导数和微分4.5
高等数学进阶教材目录
高等数学进阶教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 极限的概念与性质1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限存在准则1.5 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数与导数的应用2.4 已知导数求原函数2.5 隐函数与参数方程的导数第三章：定积分3.1 定积分的概念与性质3.2 反常积分与定积分的应用3.3 定积分的计算方法3.4 微积分基本定理3.5 定积分的几何应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 可分离变量的微分方程4.3 齐次微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 高阶线性微分方程第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的定义与性质5.2 偏导数的概念与计算5.3 隐函数与参数方程的偏导数5.4 多元函数的极值与条件极值5.5 多元函数的泰勒展开第六章：多重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法6.5 曲线与曲面的面积、体积计算第七章：向量与矩阵7.1 向量的概念与性质7.2 向量的运算与线性组合7.3 空间直线与平面7.4 矩阵的定义与性质7.5 矩阵的运算与逆矩阵第八章：多元函数的微分学8.1 多元函数的概念与性质8.2 多元函数的偏导数与全微分8.3 隐函数与参数方程的微分8.4 多元函数的极值与条件极值8.5 多元函数的极值的几何应用第九章：无穷级数与幂级数9.1 无穷级数的概念与性质9.2 收敛级数与发散级数9.3 幂级数的概念与性质9.4 幂级数的收敛半径与收敛域9.5 幂级数的运算与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程的解法10.3 高阶常微分方程的解法10.4 常系数线性微分方程10.5 常微分方程的应用以上是《高等数学进阶教材目录》的大致内容。
这本教材以系统全面介绍高等数学的各个领域为主线，包含了函数与极限、导数与微分、定积分、微分方程、多元函数与偏导数、多重积分、向量与矩阵、多元函数的微分学、无穷级数与幂级数以及常微分方程等内容。
导数与微分的总结
导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。
本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。
一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。
导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。
2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。
3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。
4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。
二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。
对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。
微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。
2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。
3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。
导数与微分的概念及其应用
导数与微分的概念及其应用导数和微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将介绍导数和微分的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的定义和性质1. 定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以看作函数的瞬时增量与自变量的瞬时变化率的比值。
若函数f(x)在点x处可导，则其导数记作f'(x)、dy/dx、df(x)/dx等等。
2. 几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
切线的斜率等于导数的值。
导数正值表示函数在该点上升，负值表示函数下降，零值表示函数有极值。
3. 基本性质：导数的四则运算法则是导数计算中常用的工具。
导数具有可乘性、可加性、链式法则、导数的导数等性质，这些性质使得导数的计算更加简便。
二、微分的定义和性质1. 定义：微分是导数的微小变化量，即函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)。
微分可以看作函数值的小增量与自变量的小变化量的乘积。
2. 近似代替：微分在实际问题中常用来做近似计算的代替。
当自变量的变化量很小的时候，我们可以使用微分来近似计算函数值的变化量。
3. 微分形式：微分有两种形式，即全微分和偏微分。
全微分表示函数的所有自变量的微分都要考虑进去，而偏微分仅考虑某几个自变量的微分。
三、导数和微分的应用导数和微分在各个领域中都有丰富的应用。
以下是一些应用举例：1. 极值问题：导数在解决函数的极值问题中起到重要作用。
求解极大值和极小值的方法包括使用导数的方法、二阶导数的方法和高级数学中的拉格朗日乘子法等等。
2. 物理学应用：在物理学中，导数和微分用于描述运动的速度和加速度。
例如，速度可以通过对位移函数进行微分得到，而加速度可以通过对速度函数进行微分得到。
3. 经济学应用：导数和微分在经济学中有着广泛的应用。
例如，利润最大化和成本最小化问题可以通过导数的方法来解决。
导数还可以用于弹性和边际效用的计算。
4. 工程学应用：导数和微分在工程学中有着广泛的应用。
导数与微分的计算
导数与微分的计算计算导数和微分是微积分学中的重要概念和技巧。
导数和微分的计算涉及多种方法和公式，本文将介绍其中的几种常见方法，并通过例子来说明具体计算的步骤和技巧。
一、导数的计算方法导数是用来描述函数在某一点的变化率的概念，计算导数的方法有几种：1. 用极限定义计算导数根据导数的定义，对于函数f(x)，其在点x=a处的导数f'(a)可以通过以下极限计算得到：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h是一个无限趋近于0的实数。
2. 使用导数的性质进行计算导数具有一些性质，如导数的加减乘除法则和链式法则等，利用这些性质可以简化导数的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，那么可以利用加减法则计算复合函数的导数： (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)同样，利用乘法法则可以计算两个函数相乘的导数：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)二、微分的计算方法微分是函数在某一点的线性近似，计算微分的方法有以下两种：1. 使用导数进行微分计算根据微分的定义，函数f(x)在点x=a处的微分df可以表示为： df = f'(a)·dx其中，dx是自变量的增量。
2. 利用微分的性质进行计算微分具有一些性质，如微分的线性性和链式法则等，利用这些性质可以简化微分的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的微分分别为df和dg，那么可以利用线性性计算复合函数的微分： d(f(x)±g(x)) = df±dg同样，利用链式法则可以计算复合函数的微分：d(f(g(x))) = f'(g(x))·dg三、导数与微分的计算举例下面通过几个例子来具体说明导数与微分的计算过程和技巧：例1：计算函数f(x) = x²在点x=2处的导数和微分。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
(1)起源(定义)不同：导数起源是函数值随自变量增量的变化率，即厶y/ △ x的极限•微分起源于微量分析，如厶y可分解成A A x与0( △ x)两部分之和，其线性主部称微分•当△ x很小时，△ y的数值大小主要由微分A A x 决定,而0( △ x)对其大小的影响是很小的.
⑵几何意义不同：导数的值是该点处切线的斜率，微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量，而厶y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考任何一本教材的图形理解.
⑶联系：导数是微分之商(微商)y' =dy/dx,微分dy=f(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别.
(4)关系：对一元函数而言，可导必可微,可微必可导.
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数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
f (0) lim f ( x) f (0) lim xD( x) 0 .
x0 x 0
x 0
k lim f ( x) f ( x0 )
(2)
x x0
x x0
会是什么呢？
答: 它就是曲线在点 P 的切线 PT 的斜率.
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上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同 一类型的数学问题： 求函数 f 在点 x0 处的增量 D y = f (x) – f (x0) 与自变量增量 D x = x – xo 之比 的极限. 这个增量比称为函数 f 关于自变量的平 均变化率，增量比的极限 (如果存在) 称为 f 在点 x0 处关于 x 的瞬时变化率(或简称变化率).
其上一点 P( x0, y0 ) 处的切线 PT. 为此我们在 P 的邻近取一 点 Q , 作曲线的割线 PQ ，这
条割线的斜率为
_
k
f (x)
f ( x0 ) .
x x0
y
Q
y f (x) •
T
P
•
O
x0 x x
点击上图动画演示
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设想一下,当动点 Q 沿此曲线无限接近点 P 时，k 的极限若存在，则这个极限
Dx
存在，则称该极限为 f (x) 在点 x0 的右导数, 记作
f( x0 ) . 类似地可以定义左导数 , 合起来即为:
前页 后页 返回
定义1 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题
高考数学如何解决复杂的导数和微分问题高考数学中，导数和微分问题是一个常见的考点，也是让许多考生头疼的难题。
在解决复杂的导数和微分问题时，我们可以运用以下几种方法和技巧。
一、基本函数的导数公式在解决复杂的导数问题时，我们首先要掌握基本函数的导数公式。
基本函数包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
比如，幂函数y=x^n的导数公式为dy/dx=n*x^(n-1)；指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的导数公式为dy/dx=a^x*lna；对数函数y=log_a(x)的导数公式为dy/dx=1/(x*lna)；三角函数sinx的导数公式为dy/dx=cosx，cosx的导数公式为dy/dx=-sinx。
掌握了基本函数的导数公式，我们可以通过将复杂函数拆解成基本函数的组合来求解导数。
二、运用导数的四则运算法则在解决复杂的导数问题时，我们可以运用导数的四则运算法则，即和、差、积、商的导数法则。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)都是可导的，则它们的和（差）的导数为(f±g)'=f'(x)±g'(x)，积的导数为(f·g)'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)，商的导数为(f/g)'=(f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/[g(x)]^2。
通过运用导数的四则运算法则，我们可以将复杂的函数化简为较简单的形式，更容易求解其导数。
三、隐函数求导和相关变化率在解决复杂的导数问题时，有些情况下函数并不能直接表示为y=f(x)的形式，而是通过一个方程来间接表示。
这时，我们需要运用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导的基本步骤是利用导数的定义，对方程两边求导，然后解出所求的导数。
通过隐函数求导，我们可以解决一些由方程确定的函数的导数问题。
此外，在解决复杂的导数问题时，还可以运用相关变化率的概念。
高等数学教材第二版答案
高等数学教材第二版答案在高等数学教学过程中，教材是学生们学习的主要依据，而答案则是学生们在学习中所追求的。
本篇文章将给出《高等数学教材第二版》的答案，以满足学生们在学习过程中的需求。
第一章极限与连续1.1 初等函数的极限1.2 无穷小与无穷大1.3 极限运算法则1.4 一元函数的连续性1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性第二章一元函数微分学2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算方法2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 函数的局部性质第三章一元函数积分学3.1 不定积分的定义与基本性质3.2 不定积分的计算3.3 定积分的定义与性质3.4 定积分的计算方法3.5 积分中值定理与换元积分法第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限4.2 偏导数的概念与计算4.3 隐函数的偏导数4.4 多元复合函数的偏导数4.5 方向导数与梯度4.6 多元函数的微分第五章多元函数积分学5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算方法5.3 三重积分的概念与性质5.4 三重积分的计算方法5.5 曲线与曲面积分第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程6.4 高阶线性微分方程6.5 齐次线性微分方程第七章无穷级数7.1 数项级数的概念7.2 数项级数的收敛性7.3 幂级数与函数展开7.4 函数项级数的一致收敛性7.5 幂级数的和函数通过以上各章节的答案，学生们可以对高等数学教材第二版中的各个题目进行参考和对照，以检查自己的学习效果和理解程度。
同时，对于一些较难的问题，答案的给出也可以作为解题思路的参考，引导学生们加深对知识点的理解和应用。
值得注意的是，答案只是学习的辅助工具，学生们在学习过程中应注重理论的学习和问题的解决思路。
与学习过程相比，答案的提供仅是一个参考，对于理解掌握知识点并独立解决问题才是更为重要的。
希望本篇文章所提供的《高等数学教材第二版》答案能够帮助到广大学生，提升他们在高等数学学习中的自信与能力。
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由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) 使得
即 方程在 (a, b) 内至少有一根 .
分析问题的条件, 作出 辅助函数是证明的关键 .
例3
在 0, （
证明方程 a1 cos x a2 cos 3x an cos( 2n 1) x 0
2
） 内至少有一根 , 其中实数 a1 , , an 满足
f ( x) ()
还有什么？
f (b) f (a) f ( )(b a)
若 f ( x) 0 , x I . 则 x1 , x2 I , 有 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) 0 , f ( x1 ) f ( x2 ) .
最小值至少各一次. 又 f (a) f (b) ,
故 f ( x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a, b), 使得
f ( ) M .
由假设 f ( x) 在 (a,b) 内可导 ,
因而 f ( ) 存在, 于是
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
(1) f ( x) 0 x (a, b). (2) | f ( x) | M . (3) f ( x) 0 ( 0).
?
f ( x) 常数.
? ?
| f ( x) f ( x0 ) | M | x x0 | .
0
因为 e
x0
0, 故有 f ( x0 ) f ( x0 ) 0, 即得所证 .
如果使用一次罗尔定理后, f ( x) 仍满足罗尔定理条件, 能否再一次使用罗尔定理? 如果需要, 当然可以使用.
例5
设 f ( x), g ( x) C ([a, b]), 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f (a) g (a), f (c) g (c), f (b) g (b), c (a, b),
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y
y f (x)
A
B
O
a
b
x
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证
f ( x) C ([a, b]) f ( x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、
最小值至少各一次.
令 M max f ( x) ,
x
F ( x) e x f ( x),
则由已知条件可知 :
F ( x) C ([a, b]), 在 (a, b) 内可导, 且 F (a) F (b) 0,
故由罗尔中值定理 : 至少存在一点 x0 (a, b) 使得 x0 x0 x F ( x0 ) (e f ( x)) x x f ( x0 )e e f ( x0 )
f ( x) f ( ) f ( ) f ( ) lim 0, x 0 x
及
f ( x) f ( ) f ( ) f ( ) lim 0, x 0 x
从而
f ( ) 0
( a, b) .
例1
设 a, b, c, d 皆为实数, a b c d , f ( x) ( x a)( x b)( x c)( x d ) ,
第五节 微分中值定理
一. 罗尔中值定理 二. 拉格朗日中值定理 三. 柯西中值定理 四. 泰勒中值定理
罗尔中值定理
微 分 中 值 定 理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理 泰勒中值定理
一. 罗尔中值定理
定理
设
(1) f ( x) C ([a, b]) ; (2) f ( x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
如何利用罗尔定理 来证明？
证
f (b) f (a) 令 ( x) f ( x) f ( a ) ( x a) ba 则由已知条件可得：
( x) C ([a, b]) , ( x) 在 (a, b) 内可导 .
且
(a) (b) 0 ,
故由罗尔定理, 至少存在一点 (a, b) , 使得
x[ a , b ]
m min f ( x)
x[ a , b ]
(1) 若 M m m f ( x) M f ( x) m x [a, b] x [ a, b]
故 (a, b) , 均有 f ( ) 0 .
(2) 若 m M (即 M m) f ( x) C ([a, b]) f ( x) 必在 [a, b] 上取到它的最大值、
F ( x) f ( x) g ( x) C , x I .
推论 2
若 f ( x) g ( x) x I , 则 f ( x) g ( x) C x I .
( C 为常数 )
f (b) f (a) f ( )(b a)
若 | f ( x) | M (即 f ( x) 有界) , 则 | f (b) f (a) | | f ( ) || b a | M | b a | .
证
则由 f ( x) 的连续性和可导性 , 得 F ( x) C ([a, b]) , F ( x) 在 (a, b) 内可导 ,
又 F (a) F (b) a 2 f (b) b 2 f (a) F ( ) 2 ( f (b) f (a )) (b 2 a 2 ) f ( ) 0
分析
2 x ( f (b) f (a )) (b 2 a 2 ) f ( x) 0 ( x 2 ( f (b) f (a)) (b 2 a 2 ) f ( x) ) 0
a 2 ( f (b) f (a )) (b 2 a 2 ) f (a ) b 2 ( f (b) f (a )) (b 2 a 2 ) f (b) a 2 f (b) b 2 f (a)
在 [1 , 2 ] 上对函数 ( x) 再运用罗尔中值定理, 则 至少存在一点 (1 , 2 ) (a, b), 使得
( ( x)) x ( ) 0,
即
f ( ) g ( ).
y
y f (x)
B A
O
a
bxΒιβλιοθήκη 二. 拉格朗日中值定理拉格朗日有限增量公式 f ( x x) f ( x) f ( x x)x (0 1) y f ( )x ( 在 x 与 x x 之间)
由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么结论？
f (b) f (a) f ( ) (b a)
f ( )
f ( x) C ( [a, b],[b, c],[c, d ] ) , f (a) f (b) f (c) f (d ) 0 ,
证明方程 f ( x) 0 仅有三个实根, 并指出根所在区间.
证
又
f ( x) 是四次多项式, 在 (,) 内可微 , 在 [a, b] ,[b, c] ,[c, d ] 上运用罗尔中值定理 , 得
推论 1
若 f ( x) 0 , x I , 则 f ( x) C , x I .
f (b) f (a) f ( )(b a)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) 若 f ( x) g ( x) x I , 则 F ( x) ( f ( x) g ( x)) 0 , x I ,
f (b) f (a) ( ) f ( ) 0 ba
拉格朗日中值定理的公式（*）也可写作
f (b) f (a ) f ( )(b a)
( a b)
不论 a b 还是 a b 定理中的公式均可写成 f (b) f (a) f ( )(b a) ( 在 a, b 之间)
a2 n 1 an a1 (1) 0 3 2n 1 a2 an 证 令 F ( x) a1 sin x sin 3x sin( 2n 1) x 3 2n 1 则 F (0) F ( ) 0 , 且满足罗尔定理其它条件, 2 故 (0, ) 使 2 F ( ) a1 cos a2 cos 3 an cos( 2n 1) 0
证明 : 至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) g ( ).
证
令 ( x) f ( x) g ( x), 则 (a) (c) (b) ,
由罗尔中值定理, 至少存在一点 1 (a, c), 使得 (1 ) 0. 同理, 至少存在一点 2 (c, b), 使得 ( 2 ) 0.
f (1 ) f ( 2 ) f (3 ) 0 . 其中, 1 (a, b) , 2 (b, c) , 3 (c, d ) .
即 f ( x) 0 至少有三个实根 .
f ( x) 是四次多项式 ,
f ( x) 是三次多项式 , f ( x) 0 至多有三个实根 .
推论 3
用来证明一些重要的不等式
若 f ( x) 在 [a, b] 上满足拉格朗日中值定理
条件, 且 | f ( x) | M , x (a, b), 则
| f (b) f (a) | M | b a |
f (b) f (a) f ( )(b a)
x1 , x2 I , 不妨设 x2 x1 . f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 ) 若 f ( x) 0 x I , 则 f ( x2 ) f ( x1 ) , 若 f ( x) 0 x I , 则 f ( x2 ) f ( x1 ) ,