概率论2014-2015-1B
概率论abc
概率论abc概率论是一门研究随机现象规律的数学学科。
其研究内容涉及到随机事件的概率、随机变量及其分布、极限理论等方面。
A-随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能事件，因为在掷的过程中，无法确定它将会朝哪个方向翻转。
概率是对随机事件发生的可能性进行度量的数学方法。
概率有三种定义方式：经典概率、几何概率和古典概率。
经典概率是指在随机试验中，每个基本事件出现的次数都是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等的情况下，某一事件发生的可能性等于该事件发生的基本事件数与样本空间中基本事件数的比值。
几何概率是指在某些特殊情况下，概率可以用几何图形的面积、长度、体积等形式表示。
例如：掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率相等，可以通过在平面上绘制一个1:1的正方形来表示。
古典概率是指在随机试验中，基本事件出现的可能性不一定相等，但是我们可以通过历史数据或经验得到每种基本事件出现的概率，从而计算某一事件发生的概率。
B-随机变量和分布随机变量是指随机现象中用数值来表示其结果的变量。
例如：掷一枚硬币，正面朝上为1，反面朝上为0，我们可以将这个随机过程用随机变量X=1表示。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
离散型随机变量的取值为有限个或可数个；连续型随机变量的取值可以是任意实数。
概率分布是指随机变量在各个取值点上的概率。
离散型随机变量的概率分布可以表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），连续型随机变量的概率分布可以表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。
C-极限理论极限理论是概率论中的重要内容，它涉及到许多基本概念和定理，如大数定律、中心极限定理等。
大数定律是指在随机试验中，当试验次数增加时，随机事件发生的频率趋近于该事件的概率。
例如：我们多次掷硬币，当投掷的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将逐渐趋近于0.5。
14本二《概统》AB答案
河北科技大学2014-2015学年第一学期《 概率论与数理统计》试卷答案及评分标准班级一．单选题（每小题3分，共24分）A 卷 DBC AD A B C B 卷 B A D B C D C A7. 2111111()()()()()2(,)244X X D X D D X X D X D X Cov X X n σ+⎡⎤=<=+=++⎣⎦ 211111111123()()2(,)()()(,)444n i i n D X D X Cov X X D X D X Cov X X n n n σ=+⎡⎤⎡⎤=++=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑二．填空题（每小题3分，共24分）A 卷 1. 0.7 2. 1 3.1e - 4.49 5.(1,6)N - 6. 137. (7.51,8.49) 8./2(1)t n α⎫≥-⎬⎭ B 卷 1. 0.62 2. 1 3.22e - 4.29 5.(2,9)N 6. 21 7. (8.51,9.49)8./2z α⎫≥⎬⎭三. 计算题（共52分）1.（10分）设A 为“接收站收到信息0”，B 为事件“原发信息是0”，已知21(),(),()0.98,()0.0133P B P B P A B P A B ==== …………………………2分（1）21197()()()(|)()0.980.0133300P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=；……………4分（2） 1971963101.03298.03298.0)()()()(=⨯+⨯⨯==A P B A P B P A B P . ………………………4分 2．（10分）(1) 已知001()()2x x f x dx A e dx e dx A +∞+∞--∞-∞==+=⎰⎰⎰所以 A =12.………4分(2) 当0x <时，11()()22xx t x F x f t dt e dt e -∞-∞===⎰⎰；………………………………2分当0x ≥时，00111()1222x t t x F x e dt e dt e ---∞=+=-⎰⎰.……………………………… 2分故X 的分布函数1,0;2()11,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩(3) {}111122x P X e dx e+∞->==⎰. ………………………………………………… 2分10101/401/4101/20-X Y3．(10分)（1）(X ,Y )有六对可能值(-1,0),(-1,1),(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), ……………1分 由已知{0}1P XY ==，得{0}0P XY ≠=,即 {1,1}{1,1}0P X Y P X Y =-===== …………………………………………2分又由X 和Y 的边缘分布律，得1{1,0}4P X Y =-== ………………………………1分1{1,0}4P X Y === ………………………………………………………………1分1{0,1}2P X Y === ………………………………………………………………1分{0,0}0P X Y === ………………………………………………………………1分 于是，X 和Y 的联合分布律为(2)由于111{0,0}{0}{0}224P X Y P X P Y ==≠===⨯=,所以X 与Y 不相互独立.3分4．（10分） (1) 2033,01()(,)0x X xdy x x f x f x y dy +∞-∞⎧⎪=<<==⎨⎪⎩⎰⎰，其它， ………… 3分1233(1),01()(,)20y Y xdx y y f y f x y dx +∞-∞⎧⎪=-<<==⎨⎪⎩⎰⎰其它； ……………………………3分 (2)1121112215(1)(,)3(63)8x x x y P X Y f x y dxdy dx xdy x x dx -+≥+≥===-=⎰⎰⎰⎰⎰. …………4分5．（12分）已知()X E X =,而1101()(;)(1)2E X xf x dx x dx θθθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰，…4分 令12X θθ+=+，解得21ˆ1X X θ-=-，于是未知参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-;…… 2分 对于总体X 的样本值n x x x Λ,,21，似然函数为121()(;)(1)(),01,1,2,,nn i n i i L f x x x x x i n θθθθ===+<<=∏L L ……… 2分对数似然函数为 1ln ()ln(1)ln ,01,1,2,,ni i i L n x x i n θθθ==++<<=∑L …… 1分对θ求导数，并令1ln ()ln 01ni i d L nx d θθθ==+=+∑，…………………………… 2分解得1ˆ1ln nii nxθ==--∑，于是未知参数θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nxθ==--∑. …1分。
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第二节：随机事件的概率
C 取得一件正品一件次品 ,
解 1 采取有放回抽样 .
概率论
2
从箱子中任取两件产品 , 每次取一件 , 取法总数为 12 .
即样本空间中所含的基本事件数为 12 .
2
事件 A 中所含有的基本事件数为 C9C9 9 . 2 9 9 . 所以 P A 2 12 16
1 1 2
所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P A1 A2 An P A1 A2 An P A1 P A2 P An P P P A1 P A2 P An 0 0 P A1 P A2 P An .
概率论
定义: 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型.
概率论
记 A={摸到2号球}
2
P(A)=?
P(A)=1/10
记 B={摸到红球} P(B)=? 1 2 345 6
P(B)=6/10
85 1 9 4106 72 3
1 4
,
, 就下列三种情况求概率 P BA .
1 A 与 B 互斥 ;
解
2 A B ;
3 P AB .
9
1
1由于 A、B 互斥 , 所以
B A
于是 所以 BA B
P BA P B
1 2 .
A
B
A、B 互斥
概率论
2 因为 A B , 所以
故由性质 4 , 可得 P A P 1 .
概率论第一讲
§2.2 离散型随机变量
(一) 概率分布 (二)常设见离的散概型率随机分变布量X所有可能 取1的.(值0-为1x)分k(k布=1,2,···),X取各个值 的2概.二率项,即分事布件｛X=x費k｝的概率
为=为分下P任定p43离布两ko..意的iP几,散律条sok正非sln何i=i.型件Pom1s整负｛n,分s随C定2数 整:Xonk,机=布np理·数.xnk分·设变(·k1｝k布n量,p有p设nXn)=的nλ((λ12k＞)概),p则kk0率1则对是kppkek0分!k,称于常满k布1上任数足1或,式一2,如n,是固27
P( A)
在事件A发生条件下事件B发生的条 件概率.
16
2.乘法定理
§1.5
设P(A)＞0,则
全
概 有 P(AB)=P(B|A)P(A)
率
公 式
一般地,设A1,A2,···,An为n个事件
和 贝
(n≥2),且P(A1A2···An)>0,则有
叶
斯 P(A1A2···An)=P(An|A1···An-1)···P(A2|A1)P(A1)
f数n(值A1∪称A为2…事∪③件Ak对)A=出不fn现可(A的能1)概事+率f件n，(ΦA记2，)为+P…（P（+ΦfA）(）A=。k104)。
§1.4 概率
（一）概率 （定样二义本）空概间。设率对Ｅ性于是质Ｅ随的机每试一验个,Ｓ事是件它Ａ的赋
性性性性性性予函((12质 质 质质 质 质一数))对P456个Ｐ(123于Ｓ对 对 对(实则 设 有 P·每)()于 于 于=数A有 限 满一 1,任 任 任);，BP可 足个是 意 一 一记B加 下0事两 事 事两 为列性 件事 件 件A个 P条（AAA件事 ,,,件有PAＡ有P件 ,(P:BA）PB,(,()若 有A,Ａ)如1A).P果≥1A集0BP;,(合A).
2014-2015秋概率论试卷答案B
系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时，可写到纸的背面 注意保持装订完整，试卷折开无效 装订线2. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4), Y ~N (-2,1), 则(23)D X Y -= ( C ) (A) 5(B) 13(C) 25 (D) 443. 设离散型随机变量ξ的概率分布为ξ-1 0 1 2 P0.40.20.20.2其分布函数为)(x F ，则(0)F =（ B ）(A) 0.4 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 14. 样本),,,(21n X X X 取自总体X ，2(),()E X D X μσ==，则有( D ). (A)(1)i X i n ≤≤是μ的无偏估计 (B) 111ni i X n =-∑是μ的无偏估计 (C) 2 i X 是2σ的无偏估计 (D) 2S 是2σ的无偏估计 5. 下列函数中，（ A ）可以作为连续型随机变量的分布函数.)(A ⎩⎨⎧≥<=0,10,)(x x e x F x ； )(B ⎩⎨⎧≥<=-0,10,)(x x e x G x ；)(C 0,0()1,0xx K x e x <⎧=⎨-≥⎩； )(D ⎩⎨⎧≥+<=-0,10,0)(x e x x H x ．三. 解答下列各题（共70分）1. （10分）设A 、B 为两个事件，()0.6P A =，()0.3P B =，且()0.7P A B ⋃= ，求(A )P B 、()P AB解： 由)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃,得 （2分）2.07.03.06.0)()()()(=-+=⋃-+=B A P B P A P AB P （4分）()()()()0.60.20.4P AB P A AB P A P AB =-=-=-=. （6分）3.07.01)(1)()(=-=⋃-=⋃=B A P B A P B A P . （10分）桂林理工大学考试试卷( 2014— 2015 学年度第一学期 )课 程 名 称：概率统计 B 卷命 题：基础教研室题号 一二三总 分得分一. 填空题（每空3分，共15分）1. 设袋中有4只白球和2只黑球, 现从袋中无放回地依次摸出两只球，求这两只球都是白球的概率为2/5.2. 设离散型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=21213110)(x x x x F ，则(1)P X =-=1/3.3. 设总体X ～()E λ，12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，算得样本均值18X =，则参数λ的矩估计值是1/18.4. 设连续型随机变量X 的概率密度为2211()xx f x e π-+-=，则=DX （）1/2. 5.设随机变量(01)X N ，,2(5)Y χ ,X ,Y 相互独立，又5X T Y =，则2T F(1,5) 二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分。
2014-2015《概率论与数理统计》试卷答案
12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准 一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。
（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===， （2分）所以，由贝叶斯公式可得 （1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3， （1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =； （2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以 当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分） 由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。
概率论与数理统计整理（一二章）
概率论与数理统计整理（⼀⼆章）⼀、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发⽣可能不发⽣的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对⽴)与运算(交换分配结合德摸根对差事件⽂⽒图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(⾮负性规范性可列可加性) 古典型概率⼏何型概率条件概率概率的基本公式事件的独⽴性独⽴重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和⼏何型概率(弄清⼏何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进⾏正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独⽴性(PAB=PA*PB)的概念，掌握⽤事件独⽴性进⾏概率计算；理解独⽴重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的⽅法．整理重点：1. 随机事件：可能发⽣也可能给不发⽣的事件。
0<概率<1。
2. 样本空间：实验中的结果的每⼀个可能发⽣的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，⼤写字母S表⽰。
3. 事件的关系：（1）包含：事件A发⽣必然导致事件B发⽣，称事件B包含事件A。
（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。
（3）和：事件的并，记为A∪B。
（4）差：A-B称为A与B的差，A发⽣⽽B不发⽣，A-B=A-AB。
（5）积：事件的交，事件A与B都发⽣，记为AB或A∩B。
（6）互斥：事件A与事件B不能同时发⽣，AB=空集。
（7）对⽴：A∪B=S。
4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A（B C）(3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中⾄少有⼀个事件⼀定发⽣，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。
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广东海洋大学 2014 —— 2015 学年第一学期
《概率论》课程试题
课程号： √ 考试 □ A 卷
√ 闭卷
□ 考查 √ B 卷 □ 开卷
一、填空题（每题3分，共36分）
1、事件A 发生，B 、C 都不发生表示为 。
2、设A 与B 独立件，且 = 。
3、三人独立破译密码，各自能破译的概率依次是0.8、0.6、0.5，则密码被破译的概率为 。
4、袋中有4个白球，6个红球，从中任取两球，则恰好取到两白球的概率是 。
5、设随机变量 则E (3X+2)= 。
6、设随机变量 ~N(0，1）
7、设随机变量 ,则E(X)= ,D(X) 。
8、设随机变量 。
()()9772.02=Φ
9、掷一颗骰子两次，用X 表示两次中掷出的最小点数，则P(X=2)= 。
10、设随机变量 ，
班级：
姓
名：
学
号：
加白纸
张
密
封
线
()()()B A P =P =A P U B ，则，4.03.0(),2.0,10~，b X ()
=Y N X ，则，223~()()()====P P λλ，则且21,~X P X X []11~，-U X ()=<-P σμδμ2),(~2X N X ，则
11、中心极限定律表明：二项分布的极限分布是 。
12、设随机变量是X 服从10=λ的指数分布，则E(X)= ,D(X) 。
二、甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，3个黑球，从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球。
（12分） 求：（1）从乙袋中取到白球的概率？ （2）若从乙袋中取到一件白球，求从甲袋中也取到一个白球的概率？
(
f
三、设二维随机变量（X 、Y)的概率密度为：
()()⎩⎨
⎧>>=+-其它
,0,
2y x ke y x f y x (15分）
求：（1）常数k; (2）边缘密度()();,y f x f y x （3）X 与Y 是否独立？
四 、设盒中有4个黑球，3个红球，2个白球，从中任取两球，用X 表
示取到黑球数，Y 表示取到的红球数。
求 （15分） (1) (X 、Y)的分布律； （2）边缘分布 ; （3）X 与Y 是否独立 ;
五 设随机变量X 的密度函数为
求： （1）常数k ， (2) X 的分布函数
(2) P(-1<X<0.5) , （4）),(x E )(x D
六、设事件A 与B 独立，证明 也独立。
(8分)
),(x F ⎩⎨⎧<<=其它0
10)(2x kx x f B A 与
广东海洋大学教师出题情况统计表
注：本表一式两份，一份随试卷交教务科，一份教研室保存。
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