ ） ， 使 函数 Ｙ 一＿ 厂 （ ｚ ） 在［ ， ６ ］ 上 的值 域 也是 ［ ｎ， ６ ］ ． 思路： ｆ （ ） 一（ ｚ 一１ ） ｅ ， 设ｚ ＞ １时 ， 存在［ “ ， ６ ］ ， 使得 ｙ 一 （ ｚ ） 在［ ｎ ， ６ ］ 上 的值 域也 是 ［ ａ ， ６ ］ ． 因为 当 ｚ ＞ １时 ， ／ （ ｚ ） ＞０ ， 所以 ｙ ＝－ 厂 （ ） 在（ １ ， ＋。 。 ） 上单 调递增 ，
（ｉ ） 若ａ ∈（ ０ ， １ ］ ， 则△ ≤０ ， ｈ （ ｚ ） ≥０ ， ｇ （ ） ≥Ｏ ， 所以 ｇ （ ） 在（ Ｏ ， １ ） 内单 调递 增 ， 又ｇ （ １ ） 一ｏ ， 所 以
ｇ（ ｚ） ＜ ｇ（ １ ）一 ｏ．
Ｅ（ １ ， ２ ） 上存 在 唯一 的零 点 ｚ 。 ， 使ｈ （ ｚ 。 ） ＝０ ． 即存 在 唯一 的 ｚ 。 ∈（ １ ， ２ ） ， 使ｇ （ 。 ） 一０ ． 易知 ｇ （ ｚ ） 在（ １ ， 。 ） 上单调递减 ， 在（ － ｚ 。 ， 十。 。 ） 上单 调递 增， ｇ （ ｘ 。 ） ＜ｇ （ １ ）
‘
所以 ０ ＜ａ ≤ １符合 ． （ ｉ ｉ ） 若ａ Ｅ（ １ ， ＋Ｃ ｘ Ｄ ） ， 则△ ＞０ ， ｈ （ ０ ） 一１ ＞０ ， ｈ （ １ ）
一
一
１ ＜ ０， ｇ（ ２） 一ｅ 。 一２
一４ （ １ ～口 ） ＜０ ， 所 以存在 ． ２ ７ 。 Ｅ（ ０ ， １ ） ， 使得 ｈ （ ｚ 。 ） 一０ ，
对任 意 ． ２ ７ Ｅ（ ｚ 。 ， １ ） ， ｈ （ ） ＜０ ， ｇ （ ） ＜Ｏ ．
＞０ ， 故 —ｇ （ ） 的 大致 图 象 如 图所 示， 因 此 ｇ （ ｚ ） 在（ １ ， ＋。 。 ） 上 只能
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（ ＋２ ｘ一 １），
．Байду номын сангаас
设 ｈ （ ｚ） 一 。 ＋（ ２ —４ ａ ） ＋ １ ， △一 （ ２— ４ ａ） 一 ４
—１ ６ ａ（ 口一 １ ） ．
当ｚ ＞ １时 ， ｈ （ ｚ ） ＞０ ， 所以ｈ （ ｚ ） 在（ １ ， ＋。 。 ） 内 单 调递 增． 又ｈ （ １ ） 一 一１ ＜０ ， ｈ （ ２ ） 一３ ｅ 一１ ＞０ ， 因 此 在
一
评析 ： 想 法 １是 一种 惯 性 思 维 ， 这 种 想 法似 乎 很 “ 自然” ， 但 自然 而不简 洁 ， 绕 的“ 弯子 ” 较 多． 想法 ２则
体现 了式 子变形 的技 巧． 在 数学 中 ， 我 们经 常 会发 现 ，
如果 将式 子适 当变形 ， 哪 怕是 一 个 很 小 的变 形 ， 往 往