中心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
蒙特卡洛方法的应用
它利用随机数或伪随机数来进行 大量模拟，并通过统计结果来估 计问题的解。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和 中心极限定理，即当样本量足够大时 ，样本均值趋近于总体均值，并且样 本的标准差趋近于总体标准差。
通过在计算机上生成大量随机样本， 蒙特卡洛方法能够近似求解某些难以 直接求解的问题。
蒙特卡洛方法的应用
目录
• 蒙特卡洛方法简介 • 蒙特卡洛方法在金融领域的应用 • 蒙特卡洛方法在物理和工程领域的应用 • 蒙特卡洛方法在社会科学领域的应用 • 蒙特卡洛方法的优缺点 • 未来展望
01
蒙特卡洛方法简介
蒙特卡洛方法的定义
01
蒙特卡洛方法是一种基于概率统 计的数值计算方法，通过随机抽 样来模拟系统的行为或求解数学 问题。
蒙特卡洛方法的参数（如抽样次数）对结 果影响较大，需要仔细调整和优化。
06
未来展望
蒙特卡洛方法的发展趋势
算法优化
随着计算能力的不断提升，蒙特卡洛方法的算法 将进一步优化，提高计算效率和精度。
交叉学科应用
蒙特卡洛方法将与更多学科交叉融合，拓展其在 物理、化学、生物、金融等领域的应用。
并行计算
并行计算技术的发展将加速蒙特卡洛方法的运算 速度，使其能够处理更大规模和更复杂的问题。
为政策制定提供依据。
社会学
01
社会网络模拟
蒙特卡洛方法可以模拟社会网络 的形成和演化，有助于了解社会 关系的动态变化。
02
社会行为模拟
03
社会政策评估
通过模拟个体的决策过程和社会 互动，蒙特卡洛方法可以揭示社 会行为的内在机制。
蒙特卡洛方法可以评估不同社会 政策的实施效果，为政策调整提 供科学依据。
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机过程的数值计算方法，通过生成大量随机数来模拟实际问题的概率分布和确定性结果。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来近似计算复杂问题的解，适用于各种领域的问题求解和决策分析。
蒙特卡洛模拟方法最早于20世纪40年代在核能研究中出现，命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为其运作原理与赌场的概率计算类似。
它的核心思想是通过大量的重复实验来模拟问题的解空间，并基于统计原理对结果进行分析。
蒙特卡洛模拟方法的应用领域广泛，包括金融、工程、物理、统计学、风险管理等。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟股票价格的变动，估计期权的价格和价值-at-risk（风险价值），帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟不同参数对产品性能的影响，优化产品设计和工艺流程。
在物理学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟粒子运动轨迹，研究核反应和量子系统的行为。
在统计学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于估计未知参数的分布和进行概率推断。
1.明确问题：首先需要明确问题的目标和约束条件。
例如，如果要求估计一个金融产品的价值，需要明确产品的特征和市场环境。
2.设定模型：根据问题的特性，建立模型。
模型可以是概率模型、物理模型、统计模型等，用于描述问题的随机性和确定性因素。
3. 生成随机数：根据问题的特点，选择适当的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括伪随机数生成器、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、拉丁超立方（Latin Hypercube）采样等。
4.进行实验：根据模型和随机数生成方法，进行大量的实验。
每次实验都是一次独立的抽样过程，生成一个样本，用于计算问题的目标函数或约束条件。
5.统计分析：对实验结果进行统计分析，得到问题的解或概率分布。
常用的统计分析方法包括均值、方差、最大值、最小值、分位数等。
还可以进行敏感性分析，评估输入参数对结果的影响程度。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法求助编辑百科名片蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
专业人员将此方法广泛应用于不同领域，如金融、项目管理、能源、制造、工程、研发、保险、运输和环境。
蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
目录梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开编辑本段梗概蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
[1]20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
[1]蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
[1]与它对应的是确定性算法。
蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于模拟和估计复杂系统或过程的行为和特性。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数对系统进行多次模拟，从而获得系统的统计特征或输出结果。
蒙特卡洛仿真法的基本思想是基于概率分布的采样。
首先，需要确定系统中各个变量或参数的概率分布函数。
然后，通过随机生成符合这些概率分布的样本值，来代表系统在不同情况下的可能状态。
接下来，对每个生成的样本进行计算或模拟，得到相应的输出结果。
通过重复这个过程多次（通常是数千或数万次），可以获得大量的样本结果。
根据这些样本结果，可以计算出系统的统计指标，如均值、标准差、概率分布等，从而对系统的行为进行估计和预测。
蒙特卡洛仿真法的优点包括：
1. 能够处理复杂的系统和不确定性问题；
2. 可以提供系统的统计特征和概率分布信息；
3. 适用于难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛仿真法在许多领域都有广泛的应用，如金融工程、风险管理、物理科学、工程设计等。
它可以帮助决策者在不确定性环境下进行风险评估、优化设计和决策制定。
需要注意的是，蒙特卡洛仿真法的准确性和可靠性取决于所选择的概率分布函数、抽样次数以及对结果的统计分析方法。
在实际应用中，需要合理选择和验证这些参数和方法，以确保模拟结果的有效性和可靠性。
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。
蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。
蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。
它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。
蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。
蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。
蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。
蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
蒙特卡洛方法的应用课件
材料属性模拟
蒙特卡洛方法可以模拟材料的物理和化学属性，如热导率、电 导率、扩散系数等，为材料的选择和应用提供依据。
结构可靠性分析
蒙特卡洛方法可以用于结构可靠性分析，通过模拟结构在 不同工况下的失效概率，评估结构的可靠性和安全性。
系统可靠性分析
系统可靠性评估
蒙特卡洛方法可以用于评估系统 的可靠性，通过模拟系统在不同 条件下的运行状态，评估系统的 可靠性和故障概率。
控制系统优化
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的优化，通过模拟控制系 统的不同参数和控制策略，优化控制系统的性能和稳定性 。
控制系统故障诊断
蒙特卡洛方法可以用于控制系统的故障诊断，通过模拟控 制系统的运行状态和故障模式，诊断控制系统的故障和问 题。
05
蒙特卡洛方法在社会科学领 域的应用
人口统计学模拟
总结词
要点一
金融风险管理
蒙特卡洛方法可以用于评估金融衍生品的风险，通过模拟 标的资产价格的波动，计算出衍生品的价值及其波动性。
要点二
物理模拟
蒙特卡洛方法可以用于模拟物理现象，如粒子运动、气体 扩散等，通过大量模拟实验得出物理量的统计结果。
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THANKS
它通过构造一个概率模型或随机过程 ，将需要求解的问题转化为一个概率 问题，然后通过大量的随机抽样来近 似求解该概率问题。
蒙特卡洛方法的原理
蒙特卡洛方法的原理基于大数定律和中心极限定理，通过大量的随机抽样来逼近真实概率分布的特征 值或概率质量函数。
在每个抽样点上，根据问题的具体条件和约束，进行相应的计算和判断，最终得到问题的近似解。
化学反应模拟
总结词
蒙特卡洛方法在化学领域常用于模拟化 学反应的过程和机理。
中心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
发 生 器 分 别 产 生 ｆ １上 的均 匀 分 布 、 数 都 为 １的 指 数 分 Ｏ，１ 参
布和泊松分布随机变量序列｛ 各 １００ ， ｘ ｝ ００ 个 然后求和得
到 Ｙ ，在 三 种 特 定 分 布 下 ， 期 望 分 别 为 ５ ０ 、０ ０ 、 Ｙ 的 ００ １０ ０ １０ ０ 方 差 分 别 为 ２ ０ ／、０ ０ 、０ ０ ， 对 进 行 标 准化 ， ００ ， ５ ０３ １０ ０ １００ 再 即 减 去 期 望 再 除 以 标 准 差 ．从 而 得 到 ～ 个 标 准 化 随 机 变 量 Ｙ 。 当这 样 的 实 验 模 拟 １０ ０次 时 ， 每种 分布 下都 能得 到 ００
维普资讯
电心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
文 ／ 海 峰 江
摘要 ： 本文采 用蒙特卡 罗模拟技术 ， 选取 几个常 用随机
变量 分 布 类 型 来 产 生 随 机 变量 序 列 并 对 结 果进 行 检 验 ． 模
拟和 检 验 结 果 证 实 了 ３个 中心极 限定 理 的 正 确 性 。
关键词 ： 中心极 限定理 ； 蒙特卡罗 ； 模拟分析
一
、
问题 的 引出
１０ ０个 标 准化 随机 变 量 序列 Ｙ ．对 每种 分 布 下 得 到 的序 ００
列 Ｙ 调 用 Ｓ Ｓ中 的 Ｕ ｉ ｒ ｔ 程 进 行 正 态 性 检 验 ，检 验 Ａ ｎｖ ｉｅ过 ａａ
统 计 量 有 Ｋ ｌ ｏ ｏｏ ｏｍ ｇ ｒｖ的 Ｄ 统 计 量 、 ｎ ｅｓｎ Ｄ ｒ ｎ Ａ ｄ ｒ — ａｌ ｇ的 Ａ ｏ ｉ
分布类 、 ＼
均 匀分 布 泊 松分 布
指 数 分 布
均值 ００ ２ ３ 、０ ６ Ｏｏ ３ ５ 、 １ ０
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表７ 检验统计量
分布类型 二项分布
Ｄ值 ０．００６５０８
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
０．１５
０．３３７１９８
检验概率 ０．１８２３
Ｗ２ 值 ０．０５３０３３
检验概率 ０．２５
泊松分布
０．００７８４８
０．１３９
０．４４１２１５
０．２５
０．０６８１４８
０．２５
表８ 统计量类型
分布类型 二项分布
均值 –０．００５６８
!Ｘｎ "为：
!１
Ｘｎ ＝ ０
!ｎ ＞０．５ !ｎ ＜０．５
一般来说， !ｎ ＝０．５ 的情况基本不会发生（ 本次实验证实
了这点） ， 显然这样定义的随机变量序列 !Ｘｎ "服从 Ｂ（１，０．５）。
至表 ６ 给出了检验的结果， 在 ０．０５ 的显著性水平下， 表 ４ 的 结论是标准化变量序列 Ｙｎ＊ 服从正态分布， 表 ６ 得出的结论 是表 ５ 中的均值与 ０ 以及方差与 １ 无显著差异， 即德莫 弗—拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 在 ｐ 为 ０．５ 时 得 到 了 验 证 。 另 外， 图 ４ 给出了本次模 拟 １００００ 个 标 准 化 随 机 变 量 序 列 Ｙｎ＊ 的分布情况， 从直观上也证实了定理的正确性， 当然也可以 模拟 ｐ 取其它值的情形。
表１
检验统计量 分布类型
Ｄ值
均匀分布
０．００７１０８
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
检验概率
Ｗ２ 值
０．１５
０．４１２３６
０．２５
０．０６４０２９
检验概率 ０．２５
泊松分布
０．００５６５８
０．１５
０．３８８１６
０．２５
０．０４４９２９
０．２５
指数分布 表２
统计量类型 分布类型
均匀分布 泊松分布 指数分布 表３
表４ 检验统计量
分布类型
Ｄ值
正态性检验结果
检验概率
Ａ２ 值
检验概率
Ｗ２ 值
检验概率
二项分布 ０．００７６４７
０．１５
０．３４３４８７
０．２５
０．０５４７７５
０．２５
表５ 统计量类型
分布类型 二项分布
均值 –０．００６５６
描述性统计量
方差
偏度
１．００３２６
–０．０２０５４
峰度 ０．０２６８３
级差 ７．９４４３４
＊
布下标准化随机变 量 序 列 Ｙｎ 都 服 从 正 态 分 布 ， 表 ２ 的 结 果 显示每种分布下的均值与 ０ 非常接近， 而方差与 １ 也相差 无几。为了进一步检验每种分布下的均值是否为 ０， 方差是
＊
否为 １， 再对各个分布下的序列 Ｙｎ 进行均值和方差检验， 检 验结果见表 ３， 显然在 ０．０５ 的显著性水平下， 都 可 以 接 受 均 值为 ０、方差为 １ 的结论， 从而最终可以认为， 当林德贝格— 列维中心极限定理的求和变量个数为 １００００ 时 ， 随 机 变 量 序 列 分 别 服 从［０， １］上 的 均 匀 分 布 、参 数 都 为 １ 的 泊 松 分 布 和指数分布时， 模拟结果证实了该定理的正确性。
发 生 器 分 别 产 生［０， １］上 的 均 匀 分 布 、参 数 都 为 １ 的 指 数 分
布和泊松分布随机变量序列 !Ｘｎ "各 １００００ 个， 然后求和得
到 Ｙｎ， 在 三 种 特 定 分 布 下 ， Ｙｎ 的 期 望 分 别 为 ５０００、１００００、 １００００， 方差 分 别 为 ２５００／３、１００００、１００００， 再 对 进 行 标 准 化 ， 即减去期望再除以标准差， 从而得到一个标准化随机变量
＊
Ｙｎ 。当这样的实验模拟 １００００ 次时， 每种分布下都能得到
＊
１００００ 个标准化随机变量序列 Ｙｎ ， 对每种分布下得到的序
＊
列 Ｙｎ 调用 ＳＡＳ 中的 Ｕｎｉｖａｒｉａｔｅ 过程进行正态性检验， 检验 统 计 量 有 Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ 的 Ｄ 统 计 量 、Ａｎｄｅｒｓｏｎ－ Ｄａｒｌｉｎｇ 的 Ａ２ 统计量和 Ｃｒａｍｅｒ－ ｖｏｎ Ｍｉｓｅｓ 的 Ｗ２ 统计量 ， 表 １ 给 出 了 正 态 性检验结果， 表 ２ 给出了几个常用的描述性统计量。显然表 １ 的 正 态 性 检 验 结 果 表 明：在 显 著 性 水 平 为 ０．０５ 时 ， 三 种 分
表６
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
检验概率
均匀分布
－ ０．６４９１５１
０．５１６３
１００３１．３６
０极 限 定 理 的 模 拟 为了模拟该定理， 本文使用服从泊松分布和二项分布 下的随机变量， 为了满足不同分布的要求，在构造时使分布 参数值每次都在变化， 参数值与其出现的顺序相同， 即分别 有 Ｘｎ∽Ｐ（ｎ）和 Ｘｎ∽Ｂ（ｎ，ｐ）， 两 种 分 布 下 求 和 变 量 个 数 分 别 为 １０００００ 和 １００００， 模拟次数都为 １００００ 次。可以验证它们满
均匀分布 泊松分布 指数分布
０．００８６９７ 均值
０．０６６７
０．６１３１８
０．１１２７
几个描述性统计量
０．０８１２０５
方差
偏度
锋度
０．２０７６ 级差
０．００２６３
０．９９４２８
–０．０４２２２
–０．０２８６１
０．００３１５
０．９９５３６
–０．０１１２３
–０．１１３０８
–０．０１０６７
１．００３２４
·６·
统计教育
２００７ 年第 ２ 期
中心极限定理的蒙特卡罗模拟分析
文／ 江海峰
摘要： 本文采用蒙特卡罗模拟技术， 选取几个常用随机 变量分布类型来产生随机变量序列并对结果进行检验， 模 拟和检验结果证实了 ３ 个中心极限定理的正确性。
关键词： 中心极限定理； 蒙特卡罗； 模拟分析
一、问题的引出
中心极限定理在数理统计居于重要位置， 证明比较复 杂，现行教材一般只给出定理的内容，这难免破坏了定理的 完整性， 那么能否用一个实验来模拟从而给读者以直观的 感觉呢？ 蒙特卡罗模拟技术为解决这类问题提供了一种途 径。本文将使用该技术来模拟常见的 ３ 个中心极限定理， 采 用 ＳＡＳ９．０ 系统承担本文模拟。因篇幅所限， 略去 模 拟 使 用 的程序。
二、３ 个中心极限定理的模拟
１、林 德 伯 格 — 列 维 中 心 极 限 定 理 的 模 拟 该定理所要求的条件是随机变量为独立同分布序列， 具有期望和有限的方差， 对于随机变量序列的分布类型没 有作要求， 从理论上说任何满足条件的随机变量序列都适 用 该 定 理 ， 不 失 一 般 性 ， 本 文 使 用 均 匀 分 布 、指 数 分 布 和 泊 松分布加以模拟， 求和随机变量的个数 ｎ 和每种分布下的 模拟 实 验 次 数 都 为 １００００。 为 了 产 生 三 种 分 布 的 随 机 变 量 序列， 使用 ＳＡＳ 系统中的 Ｕｎｉｆｏｒｍ、Ｒａｎｅｘｐ 和 Ｒａｎｐｏｉ 随机数
几个描述性统计量
方差
偏度
１．００７２４５
－ ０．００４８９２７
锋度 － ０．００４７７４１
级差 ７．７７６３７
泊松分布
–０．００７２２
１．００５１９
–０．０５１９１
–０．００４０２
７．３５２１８
表９
二项分布 泊松分布
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
０．５７４６０７
０．５６５６
０．０１３７１
０．０５６０２
均值和方差的检验结果
均值检验统计量值
检验概率
方差检验统计量值
０．２６０２５５
０．７９４７
９９４１．０５９
０．３１６０３４
０．７５２０
９９５２．５９２
－ １．０５００７１
０．２９３７
１００３１．３６
７．３６４７３ ７．２８００ ８．１１５９４
检验概率 ０．３４２４ ０．３７３０ ０．４０７８
总第 ８９ 期
统计新论
·７·
２、德 莫 弗 — 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 的 模 拟
取 求 和 变 量 个 数 ｎ＝３００００， 将 这 个 实 验 模 拟 １００００ 次 ， 表 ４
调用 ＳＡＳ 中的 Ｕｎｉｆｏｒｍ 随机 数 发 生 器 产 生［０， １］上 的 均
匀 分 布 序 列 !!ｎ "， 然 后 以 ０．５ 为 界 限 ， 定 义 随 机 变 量 序 列
量服从其它分布的情况限于篇幅， 这里就不再分析了。
作者单位： 安徽工业大学经济学院统计系 （责任编辑： 曾鸿）
足定理所要求的条件， 表 ７ 给出了本次模拟正态性检验结 果， 表明了由两种分布下产生的随机变量按照定理要求处 理后新随机变量序列的确服从正态分布； 表 ８ 给出了几个 常见的描述性统计量， 显然均值和方差都分别比较接近 ０ 和 １， 而表 ９ 的检验说明了均值为 ０ 而方差为 １， 从而李雅 普洛夫中心极限定理在这两种分布下得到验证。
１００７１．４４
－ ０．７１７７３２
０．４７２９
１００５１．１２
检验概率 ０．３０３０ ０．３５４７
三、基本结论
通过本文蒙特卡罗模拟研究表明， 在所选取了几种常 见的分布类型情况下， 三个中心极限定理得到了很好的验 证， 虽然不同分布类型对求和变量个数要求不尽相同， 但只 要满足定理的条件， 都能得到理想的模拟结果， 对于随机变