2020年中考数学专题突破6 辅助圆在解题中的应用
2020年江苏中考数学复习第6章圆微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
(宿迁 2016.25，淮安 2016.28，盐城 2015.28)
模型一 “辅助圆”解点的存在性
模型分析
“定边、定角”圆上找．具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上．
微专题 辅助圆问题
针对训练 1. 如图，已知线段AB. (1)请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； (2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； (3)请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
第3题图
请你总结，满足条件的P点具有的特点：_点__P_为__A__B_的__中__垂__线__与__直__线__b_的__交__点___.
微专题 辅助圆问题
4. 如图，当直线b与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿直线b带球，在直线b上是否存 在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请 说明理由．
微专题 辅助圆问题
针对训练 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速 度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为 _2___5___2_．(请在图中画出点P的运动路径)
初中数学解题中辅助圆的应用探析
初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。
本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。
通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。
未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。
深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。
【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。
1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。
本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。
在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。
特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。
在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。
在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。
通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。
初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。
希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。
展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。
2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
中考总复习专题六辅助圆
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决， 注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆 上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径 作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？ 若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边 形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A
中考复习微专题----辅助圆问题及题例(一)
E
BE'F',则点B'的运动轨迹是⊙E上的一段弧，
半径为线段BE 。
B
F
D
【问题呈现】：如图，已知点O及一点C,OC=3,点A,B分别是平面内的动点，且OA=2, BC=4,请在平面内画出点A,B的运动轨迹。
【问题解析】：点A的轨迹是以点O为圆心，OA长 为半径的圆;
点B的轨迹是以点O为圆心，OB长为半径的圆;
线段CH即为点C到弦AB的最大距离，则此时 ������△������������������ 最大。
AAA
H H BBB
模型2：线圆最值（2）
P
【基本模型】：如图，直线AB与⊙O相离，点P 为⊙O上一动点,设圆心O到直线AB的距离为d， 的半径为r,则点P到直线AB的最小距离是d−r,点 P到直线AB的最大距离是d+r。
y
4
3 y= 3x+ 3
2
A
1
B –2 –1 O
–1
–2
C
x 1 2 3 4 5
Q
–3
本节课你的收获是什么？
A
2 3
C
O
4
B
【问题呈现】：如图，已知平行四边形ABCD,点E为AD边上一点，点F为边AB上一D 动点，将△AEF沿EF折叠得到△A'EF,请在图中画出点A'在平行四边形ABCD内（含 边上的点）的运动轨迹。
【问题解析】：点A'的运动轨迹是以点E为圆 心，AE长为半径的⊙E的弧MN上;
D
C
M A'
������ ������ + ������ ，最小值是 ������ ������ − ������ 。
【问题解析】：因为图中AB为定直线，点Q为⊙C 上的一个动点,要求点Q到直线AB距离的最大值和最 小值，已知⊙C的半径为1，关键在于求出圆心C到 直线AB的距离;
辅助圆在初中数学解题中的运用
辅助圆在初中数学解题中的运用作者：金明明来源：《中学生数理化·教与学》2015年第11期摘要：在初中数学的解题过程中，有很多的几何论证题目是常规思路无法解决的，可以利用圆所具有的特征，结合题目的具体情况，对难以解决的几何题目进行论证.本文简单介绍几种利用圆的特征建造辅助圆，然后对需要论证的问题进行解决的思路.关键词：辅助圆初中数学解题思路一、根据圆的定义构建辅助圆解题某些直线形平面几何竞赛题，用常规方法求解难度很大，技巧性强，且不易奏效.若能针对题目的本质特征，恰当地构造辅助圆，巧妙地运用圆的有关知识，往往可化难为易，化繁为简.在同圆或者等圆中，假如两个圆周角以及两条弧线都相等的话，可以利用这个道理去解决很多难题.二、利用圆的圆周角进行辅助圆的建造在前人对圆进行了很多的研究之后，我们可以知道圆的圆周角存在很多的性质，也就是我们平时所说的圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.利用圆的圆周角进行辅助圆建造，从而解决初中几何问题.学生遇到用一般的几何方法无法解决的问题时，不妨开阔自己的思路，利用圆周角所特有的一些性质来解题，这样能够达到事半功倍的效果.三、利用圆的内角以及外角和圆周角的关系建造辅助圆在圆上的一个顶点，并且在这个顶点两边都和圆有相交的点存在，这几点形成的角度就是圆周角.因为圆上的每一条弧所对应的圆周角等于形成这个角所对应的圆周角的一半，但是圆周角的度数就是和自身所对应的弧的度数，所以圆周角的度数就等于它所对的弧线的度数的一半.对于圆周角以及圆内角我们可以这样定义：在圆外存在的一顶点，而且两边都和圆具有相交点，这种角度叫做圆外角，而在圆内存在的一个顶点，并且两边也和圆具有相交的点，这种角叫做圆内角.例1在圆O上有一点C，而点P为圆O内部的一点，而且该两点都在弧AB的同一侧，线段AP和BP交于P所形成的∠APB，线段AC和CB交于点C所形成的∠ACB.证明：∠APB>∠ACB.证明：通过延长BP交圆心O为点D，连接AD.因为同一段弧所对应的角度都相等，而∠ACB和∠ADB所对应的都是弧AB，所以∠ACB=∠ADB.又因为∠APB是△ABC的外角，∠APB=∠ADB+∠DAP，所以∠APB=∠ACB+∠DAP.所以∠APB>∠ACB.我们可以得出以下结论：在同一圆中，同一弧线所对应的圆周角都比这一弧线所对应的圆内角小.同理，同一弧线所对应的圆周角都比这一弧线所对应的圆外角大.四、利用圆幂定理构造辅助圆圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳.根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于点A、B和点C、D，则有PA·PB=PC·PD.根据上述介绍我们可以知道，两条线的位置可以在圆的内部也可以在圆的外部，但是最终的结论都是相同的，将这些定理以及过程总结，就是我们所知道的圆幂定理.例2CD为Rt△ABC斜边上的高，O为AC上的一点，其中OA=OB=a.证明：OD2+CD2=a2.证明：由圆幂定理知，CD2=DA·DB，而且DA、DB、DO的位置具有相交弦的特点.又因OA=OB，所以以点O为圆心，OA为圆的半径作圆O交DO的延长线于E、F两点.所以DA·DB=DE·DF=（OE-OD）（OF+OD）=a2-OD2.所以OD2+CD2=OD2+DA·DB=a2.有的几何题目利用常规方法无法解决时，利用圆幂定理，通过建立辅助圆，就可以对问题进行解决.总之，不管怎么样的解决方法，在几何问题的论证过程中，巧妙利用辅助圆，可以解决一些利用常规解题思路难以解决的问题解决.在数学解题过程中，学生应该将自己的思路活跃化，进而掌握更多的解题方法.参考文献谢雅礼. 神奇的辅助圆——构造辅助圆解决平面几何问题的基本类型[J]. 中国数学教育，2010，24.张振继. 构造辅助圆解题探究[J]. 高中数理化，2013，21.袁贤琼.构造辅助圆处理解及问题的若干途径[J].中学教研，2012，09.唐平生. 巧作辅助圆证题[J]. 中学数学教学参考，2013，09.方世超.“辅助圆”——学生不大熟悉的重要辅助线[J]. 中学数学杂志，2008，12.。
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题
2020中考数学复习微专题：最值与辅助圆问题在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：1.如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可．连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一.从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．Alll构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．A'NMABCDA'NMABCDDCBA MN A'H A'N MA BCD【分析】考虑到将△FCE 沿EF 翻折得到△FPE ，可得P 点轨迹是以F 点为圆心，FC 为半径的圆弧．过F 点作FH ⊥AB ，与圆的交点即为所求P 点，此时点P 到AB 的距离最小．由相似先求FH ，再减去FP ，即可得到PH ．3.如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合）．直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B ’．当PB =6时，在直线l 变化过程中，求△ACB ’面积的最大值．【分析】考虑l 是经过点P 的直线，且△ABC 沿直线l 折叠，所以B ’轨迹是以点P 为圆心，ABCEFPABCEFPBPB 为半径的圆弧．考虑△ACB ’面积最大，因为AC 是定值，只需B ’到AC 距离最大即可．过P 作作PH ⊥AC 交AC 于H 点，与圆的交点即为所求B ’点，先求HB ’，再求面积．4.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P 、Q 分别是直线BC 、AB 上的两个动点，AE =2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PD ，则PF +PD 的最小值是_________．【分析】F 点轨迹是以E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点D 关于BC 对称点D ’，连接PD ’，PF +PD 化为PF +PD ’．Q ABC DEFP连接ED ’，与圆的交点为所求F 点，与BC 交点为所求P 点，勾股定理先求ED ‘,再减去EF 即可．二.定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义：若AB 是一条定线段，且∠APB =90°，则P 点轨迹是以AB 为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．D'PFE DCBAQAB【分析】由于E 、F 是动点，故P 点也是动点，因而存在PD 最小值这样的问题，那P 点轨迹如何确定？考虑BE =CF ，易证AE ⊥BF ，即在运动过程中，∠APB =90°，故P 点轨迹是以AB 为直径的圆．连接OC ，与圆的交点即为P 点，再通过勾股定理即可求出PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．1.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG =∠DCG =∠ABE ，易证AG ⊥BE ，即∠AHB =90°，EFA BCDPFDHGAB CDEF所以H 点轨迹是以AB 为直径的圆弧当D 、H 、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求．2.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC +∠PBA =90°，∠PBC =∠P AB ， ∴∠P AB +∠PBA =90°，αααHGABCDE FPABC∴∠APB =90°，∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．当O 、P 、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC ，再减去OP 即可．【寻找定边】1.如图， AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，AB =5，AC =4．D 是弧BC 上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ．在点D 移动的过程中，BE 的最小值为 ．【分析】E 是动点，E 点由点C 向AD 作垂线得来，∠AEC =90°，且AC 是一条定线段，所以E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．当B 、E 、M 共线时，BE 取到最小值．连接BC ，勾股定理求BM ，再减去EM 即可．CCBB【寻找定边与直角】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =10，点D 是AC 上的一个动点，以CD 为直径作圆O ，连接BD 交圆O 于点E ，则AE 的最小值为_________．【分析】连接CE ，由于CD 为直径，故∠CED =90°，考虑到CD 是动线段，故可以将此题看成定线段CB 对直角∠CEB ．取CB 中点M ，所以E 点轨迹是以M 为圆心、CB 为直径的圆弧．B连接AM ，与圆弧交点即为所求E 点，此时AE值最小，22AE AM EM =-==．2.如图，正方形ABCD 的边长为4，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AB 、CD 向终点B 、D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 长的最小值为 ．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE =CF ，BG ⊥EF ，但∠BGE 所对的BE 边是不确定的．重点放在AE =CF ，可得EF 必过正方形中心O 点，连接BD ，与EF 交点即为O 点．GF EDCB A∠BGO 为直角且BO 边为定直线，故G 点轨迹是以BO 为直径的圆．记BO 中点为M 点，当A 、G 、M 共线时，AG 取到最小值，利用Rt △AOM 勾股定理先求AM ，再减去GM 即可．【辅助圆+将军饮马】1.如图，正方形ABCD 的边长是4，点E 是AD 边上一动点，连接BE ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，点P 是AD 边上另一动点，则PC +PF 的最小值为________．【分析】∠AFB =90°且AB 是定线段，故F 点轨迹是以AB 中点O 为圆心、AB 为直径的圆．AB C DE F GABCDE FP考虑PC +PF 是折线段，作点C 关于AD 的对称点C ’，化PC +PF 为PC ’+PF ，当C ’、P 、F 、O 共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 上一动点，CE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 的最大值是_________．【分析】∠AEC =90°且AC 为定值，故E 点轨迹是以AC 为直径的圆弧．考虑EF ⊥AB ，且E 点在圆上，故当EF 与圆相切的时候，CF 取到最大值．F EDCBAB连接OF ，易证△OCF ≌△OEF ，∠COF =30°，故CF 可求．三.定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A 点轨迹是一个圆．当然，∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆． 若∠P =30°，以AB 为边，同侧构造等边三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =45°，以AB 为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB ，O 即为圆心．BB若∠P =60°，以AB 为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．若∠P =120°，以AB 为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB ，O 即为圆心．1.如图，等边△ABC 边长为2，E 、F 分别是BC 、CA 上两个动点，且BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则CP 的最小值为________．【分析】由BE =CF 可推得△ABE ≌△BCF ，所以∠APF =60°，但∠APF 所对的边AF 是变化的．EFCBAP所以考虑∠APB =120°，其对边AB 是定值．所以如图所示，P 点轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（构造OA =OB 且∠AOB =120°）当O 、P 、C 共线时，可得CP 的最小值，利用Rt △OBC 勾股定理求得OC ，再减去OP 即可．60°EF CBAP 120°EF CBAP 120°MOP ABCF E120°2.如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠P AB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________．【分析】由∠P AB =∠ACP ，可得∠APC =120°，后同上例题．3.在△ABC 中，AB =4，∠C =60°，∠A >∠B ，则BC 的长的取值范围是________． 【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB 是定值，∠C =60°，即定边对定角．故点C 的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO =BO 且∠AOB =120°）题意要求∠A >∠B ，即BC >AC ，故点C 的轨迹如下图．当BC 为直径时，BC 取到最大值，考虑∠A 为△ABC 中最大角，故BC 为最长边，BC >AB =4．无最小值．ABCP4ABC 60°4.如图，AB 是圆O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交圆O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C 、E 两点的轨迹，C 点轨迹上是弧MCN ，其对应圆心角为∠MON ，半径为OM （或ON ）．再考虑E 点轨迹，考虑到CE 、AE 都是角平分线，所以连接BE ，BE 平分∠ABC ，可得：∠AEB =135°．考虑到∠AEB 是定角，其对边AB 是定线段，根据定边对定角，所以E 点轨迹是个圆，考虑到∠ADB =90°，所以D 点即为圆心，DA 为半径．ABAAE 点轨迹所对的圆心角为∠MDN ，是∠MON 的一半，所以C 、E 两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。
2020年陕西中考数学一轮复习--第1部分 第6章 陕西中考重难点7 辅助圆问题
【训练 2】题图
【训练 3】 如图，等边△ABC 的边长为 6，D 为 BC 边
上的中点，P 直线 BC 上方的一个动点，且满足∠PAD＝
∠PDB，则线段 CP 长的最大值为 3
7＋3 2
3
．
【训练 3】题图
图⑧
图⑨
【训练 1】[2018 凤翔县二模]如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，点 D 是边 BC 上的一动点， 连接 AD，作 CE⊥AD 于点 E，连接 BE，则 BE 的最小值为 ____6_1_－__6_____．
【训练 1】题图
【训练 2】如图，点 O 是四边形 ABCD 内的一点，OB ＝OC＝OD，OD⊥AD，当∠BCD＝∠BAD＝75°时，AB∶OD 的值为 6＋ 2 ．
图③
图④
(2)当点 D 在圆上时，d＝r，如图⑤：当 D，E，O 三点 共线时，线段 DE 出现最值，DE 的最大值为 d＋r＝2r(即为 ⊙O 的直径)，DE 的最小值为 d－r＝0(点 D，E 重合)；
图⑤
图⑥
图⑦
(3)若 D 点在圆内时，d<r，如图⑥和图⑦：当 D，E，O 三点共线时，线段 DE 出现最值，DE 的最大值为 d＋r，DE 的最小值为 r－d.
4．利用辅助圆解面积的最值 【问题模型】 三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定 值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其 对边的中垂线与弧的交点处时，该三角形的面积达到最大， 此时该三角形为等腰三角形．
5．圆上一点到圆外直线距离的最值 【问题模型】 如图⑧和图⑨，⊙O 与直线 l 相离，点 P 是⊙O 上的一 个动点，设圆心 O 到直线 l 的距离为 d，⊙O 的半径为 r，则 点 P 到直线 l 的最小距离为 d－r，点 P 到直线 l 的最大距离 为 d＋r.
辅助圆 (解题精讲
第二十五讲 辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法 1．利用圆的定义添补辅助圆； 2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PA ·PC=PB ·PD ，则它的四个顶点共圆． (4)若四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于P ，且PA ·PB ＝PC ·PD ，则它的四个顶点共圆． 【例题求解】一·利用圆的定义添加辅助圆【例1】 如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点P ，且PB=4，PD=3，则AD ·DC 等于( )A ．6B ．7C ．12D ．16思路点拨 作出以P 点为圆心、PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法． 变式练习：如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1二·作三角形的外接圆【例2】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．变式练习：5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)三·四点共圆1·若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。
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图②
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针对训练 10. 如图，已知四边形ABCD. (1)如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所 有点P；
针对训练 7. 如图，已知矩形ABCD，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第7题图
第7题解图
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8. 如图，已知在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动
第3题图
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4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一 个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长的最小值
为___7___1__．
第4题图
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第12题图
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模型分析
模型六 四点共圆
(ⅰ) 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边 中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边 的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定 理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．
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针对训练 1. 如图，已知点O，点C，且线段OC＝3，点A、B是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4， 请在平面内画出点A、B的运动轨迹． 解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
第1题图
第1题解图
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20 点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围___3__≤__C_Q__≤__1．2
第8题图
第9题图
9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形 ABCD面积的最大值是___6_____．
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模型分析
模型五 定弦对定角(非90°)
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90度)也叫定弦定角，那么这个角的顶点轨 迹为圆(一部分)． (1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
图①
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专题六 辅助圆在解题中的应用
在中考数学中,有一类高频考题,明明图形中并未出现圆,但是可以用圆的相 关知识来解决问题,这样的圆可以称为辅助圆，常见的模型有以下几种：
模型一 定点定长作圆型 模型二 点圆最值 模型三 线圆最值 模型四 直径对直径 模型五 定弦对定角(非90°) 模型六 四点共圆
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图①
图②
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(ⅱ) 若D点在圆上时，d=r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE 的最大值为____d_＋__r_＝__2_r(_即__为__⊙__O__的__直__径，) DE的最小值为____d_－__r_＝__0_(点__D__、__E_重__合_；)
针对训练
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝
2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB
距离的最小值是( B )
A. 1
B. 1.2
C. 2
D. 5
第5题图
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第11题图
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12. 如图，∠AOB＝45°，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为 直角边作等腰Rt△CDE，且CD＝CE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE长的 最大值为___1_0____2___cm.(请在图中画出点O的运动路径)
图③
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针对训练 13. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为AC的中点，过点O作
5 OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、F，则EF的最小值为____2____．
第13题图
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14. 如图， 如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，∠ADE＝60°，DE交 ∠ACB的外角平分线于点E，求证：AD＝DE.
证明：如解图，连接AE，
∵∠ADE＝∠ACE＝60°，
第14题图
∴A，D，C，E共圆，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE.
图①
图②
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(ⅱ) 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_-_r____(如图③)，点P到直线l的最大距 离是___d_+_r___(如图④)．
图③
图④
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综合训练
15.如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P为AB上一动点，PD⊥BC于点 D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为____9/2____．
【解析】如解图，∵∠PEC＝∠PDC＝90°，故四边形 PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，∠EOD＝2∠ECD＝ 120°，故ED＝R，要使得DE最小则要使圆的半径R最小，故 直径PC最小，当CP⊥AB时，PC最小
图①
图②
专题六 辅助圆在解题中的应用
(ⅱ) 圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它 的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形 ABCD的外接圆为⊙O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂 直平分线的交点)．
模型分析
模型二 点圆最值
平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和 最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)： (ⅰ) 若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现 最值，DE的最大值为___d_+_r___，DE的最小值为___d_-_r___；
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心， 1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大
17
值为____4____．
第6题图
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模型分析
模型四 直径对直径
(ⅰ) 半圆(直径)所对的圆周角是90°. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为圆O 的直径．
模型三 线圆最值 模型分析 (ⅰ) 如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为圆上一动点． (1)如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦 AB的最大距离，此时△ABC的面积最大； (2)如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为 点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大．
(ⅱ) 90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中， ∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_以__A__B_为__直__径__的__圆__O_(_不__包__含__A_、__B__两__点__)．_
图①
图②
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解图③
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11. 如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、 C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的
43 最小值为____3____．(请在图中画出点P的运动路径)
图①
解：(1)如解图①所示， P1、P2在以点O 为圆心，AB长为半径的圆上，点P1、P2 即为所求；
解图①
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(2)如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝60° 的所有点P；
(2)如解图②所示，先画△BP2C为等边三角形，再画
2. 如图，已知平行四边形ABCD，点E为AD边上一点，点F为边AB上的动点，将 △AEF沿EF折叠得到△A′EF，请在图中画出点A′在平行四边形ABCD内(含边上的点) 的运动轨迹． 解：如解图，点A′的运动轨迹为以点E为圆心，AE长 为半径的⊙E的劣弧MN上．
第2题图
第2题解图
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图③
图④
图⑤
(ⅲ) 若D点在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最 值，DE的最大值为___d_＋__r__，DE的最小值为___r－__d___.